几类常见函数对称中心的导数求法

数理化解 题研 究年第於期圉中）数学篇 几类 常见 函教对称 中 办的 导教求法 湖北省广水市第 一 中学刘才华 函数对称中心的定义为：若，都函数 图象的对称中心为（ ， 有成立则称点，为函数 例 求函数 一 的对称中心 的对称中心若能先求出再化简函数值的 和，就可以求出，继而得到对称中心， 引理 已知函数厂 是 解设 连续可导的函数，且图象关于点 ，设根为 ： 巧 ，则 ， 成中心对称，对于图象上任 意的关于点（ ， 对称的两点 都有 “ ） ” 则 “ “。对应的根 即切线斜率相等 为 、 证明 如图示 ，、， 关于点（对 则 称，则即 且 ） ） 两根和 巧 ，即 则作 又 冬 函数 的对称中心为， ： ） （根据导数的定义）例 求函数。 的对称中心 、 因此当函数幻图象上两点 解 题意 幻 取 ；关于点（ 对称时 ，由结论，则有巧 ） 若设导数值为则、巧可以视为方程幻的两 。 丁 ） 、设其中两根为七 、，则 根这样求函数对称中心的过程，依据此引理，就可以分 卩 为下面三个步骤： 巧 了 ） ： 求函数的导数 幻 ，取导数值为、建立方程 卩 ； 求方程 幻 的两根和 常数） ， 解三角方程得两根关系： 算出， 土 （ 巧 化简 常数） ，求出 这样我们就得到函数的对称中心 去掉成周期性变化关系的 一组 ， 间隔周期的点导 下面 ，我们可以用这 一 方法，求几个常见类型函数的 数值 一定相 等 ，但不 一定关于对称 中心对称 对称中心 上 丨 子 ），移项得两根和 巧 例函数的图象是中心对称图 象其对称中心为 解函数幻 二 的导数为 ； 令 幻 太 ，且方程 工 一 左 的 冗 两根为 欠 丨 、巧，则 又 又 文 ） 工 ： 丁 ） 抓 数学篇 数理化解题研究卯以年第川期 （中） 子 ） 子子矛 ， 卫 ） ！ 综合上述 ，我们都以导数和方程为工具 研究和解决 了几类函数对称中心的问题，为大家提供了 一种 新思路 和新方向，也希望师生们多钻研多思考，多总结归纳增 函数的对称中心为 强学习和研究 数学的兴趣提高解题能力 丧丧金丧金央查 丧金 央丧金金余余金央朵查查央查丧金 丧金金众金 金金丧丧金金丧金查 例锬双元不等式的证明旁法 福建省泉州五中 （杨苍洲 參 不等式的证明是高中数学的 一种 常见题型 ，由于题 型多变、方法多样、技巧性强，这类试题往 往成为考试的 难点实际上证明不等式也有规律可循 ，在证明不等式 卩证 时要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系选择 适当的证明方法下面我们 介绍两种以导数为工具的证 令，只需证明 明不等式的技巧 创设比值消元法 例年卓越联盟 ）（设 欠丨似 ，求 因为（ ； 设 求常数使得 取得最小值； 。 所以 ，在（， 上 记中的最小值为乂 ，证明 是单调递增函数 故对于任意 ，都有 解析 本题考查导数、定积分、绝对值性质，考查分 丨 、 类讨论 、化归与转化思想 得证 、 变式训练 已知函数 似似的 易得 ： 极值点炉和： 易得：当 。 中时 ，士 广 似 取 （ 求实数 的值 ； 。 试讨论方程 一根的个数 ； 猎最 、信 设 斜率为 的直 代人得 姊七曲姊 、办工“、 、而 线与曲线 九 无） 交于巧 ， ， ，：两 ， 点，试比较与 的大小并给予证明 即证 答案：（