圆锥曲线硬解与结论归纳简证

平面解析几何 1. 圆锥曲线对比表 2. 硬解定理内容 3. 结论与推论 第一部分 圆锥曲线对比表 圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 标准方程 x/a+y/b=1 (ab0) x/a-y/b=1 (a0,b0) y=2px (p0) 范围 x-a,a y-b,b x(-，-aa,+) yR x0,+) yR 对称性 关于 x 轴，y 轴，原点对称 关于 x 轴，y 轴，原点对称 关于 x 轴对称 顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0) 焦点 (c,0),(-c,0) 【其中 c=a-b】 (c,0),(-c,0) 【其中 c=a+b】 (p/2,0) 准线 x=a/c x=a/c x=-p/2 渐近线 y=(b/a)x 离心率 e=c/a,e（0,1) e=c/a,e（1,+） e=1 焦半径 PF=a+ex PF=a-ex PF=ex+a PF=ex-a PF=x+p/2 焦准距 p=b/c p=b/c p 通径 2b/a 2b/a 2p 参数方程 x=acos y=bsin， 为参数 x=asec y=btan， 为参数 x=2pt y=2pt,t 为参数 过圆锥曲线上一点 (x0,y0）的切线方程 x0x/a+y0y/b=1 x0 x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0) 斜率为 k 的切线方程 y=kx(ak+b) y=kx(ak-b) y=kx+p/2k 第二部分 硬解定理内容 CGY-EH 定理（圆锥曲线硬解定理） 若曲线 与直线 A+By+C=0 相交于 E、F 两点,则: 其中 为一与同号的值， 定理说明 应用该定理于椭圆 时,应将 代入。 应用于双曲线 时,应将 代入 同时 不应为零,即 不为零。 求解 y1+y2 与 y1*y2 只须将 A 与 B 的值互换且 m 与 n 的值互换.可知 与的值不会因此而改变。 定理补充 联立曲线方程与 y=kx+ 是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可 少的一项，x1+x2，x1x2 都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。 这里给出一个 CGY-EH 的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。 若曲线 与直线 y=kx+ 相交于 E、F 两点,则: 这里的 既可以是常数，也可以是关于 k 的代数式。由这个公式我们可以推出： 若曲线 为椭圆 ,则 若曲线 为双曲线 ,则 由于在高考中 CGY-EH 定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容 需要考生自己填写）： 联立两方程得（二次式子）（*） 所以 x1+x2=，x1x2=； 所以|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=（此时代入、式得到一个大式子，但不必化简） 化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简) 下面就可求弦长 了。 定理简证 设曲线 x2/m+y2/n=1与直线 A+By+C=0相交于 E、F 两点，联立式可得最终的二次方 程： (A2 m+B2 n) x2+2ACmx+C2 m-mnB2=0 应用韦达定理，可得: x_1+x_2=(-2ACm)/(A2 m+B2 n) x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/(A2 m+B2 n) =4mnB2 (-C2) 对于等价的一元二次方程的数值不唯一,且 的意义仅在于其与零的关系,故由 4B20 恒成立,则 可取与同号的=mn(-C2)作为的值。3 由|EF|=(x_1-x_2)2+(y_1-y_2)2 )=(1+A2/B2 )(x_1+x_2)2-4x_1 x_2 ) 可得|EF|=(A2+B2)4mn(A2 m+B2 n-C2)/(|A2 m+B2 n|) 令 =A2 m+B2 n 则得到 CGY-EH 定理: x_1+x_2=(-2ACm)/ ; x_1 x_2=(m(C2-B2 n)/ ; =mn(-C2) ; |EF|=(2(A2+B2)/(|) 第三部分 结论与推论 一、椭圆的常用结论： 1. 点 P 处的切线 PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分PF1F2 在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 外，则过 0 P作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程 是 00 22 1 x xy y ab . 7. 椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF，则椭圆的焦 点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb . 8. 椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半径公式 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别 交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交 于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11. AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a ，即 0 2 0 2 ya xb KAB。 12. 若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab ； 【推论】 ： 1、若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab 。椭圆 22 22 1 xy ab （a bo）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹 方程是 22 22 1 xy ab . 2、过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 3、若 P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF, 21 PF F， 则tant 22 ac co ac . 4、设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2 中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin sinsin c e a . 5、若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e2 1时，可在 椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6、P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当 2 ,A F P三点共线时，等号成立. 7、椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 8、已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） ，O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ab . 9、过椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线 交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 10、已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 11、设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF，则 (1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 tan 2 PF F Sb . 12、 设A、 B是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） 的长轴两端点， P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA， c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1 e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 13、已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交 于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点， 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 二、双曲线的常用结论： 1、点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角. 2、PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3、以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5、若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 6、若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则 切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 7、双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点 12 FPF，则 双曲线的焦点角形的面积为 12 2 t 2 F PF Sb co . 8、双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c）当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa；当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa , 20 |MFexa 。 9、设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 10、过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11、AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为 AB 的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM ，即 0 2 0 2 ya xb KAB。 12、 若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 13、若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 x xy yxy abab . 【推论】 ： 1、双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2、过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两 点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 3、若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 4、设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点， 在PF1F2中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin (sinsin) c e a . 5、若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时， 可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 6、P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P和 2 ,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7、双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 8、已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ba . 9、过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂 直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 10、已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交 于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 11、设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF， 则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 cot 2 PF F Sb