误差理论与测量平差第二章PPT.ppt

2误差分布与精度指标,2.1随机变量的数字特征,一、数学期望是描述随机变量的数字特征之一.在处理带有偶然误差的观测值时，是用数学期望表示其真值的,在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是：这里是随机变量的密度函数若已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望，称为数学期望的传播，计算公式如下：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,2,1.设C为一常数，则2.设C为一常数，X是一个随机变量，则3.设有随机变量X和Y，则4.设有随机变量X和Y相互独立，即，则,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,3,推广之，如果有随机变量两两相互独立，则有:,二、方差,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,4,1.设C为一常数，则2.设C为一常数，X是一个随机变量，则3.D(X)=E(X2)-E(x)24.设有随机变量X和Y相互独立，则,推广之，如果有随机变量两两相互独立，则有:,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,5,三、协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是：（1-5-1）（1-5-2）式中：和分别是X和Y的真误差。设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为（1-5-3）,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,6,四、相关系数由式（1-5-1）得：当X和Y相互独立时：当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着X和Y相互独立。只有当X和Y服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,7,概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。一、一维正态分布,2.2正态分布,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,8,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,9,2-3偶然误差的规律性,一、真值与真误差1.真值任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常用表示真值。2.真误差设进行了n次观测，各观测值为L1、L2、Ln，真值为，每一个观测值的真值与观测值之间必存在一个差数，称为真误差，即：(1-3-1）,，,用向量表示：（1-3-2）,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,10,2-3偶然误差的规律性,二、偶然误差的规律特性前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：将计算的真误差按大小和符号列于下表：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,11,2-3偶然误差的规律性,，,1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,12,2-3偶然误差的规律性,二、偶然误差的表示方法表格法：见上页直方图：以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。误差分布曲线：在n无限大时，如果把误差区间间隔无限缩小，左图中各长方条顶边所形成的折线将变成右图所示的光滑曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,13,2-3偶然误差的规律性,三、偶然误差的概率分布密度函数式中为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从分布的随机变量。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,14,小结观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评定测量成果的精度。偶然误差的数学期望（真值）为零。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,15,预习2-3衡量精度的指标2-4精度、准确度与精确度,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,16,作业无,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,17,上节内容回顾观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶然误差，除此之外还有粗差；测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值；偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性；测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评定测量成果的精度。偶然误差的数学期望（真值）为零。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,18,一、概述精度的定义：精度就是指误差分布的密集或离散的程度。误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上。为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标。,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,19,二、衡量精度的指标1.方差和中误差误差的概率密度函数为：方差定义：就是中误差：正态分布曲线具有两个拐点，它们在横轴上的坐标为，对于偶然误差，拐点在横轴上，其大小可以反映精度的高低，所以常用中误差作为衡量精度的指标。对于离散型：方差和中误差的估值：,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,20,2.平均误差在一定的观测条件下，一组独立偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。以表示。平均误差与中误差的关系：所以也可以作为衡量精度的指标。,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,21,或然误差随机变量X落入区间（a,b)内的概率为：对于偶然误差，误差落入区间(a,b)的概率为：或然误差的定义是：误差出现在之间的概率等于，即称为或然误差与中误差的关系：实用上只能得到的估值：将相同观测条件下得到的一组误差，按绝对值的大小排列，当为奇数时，取位于中间的一个误差值作为，当为偶数时，则取中间两个误差值的平均值作为。在实用上，通常都是先求出中误差的估值，然后关系式求出或然误差。,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,22,二、衡量精度的指标4.极限误差误差落在、和的概率分别为：一般以三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,23,二、衡量精度的指标5.相对误差对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的好坏。相对中误差，它是中误差与观测值之比。在测量中一般将分子化为1，用表示。例1-1观测了两段距离，分别为1000m2cm和500m2cm。问：这两段距离的真误差是否相等？中误差是否相等？它们的相对精度是否相同？解：这两段距离的真误差不相等。这两段距离中误差是相等，均为2cm。它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误差为2/100000=1/50000，后一段距离的相对中误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。角度元素没有相对精度。,2-4衡量精度的指标,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,24,2-5精度、准确度与精确度,一、精度精度是指误差分布的密集或离散的程度。根据中误差定义，精度也表示观测结果与其数学期望的接近程度。当观测仅含有偶然误差时，其数学期望就是真值。既精度描述了观测序列与真实值的接近程度，表征了观测结果的偶然误差大小程度，是衡量偶然误差大小程度的指标。精度的概念也适用于多位分布，对于多位随机变量，精度的指标就是方差-协方差阵。1、协方差的定义和概念,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,25,(1)协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值X和Y，它们的协方差定义是：（1-5-1）（1-5-2）式中：和分别是X和Y的真误差。设是观测值的真误差，是观测值的真误差，而协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理论平均值，即实用上n总是有限值，所以也只能求得它的估值，记为（1-5-3）,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,26,(2)相关由式（1-5-1）得：当X和Y相互独立时：当X和Y相互独立时，X和Y的协方差为零。但是，逆命题却不一定成立，即协方差为零并不意味着X和Y相互独立。只有当X和Y服从联合正态分布时，协方差为零才是相互独立的充分条件。因此，对于服从正态分布的观测值，协方差为零和相互独立是等价条件。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,27,如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间互不影响，或者说，它们的误差是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，对于正态随机变量而言，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,28,在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为是独立观测值。一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。通过变换将随机变量标准化，则两个标准化变量乘积的数学期望就是一个无量纲的数，称之为相关系数：（1-5-4）由于和为正，所以的正负取决于的正负。大于零称为正相关，小于零称为负相关，等于零称为不相关。可以证明，的绝对值不大于1。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,29,(3)协方差与协方差阵,假定有n个不同精度的相关观测值()下同），它们的数学期望和方差分别为，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:(1-5-5)式中X为观测值向量，简称为观测值；为X的数学期望；为观测值,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,30,向量X的方差-协方差阵，简称为协方差阵。设有观测值向量和,它们的数学期望分别为和。令：；则的方差阵为：式中和分别为X和Y的协方差阵，是X关于Y的互协方差阵。（1-5-6）（1-5-7）当X和Y的维数时，即X、Y都是一个观测值，互协方差阵就是X关于Y的协方差。当时，则称X与Y是相互独立的观测值向量。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,31,二、准确度概念：又名准度，是指随机变量X的真值与其数学期望E（X）之差三、精确度概念：是精度与准确度的合成，是指观测结果与其真值的接近程度，包括观测结果与其数学期望接近程度与其真值的偏差。因此，精确度反应了偶然误差和系统误差联合影响的大小程度。当观测值不存在系统误差时，精确度即精度，精确度是一个全面衡量观测质量的指标。衡量精确度的指标为均方误差。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,32,2-6测量不确定度,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,33,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,34,协方差传播律是研究函数与自变量之间的协方差运算规律。描述观测值方差与观测值函数方差之间的关系式。例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标，观测了边长s和角度。P点坐标为：式中：现在的问题是在已知观测边长s和角度的方差和协方差条件下，如何计算P点坐标的方差和协方差。,3协方差传播律及权,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,35,一、协方差与相关1协方差协方差是用数学期望来定义的。设有观测值向量X和Y，它们的协方差定义是：2.相关如果协方差为零，表示这两个（或两组）观测值的误差之间是不相关的，并称这些观测值为不相关观测值；如果协方差不为零，则表示它们的误差之间是相关的，称这些观测值是相关观测值。由于在测量上所涉及的观测值和观测误差都是服从正态分布的随机变量，“不相关”与“独立”是等价的，所以把不相关观测值也称为独立观测值，同样把相关观测值也称为不独立观测值。,3-1协方差传播律,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,36,一、协方差与相关3.方差-协方差阵假定有个不同精度的相关观测值，数学期望和方差分别为和，它们两两之间的协方差为,用矩阵表示为:为观测值向量的方差-协方差阵，简称为协方差阵。,3-1协方差传播律的应用,，,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,37,一、协方差与相关3.方差-协方差阵设有观测值向量和，它们的数学期望分别为和。令：；则的方差阵为：是X关于Y的互协方差阵。,3-1协方差传播律的应用,和,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,38,二、观测值线性函数的方差设有观测值向量，其数学期望为，协方差阵为,即又设有的线性函数为：如何求Z的方差？,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,39,二、观测值线性函数的方差令：则对上式两边取数学期望：Z的方差为协方差传播律,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,40,二、观测值线性函数的方差的纯量形式：当向量中的各分量两两独立时（中误差传播律）线性函数的协方差传播律叙述为：设有函数：则：,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,41,二、观测值线性函数的方差例1-2在1：500的图上，量得某两点间的距离=23.4mm,d的量测中的误差=0.2mm，求该两点实地距离及中误差。解：最后写成:,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,42,三、多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值向量和,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,43,三、多个观测值线性函数的协方差阵若有的X个线性t函数：令：,3-1协方差传播律的应用,则现求Z的协方差阵？,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,44,三、多个观测值线性函数的协方差阵推导过程：Z的协方差阵：协方差传播律,3-1协方差传播律的应用,函数：函数的协方差阵：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,45,三、多个观测值线性函数的协方差阵设另有Y的S个线性函数：如果W也是X的函数，同学们考虑公式该是什么样？协方差传播律,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,46,三、多个观测值线性函数的协方差阵例1-3设有函数：的方差阵，的方差阵，关于的互协方差阵为，其中为常系数阵。且求：、（1）计算、,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,47,三、多个观测值线性函数的协方差阵（2）计算（3）计算（4）计算，（表示单位阵）,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,48,三、多个观测值线性函数的协方差阵（5）计算或:,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,49,小结精度的概念衡量精度的指标：方差和中误差、平均误差、或然误差、极限误差、相对中误差。协方差传播律：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,50,预习3-1协方差传播律的应用(非线性函数情况)看有关例题,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,51,作业1.3,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,52,小结协方差传播律：,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,53,五、非线性函数的情况1单个非线性函数设有观测值的非线性函数已知的协方差阵，求的方差。为了求非线性函数的方差，只要对它求全微分就可以了。,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,54,五、非线性函数的情况2多个非线性函数设有观测值的多个非线性函数将函数求全微分得两组非线性函数时怎么做？,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,55,例1-4量得某矩形的长和宽为和，且，计算该矩形面积的方差。解：面积：线性化:用协方差传播律得：先取对数然后再全微分能简化计算。对函数式取自然对数：再微分：,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,56,例3-1设：，和的方差为零，的方差为，的方差为，且计算？解：为什么要除?,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,57,是用于角度与弧度的换算。如果以弧度为单位，则该项不需要。通常以秒为单位，则。在测量工作中，常用点位方差来衡量点的精度，点位方差等于该点在两个互相垂直方向上的方差之和，即：通常称为纵向方差，它是由边长BP方差引起的。在BP边的垂直方向的方差称为横向方差，它是由边的坐标方位角的方差引起的。点位方差也可由和来计算。即：,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,58,应用协方差传播律的具体步骤为：1.按要求写出函数式，如：或：2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：3.写成矩阵形式：4.应用协方差传播律求方差或协方差阵。,3-1协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,59,例1-6经个N测站测定两水准点A、B间的高差，其中第i(i=1,2N)站的观测高差为解：A、B两水准点间的高差为：设：各测站观测高差是精度相同的独立观测值，其中误差均为，。应用协方差传播律，得设：若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s大致相等，设A、B间的距离为S，则测站数N=S/s，代入上式得：如果S=1km，s以km为单位，则一公里的测站数为：而一公里观测高差的中误差即为：所以，距离为S公里的A、B两点的观测高差的中误差为：可见，当各测站高差的观测精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的平方根成正比。,3-2协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,60,例1-7设对某量以同精度独立观测了N次，得观测值，它们的中误差均等于。求N个观测值的算术平均值的中误差。解：应用协方差传播律得：即：N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以。,3-2协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,61,例1-8一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（3-1-12）并顾及得出它们之间的方差关系式即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。,3-2协方差传播律的应用,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,62,协方差传播律小结线性函数：2.非线性函数只需对函数全微分，然后按协方差传播律计算即可。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,63,预习3-3权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,64,作业1.21.31.41.51.6,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,65,一、权的定义1.权的定义式表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。设有观测值，它们的方差为，选定任一常数，定义观测值的权为：由权的定义知，观测值的权与其方差成反比。即方差愈小，其权愈大，或者说，精度愈高，其权愈大。因此，权同样可以作为比较观测值之间的精度高低的一种指标。,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,66,一、权的定义2.权的性质1选定了一个值，即有一组对应的权。或者说，有一组权，必有一个对应的值。2一组观测值的权，其大小是随的不同而异，但不论选用何值，权之间的比例关系始终不变。3为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。4事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。5权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。下面通过一个例子来了解这些性质：,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,67,观测高差：水准路线长度：设每公里观测值高差的方差为各水准路线的方差为：取：权：取：权：权之间的比例关系：,1-6权与定权的常用方法,平差计算之前，精度的绝对数字特征（方差）往往是不知道的，而精度的相对的数字特征（权）却可以根据事先给定的条件予以确定，然后根据平差的结果估算出表示精度的绝对的数字特征（方差）。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,68,二、单位权中误差1.定义权等于1的观测值称为单位权观测值。权等于1的观测值的方差称为单位权方差。即：是单位权方差，也称为方差因子。权等于1的观测值的中误差称为单位权中误差。即：是单位权中误差。2.权的单位同类观测值：权是无量纲，无单位；不同类观测值：权是有单位的。例如：边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm”若单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为：若单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,69,三、常用定权的方法1.距离观测值的权（1）设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为，则全长为S公里的距离观测值的方差为取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即：则距离观测值的权为：（2）设长度为S公里的距离观测值的方差为，和分别为测距固定误差和比例误差。取单位权方差则距离观测值的权为：,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,70,三、常用定权的方法2.水准测量的权（1）设每公里的观测高差的方差均相等，均为；第i条水准线路的观测高差为，长度为公里则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取线路长度为C公里的观测高差的方差为单位权方差：则线路长度为公里的观测高差的权为：（2）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为；第i条水准线路的观测高差为，测站数为,则第i条水准线路（观测高差）的方差为：取测站数为C的高差观测值为单位权方差：则第i条水准线路（观测高差）的权为：,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,71,三、常用定权的方法3.同精度观测值的算术平均值的权设有它们分别是次同精度观测值的平均值，若每次观测的方差均为，则的方差为：取：则算术平均值的权为：,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,72,三、常用定权的方法4边角网中方向观测值和边长观测值的权边角网中有两类不同量纲的观测值：方向（或角度）和边长。设方向观测值的方差为（），边长观测值的方差为（、或）取：则方向观测值的权：（无单位）。边长观测值的权,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,73,特别强调：在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。权的变形公式：该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。,1-6权与定权的常用方法,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,74,一、协因数与协因数阵1.协因数设有观测值和，称为的协因数或权倒数，它们的权分别为和，为的协因数或权倒数，它们的方差分别为和，为关于的协因数或相关权倒数它们之间的协方差为，单位权方差为。令：,1-7协因数与协因数传播律,协因数与权成反比，因此，也可作为衡量精度的相对指标。当=0，说明两观测值独立（不相关）。,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,75,一、协因数与协因数阵2.协因数阵设有观测值向量X和Y，它们的方差阵分别为和，关于的互协方差阵为单位权方差为令：称为X的协因数阵，为Y的协因数阵，为X关于Y的互协因数阵。,1-7协因数与协因数传播律,协因数阵中的主对角线元素就是各个的权倒数，它的非主对角线元素是关于的相关权倒数；中的元素就是关于Yj的相关权倒数。也称为X的权逆阵，为的Y权逆阵，为X关于Y的相关权逆阵。当说明X与Y相互独立（不相关）,2020/6/3,第二章误差分布与精度指标,76,一、协因数与协因数阵3.权阵设有独立观测值，其方差为，权为，单位权方差为。X的协因数阵为：=则有：,1-7协因数与协因数传播律,称为的权阵。当是对角阵时，权阵的主对角线元素就是的权；当是非对角阵时，权阵的主对角线元