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3.2一般形式的柯西不等式,杨阳,回顾旧知,1.二维形式的柯西不等式的代数形式?,若都是实数，则当且仅当时，等号成立.,2.二维形式的柯西不等式的向量形式？,设是两个向量，则,当且仅当是零向量，或存在实数,使时，等号成立.,从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？,思考,观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到.将空间向量的坐标代入，化简得，当且仅当共线时，即.或存在一个数,使得时，等号成立.,对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？,一般形式的柯西不等式,(2),分析,如果设不等式(2)就是ACB2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.,当a1=a2=an=0或b1=b2=bn=0时，(2)式显然成立.,设a1,a2,an中至少有一个不为0，则a12+a22+an20.,因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+(anx+bn)20,所以二次函数f(x)的判别式0，,即4(a1b1+a2b2+anbn)-4(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)0.于是(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式=0，以上不等式取等号.,此时，有唯一实数x，使aix=bi(i=1,2,n).,若x=0，则b1=b2=bn=0,(2)式成立；若x0，则有，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,n)或ai=kbi(i=1,2,n)时，等号成立.,结论,定理（一般形式的柯西不等式）,设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立.,分析,用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.,根据柯西不等式，有(12+12+12)(a12+a22+an2)(1a1+1a2+1an)2,所以n(a12+a22+an2)(a1+a2+an)2即,已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.,分析,上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.,分析,由x+2y+3z=1以及的形式，联系柯西不等式，可以通过构造作为一个因式而解决问题.,已知x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的最小值.,解：,变式2,1.一般形式的柯西不等式:,设a1,a2,an,b1,b2,bn都是实数，则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,n）时，等号成立
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