梁保松《线性代数》习题二解答(本人亲自求解)

第二章矩阵 26 习题二习题二 5.求与下列矩阵可交换的矩阵： （1） 010 001 100 ； 解 设与之可交换的矩阵为 111213 212223 313233 aaa aaa aaa ，即 111213111213 212223212223 313233313233 001001 100100 010010 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ， 121311313233 222321111213 323331212223 aaaaaa aaaaaa aaaaaa ， 123113321133 221123122113 322133223123 , , , aaaaaa aaaaaa aaaaaa 123123133221331122 ,aaaaaaaaa 令 331122123123133221 ,aaaaaaabaaac，则 111213 212223 313233 aaaabc aaacab aaabca ，, ,a b c为任意实数； 6.计算： （1） k cossin sincos ，k是正整数； 解1k时， 1 cossincossin , sincossincos 第二章矩阵 27 2k时， 2 cossincossincossincos2sin2 sincossincossincossin2cos2 ， 设1kn时， 1 cos1sin1cossin sin1cos1sincos n nn nn ， 则kn时， 1 cossincossincossin sincossincossincos cos1sin1cossin sin1cos1sincos cossin sincos nn nn nn nn nn 故 cossin sincos k kk kk cossin sincos . （2）2, 000 100 010 n n . 解2n时，原矩阵 000 000 100 ； 当3n时, 原矩阵=O. 7.判断下列命题是否正确并说明理由. （1） 22 )(BABABA； 不正确，因 22 ()()ABBAABABAB , 一般地，因ABBA,则 22 ()()AB ABAB . （2）AB = O，则A= O或B = O； 第二章矩阵 28 不正确，例如，OAB 00 00 00 10 10 00 ,但 OA 10 00 ，OB 00 10 . . （3）AB = E，则A= B = E； 不正确，例如， 421 412 311 A， 113 214 124 B.满足 EBAAB （4） 2 ,AE则 AE； 不正确，例如， 1010 , 0101 A或，满足 2 ,AE （5）设A，E为n阶方阵，则)()(EAEAEAEA； 正确, 2 2 ()()()(); ()()()(). AEAEAE AAE EAE AEAEAE AAE EAE （6）若矩阵A有一行为零，则乘积矩阵AB也有一行为零； 正确, 1 12 1 1 =, m nin pp p m m A AOBBBB A ，则 11121 1 12 12 000= p m nn pip mmmp m m p ABA BABA ABOBBB A BA BA BA （7）若矩阵A有一列为零，则乘积矩阵AB也有一列为零. 第二章矩阵 29 不正确, 11121 21222 1 1 12 = p p m njnn p n nnnp n p bbb bbb AAOAB bbb ，则 11121 21222 1 12 1 11111 1 1 p p m nn pjn nnnp jjnnpjjpnnp p bbb bbb ABAOA bbb AbO bA bAbO bA b 8.如果 1 () 2 AB+ E，证明 2 AA的充分必要条件是 2 BE . 2 2 222 2 2 2 11 ()() 22 111 2() 442 1111 () 4242 11 44 AAB+ EB+ E BBE + EB+ EBB+ EB+ E BB+EB+ E BE BE 证 10.对于任意方阵A，证明： （1） T A+ A 是对称矩阵， T AA 是反对称矩阵； （2）A可以表示为对称矩阵和反对称矩阵的和. 证证（1） TT TTTTT A+ AA + AAAA+ A ， TT TTTTT AAAAAAAA. （2） TT + 22 AAAA A 11.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）设A，B，E为n阶方阵，则行列式0 BAA的充要条件是0A或 第二章矩阵 30 0 EB； 正确，00000ABAA EBAEBAEB或 （2）设A为1n矩阵，B为n1矩阵，则BAAB ； 不正确，AB， 都不存在。 （3）设P为可逆矩阵，若APPB 1 ，则AB ； 正确， 111 BP APBP APBP PAAAB （4）若A为n阶方阵且 1T AA ，则1A. 正确， 12 1T1T 11 AAAAAAAA 12.设A为n阶反对称矩阵，证明 2 2 ( 1)n AEA+ E. 证证因A为n阶反对称矩阵，即 T AA， 2 T T T 2 ( 1)n AEAEAEAEAE AEAE AEAE AEAE AEAE AEAE A+ E 13.设A，B为n阶可逆矩阵，0k，证明： （4） *11* )()( AA； 证 * T1 TT1TT1T * ()()()()()A AA AAA AA. 第二章矩阵 31 14.A为n阶可逆矩阵，2A，计算 1 * 1 3 2 AA. 解 1 *11111 1 1 1 323264 2 4 44 2 n nn AAAA AAAA AA 16.（1）若OEAAA 23 2，证明A可逆，并求 1 A ； 解 32322 222AAAEOAAAEA AAEE， 22 221A AAEA AAE，A可逆，且 12 2 AAAE . （2）若OEAA4 2 ，证明AE可逆，并求 1 )( EA. 解 2 42222OAAEOAEAEEAEAEE 2 2 , 2 AE AEE A AEEE 1 22 AA AEEAEE，AE可逆，且 1 2 A AEE. 19.设矩阵A，B满足关系式ABAB 2，且 410 011 103 A，求矩阵B. 解222EABBAABBAABA 1 22EE ABABAA. 第二章矩阵 32 20.用分块法求AB. （1） 0011 1401 1021 2301 , 1011 0121 0010 0001 BA； 解 10001032 01001201 12101041 11011100 AB 1 12 EOB AEB 1 112 B ABB （2）. 0300 2011 1501 0020 0032 , 00020 00041 22310 12101 BA 解 2300 10121 0200 01322 1051 14000 1102 02000 0030 B A 11 232 BOEA BBAO 11213 21 BABAB A BO 21.设, 2000 4200 0034 0043 Ak为正整数，求 22 , kk AA. 解 1 2 3400 4300 0024 0002 A A A, 2 2 1 2 1 2 2 2 2 k k k k k A A A A A， 第二章矩阵 33 2 2 22 211 2 1212 2 2 2 2 k k kk k k k k AA AAA A A A A。 22.用分块法求下列矩阵的逆矩阵： （1） 1400 5200 0012 0013 ； 解A 1400 5200 0012 0013 = 1 2 A A , 1 11 1 2 A A A . 23.判断下列命题是否正确并说明理由. （1）设n阶方阵A，B满足0)(, 0)(BArr，则0)( BAr； 错误，非零的互为负矩阵； （2）若矩阵A有一个非零的r阶子式，则rr)(A； 正确，若矩阵A有一个非零的r阶子式，则矩阵秩至少为r. （3）若矩阵A有一个为零的1r阶子式，则1)( rr A； 错误，矩阵A有一个为零的1r阶子式，其余的1r阶子式是否为零？ （4）初等矩阵经过一次初等变换得到的矩阵仍是初等矩阵； 错误，初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵. （5）两个初等矩阵的乘积仍是初等矩阵； 错误，初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵. （6）初等矩阵的转置仍是初等矩阵； 正确，3 种初等矩阵的转置仍是初等矩阵. （7）设矩阵A，B同型等秩，则矩阵A经过一系列初等变换可化为矩阵B. 正确，矩阵A，B同型等秩，都可以化为同一个标准型。 25.设矩阵 第二章矩阵 34 k242 9363 3121 A， 问k取什么值时可使（1）1)(Ar； （2）2)(Ar； （3）3)(Ar. 解解 121312131213 363900000006 24200060000 k kk A （1）6k； （2）6k； （3）无论k取什么值，矩阵的秩都不会等于3. 27.设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且 2 2,AA=E则 (2)()rrnEAE + A. . 解解由 2 2,AA=E有()(2 ),AE AEO故()(2 )rrnA EAE， 即 ()(2)rrnA EE A； 由() (2)3 ,AEEAE有()()rrnA E2E A； 因此 (2)()rrnEAE + A. 推论推论设设A，B分别为分别为m n和和np矩阵矩阵，AB = O，则则 ( )( )rrnAB. . 定理定理 6 6设设A，B均为均为m n矩阵矩阵，则则()( )( )rrrA+ BAB 28.设A为n阶方阵， * A 为A的伴随矩阵，证明 . 1 )(, 0 , 1)(, 1 ,)(, )( * nr nr nrn r A A A A 第二章矩阵 35 证证 (1)当秩( )An时，0A ，由,AAA E 得秩()A秩()AA秩().A En (2)当秩( )1An时，由矩阵秩的定义，A中所有1n阶子式全为零，即A中所有 元素为零，亦即AO ，故秩()0.A (3)当秩( )1An时,由定义知A中至少有一个1n阶子式不等于零,故,AO 从而秩() 1A ;另一方面,因秩( )1A n ,故A中所有n阶子式(只有一个即A)都等于零, 从而0A,所以AAA EO ,于是秩( )A 秩()An ,而秩( )1An,故()1A , 所以秩()1.A 综合练习题二综合练习题二 1.填空题 （ 3 ）A为33矩阵 ，, 2A将A按列分块为),( 321 AAAA ， 其中 )3, 2, 1( j j A是A的第 j 列，则 1213 ,3,2AAAA. 解 133 1 3 312131211231 () 2,3,32,3,2 ccc AAAAAA AAA AAA 13 2 123 3,326. cc A AA （9）设1, 2,3 ,1,1,1AB，则 100T )(BA. 解 T2 11 ()21,1,1 1 1,1,121,1,1 33 26 3 A B， 99 9 99 T1009 11111 ()21,1,121,1,16222 33 1 1,1,126 3333 A B 第二章矩阵 36 （10）设 k k k k 111 111 111 111 A且3)(Ar，则k. 解解由于 1 1 133331 1 1 1 11 111111 1 (3) 1 111111 11 1 1 11111 1 1 kkkkk kkk k kkk kkk A 3 1111 0100 (3)(3)(1) , 0010 0001 k kkk k k 则( )30rAA，而1k 时，( )1.rA故必有3.k 2.选择题 （1）设 4 阶矩阵, 432432 BA其中 432 ,均为 4 行 1 列分块矩阵，已知, 1, 4BA则 BA. )(a5；)b（4；)(c50；)(d40 解解 234234234 , 2, 2, 2BA 3 234234 3 234234 , 2, 2, 22, 2,840 B AB A （2）设BA,为)2( nn阶方阵，则必有. )(aBABA；)b（BAAB )(cABBA；)(dABBA 解解 由矩阵行列式的性质，ABABBABA，故()D是正确的. 第二章矩阵 37 对于( )A，例如 1223 3445 A,B ，8,AB 而4AB ； 对于（ ）B，1ABBABA n ； 至于( )C，A BAB n ,而B ABA n . 因此，( )A、（ ）B、( )C都是错误的. （3）设BA,为n阶方阵，OA 且OAB ，则. )(aOB ；)b（0B或0A； )(cOBA ；)(d 222 )(BABA. 解解矩阵的乘法运算一般不满足: （1）ABBA；（2）ABOAOBO或；（3）AO且ABAC， 则BC. 因此( )A、( )C、()D都是错误的. 因ABO，两端取行列式有0ABAB，即00AB或，故( )B正确. （ 4 ） 设CBA,都 是n阶 方 阵 ，且ECABCAB， 那 么 222 CBA. )(aE3；)b（E2；)(c E；)(dO. 解 因ECABCAB，则 AAEA BCAB CECC, CCEC ABCA BEBB， 即ABC， 因此 222 CBA3ABBCCAE. 第二章矩阵 38 （5）设CBA,都是n阶方阵， 且EABC ，那么. )(aEACB ；)b（EACA ；)(cEBAC ；)(dECAB . 解 因 11 ABCEABCCAB 或，而对于( )D， 1 CABCCE ，故( )D 正确. （6）设BA,为n阶方阵，则. )(a若BA,可逆，则BA可逆；)b（若BA,可逆，则AB可逆； )(c若BA可逆，则BA可逆；)(d若BA可逆，则BA,可逆. 解解由ABA B，若BA,可逆，则0,0AB，故0AB .因此，若BA, 可逆，则AB一定可逆.（ ）B正确； 对于( )A，例如 1223 3445 A, B ，20,20AB ，即BA,可 逆，但0,ABBA不可逆； 对于( )C，例如 1223 3445 A,B ，8,AB 而0AB，即BA可 逆，BA不可逆； 至于()D， 例如 121 1 341 1 A, B ，2,AB 即BA可逆， 但0B ，B 不可逆. 因此，( )A、( )C、()D都是错误的. 第二章矩阵 39 （7） 设 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A， 331332123111 131211 232221 aaaaaa aaa aaa B， 100 001 010 1 P， 101 010 001 2 P，则成立. )(aBPAP 21 ；)b（BAPP 21 ；)(cBAPP 12 ；)(dBPAP 12 . 解 因 3121 , AB rrrr ，由初等变换与初等矩阵的关系，上述变换等价于 12 P P AB，即 12 PP AB，故选择( )B. （8）设 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A， 41424344 31323334 21222324 11121314 aaaa aaaa aaaa aaaa B， 0001 0100 0010 1000 1 P， 1000 0010 0100 0001 2 P，其中A可逆，则 - 1 B. )(a 21 1 PPA；)b（ 2 1 1 PAP ；)(c 1 21 APP；)(d 1 1 2 PAP . 解解 把矩阵A的 1、4 两列对换,2、3 两列对换即得到矩阵.B根据初等矩阵的性质,有 1 2 BAPP或 2 1. BAPP故 111111 2 1121 2 ().BAPPP P APPA 所以应选( )C. （9）设BA,为n阶方阵，且OAB ，则错误的结论是. )(a ii BOAB,是B的第i列；)b（ ii AOBA,是A的第i行； )(c对于n阶方阵X，OAXB ；)(d对于n阶方阵X，OXAB . 第二章矩阵 40 （10）设A是nm矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵ACB 的秩为 1 r，则. )(a 1 rr ；)b（ 1 rr ；)(c 1 rr ；)(d 1 , rr的关系依C而定. 解由于()min( ( ), ( ),r ACr A r C若C可逆，则 1 ()( )()()()().r ACr Ar EAr CCAr CAr AC 即( )( )( ).r Br Ar B 从而( )( ).r Ar B所以应选( ).C 3.设 33 )( ij aA， ij A是 ij a的代数余子式， 且 ij A ij a)3, 2, 1,(ji，0 11 a， 求A. 解 因为A ijij a, 即 111213111213 T 212223212223 313233313233 () , aaa aaa aaa AAA AAAAA AAA 亦即 T . AA由于|AAA E ，故 T |.AAA E两边取行列式, 有 23 T .AAAA EA 从而| 1A 或| 0.A 不妨假设 11 0,a 对A按第 1 行展开,得 222 111112121313111213 |0.AAAAaaaaaa 故必有| 1A . 4.设A为n阶方阵，EAA T ，0A，求EA. 第二章矩阵 41 解因 TTT AEAAAA EAAEA T AEA T A EAA EA, 即AEA AE， 故10AAE. 因0A， 即10A， 所 以 0AE. 5.已知 332313 322212 312111 bababa bababa bababa A，证明AAl 2 ，并求l. 解因 1 11 21 31 2 1222 32123 3 13 23 33 A abababa a ba ba bab bb a ba ba ba ，故 111 2 2123212321 12 23 3123 333 A aaa ab bbab bbaa ba ba bb bb aaa 1 1 12 23 321231 1223 3 3 A a aba ba bab bbaba ba b a . 令 1 1223 3 a ba ba bl ，得AAl 2 6.已知PBAP ，其中 112 012 001 , 100 000 001 PB， 求 5 , AA. 解因P可逆，求得 1 100 210 411 P，则 第二章矩阵 42 1 100100100100 210000210200 . 211001411611 A= PBP 由于 2111121, APBP PBPPB P P BPPB P所以 5511 .APB PPBPA 7.设, 100 010 101 A求 n A . 解 2 101101102 010010010 , 001001001 A 3 102101103 010010010 , 001001001 A 设 10 010 , 001 k k A则 1 10101101 010010010 001001001 k kk A，故 10 010 001 n n A. 8.已知矩阵A满足关系式OEAA32 2 ，求 1 )4( EA. 解由 2 23AAEO，得4283AEAEEEO， 从而 425AEAEE， 第二章矩阵 43 即 112 424 555 AEAEEAEAEE ，因此4AE可逆，且 112 4 55 AEAE . 9.设, 101 020 101 A矩阵X满足XAEAX 2 ，求X. 解由 2 ,AXEAX得 2 ,AXX