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文档简介

.,1,凸优化理论与应用,第二章凸函数,.,2,凸函数的定义,1.定义域为凸集；,2.，有,凸函数的定义：函数，满足,凸函数的扩展定义：若为凸函数，则可定义其扩展函数为,凸函数的扩展函数也是凸函数！,.,3,凸函数的一阶微分条件,若函数的定义域为开集，且函数一阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对,.,4,凸函数的二阶微分条件,若函数的定义域为开集，且函数二阶可微，则函数为凸函数当且仅当为凸集，且对，其Hessian矩阵,.,5,凸函数的例,幂函数,负对数函数,负熵函数,范数函数,指数函数,.,6,凸函数的例,.,7,下水平集(sublevelset),定理：凸函数的任一下水平集均为凸集。,任一下水平集均为凸集的函数不一定为凸函数。,.,8,函数上半图(epigraph),定理：函数为凸函数当且仅当的上半图为凸集。,.,9,Jensen不等式,为凸函数，则有：,Jensen不等式的另外形式：,.,10,保持函数凸性的算子,凸函数的逐点最大值,凸函数与仿射变换的复合,凸函数的非负加权和,对固定，为凸函数。,.,11,逐点最大值函数变换的例,向量中个最大分量之和：对称矩阵的最大特征值,.,12,保持函数凸性的算子,复合运算,凸函数的透视算子,.,13,共轭函数(conjugatefunction),定义：设函数，其共轭函数，定义为,共轭函数的例,共轭函数具有凸性！,.,14,共轭函数的性质,Fenchelsinequality,性质：若为凸函数，且的上半图是闭集，则有,.,15,准凸函数(quasiconvexfunction),准凸函数的例,.,16,准凸函数的判定定理,定理：函数为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有,.,17,准凸函数的判定定理,定理：若函数一阶可微，则为准凸函数，当且仅当为凸集，且对，有,.,18,准凸函数的判定定理,.,19,最小值函数,非负权值函数的最大值函数,保持准凸性的算子,复合函数,是关于和的准凸函数，且为凸集。,.,20,准凸函数的凸函数族表示,若为准凸函数，根据的任意下水平集，我们可以构造一个凸函数族，使得,性质：若为准凸函数的凸函数族表示，对每一个，若，则有,例：,.,21,对数凸函数,对数凸函数的例,.,22,对数凸函数和凹函数的性质,性质：对数凸性与凹性对函数乘积和正数数乘运算均保持封闭。,定理：函数二阶可微，则为对数凸函数当且仅当,性质：对数凸性对函数加运算保持封闭。但对数凹性对函数加运算不封闭。,推论：函数对每一个在上对数凸，则函数也是对数凸函数。,.,23,对数凸函数和凹函数的性质,定理：函数为对数凹函数，则函数是对数凹函数。,.,24,广义不等式下的凸性,广义单调性的定义：设为真锥，函数称为单调增，若函数满足：,定理(对偶等价)：函数为凸函数，
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