高中数学-函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性和函数的象(一)审查指南单调性：设函数y=f(x)的域为a，区间ma，取区间m中的任意两个值x1，x2，改变x=x2-x1 0，则当y=f(x2)-f(x1) 0时，f(x)称为区间m上的递增函数，当y=f(x2)-f(x1)0时，f(x)称为区间m上的减法函数。如果y=f(x)在某个区间m内是一个增(减)函数，那么y=f(x)在这个区间内是单调的，这个区间m称为y=f (x)的单调区间。函数的单调性是函数的一个重要性质。在给定区间内，判断函数增减的最基本方法是使用定义：在给定区间内任意选择x1、x2，当x1 x2时，判断对应的函数值f(x1)和f(x2)。用图像观察函数的单调性也是一种常见的方法。教科书中所有基本初等函数的单调性是通过图像观察得到的。对于y=f(x)型双复形函数的增减，我们可以通过改变元素使u=(x)，然后分别根据u=(x)和y=f(u)在相应区间的增减来判断。一般来说，有一条规则是“相同的增加，不同的减少”。此外，利用导数研究函数的增减是一个非常重要的方法。这种方法将在下面的评论中具体讨论，这里不再重复。平价：(1)设函数f(x)的定义域为d，如果d和f (-x)=-f (x)中的任何x都有-x d，则这个函数称为奇函数；设函数f(x)的定义域为d，如果在d和f (-x)=f (x)中的任何x都有-x d，那么这个函数称为偶数函数。函数的奇偶性具有以下重要属性：奇函数f(x)的像关于原点对称。作为偶数函数的f(x)的像关于y对称。另外，根据奇函数的定义，如果奇函数f(x)在原点有一个定义，那么f(0)=0，那么函数f(x)的像必须通过原点。周期性：对于函数f(x)，如果有一个非零常数T，那么当x取域中的每个值时，f(x T)=f(x)成立，那么函数f(x)称为周期函数，非零常数T称为该函数的周期。关于函数的周期性，下面的结论是正确的。(1)如果t是函数f(x)的周期，kT也是函数f(x)的周期(k是非零整数)。(2)如果t是y=f(x)的最小正周期，它是y=Af(x ) b的最小正周期，其中 0。对称性：如果函数y=f(x)满足f (a-x)=f (b x)，则图像y=f(x)是一条直线。对称性，如果函数y=f(x)满足f (a-x)=-f (b x)，则y=f(x)的像关于点(，0)对称。功能图像：函数的形象是函数表达的一种重要形式。使用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的本质。首先，我们要记住一些基本初等函数的图像，掌握一些基本的作图方法，如画点法、三角函数的五点作图法，并掌握用一些变换作为函数图像的方法。同时，我们要特别注意数形结合思维方法在解题中的灵活运用。(1)通过翻译转换的映射：y=f(x)y=f(x+a)y=f(x)y=f(x)+b(2)使用与y=f(x)对称的关系映射：y=f (-x)和y=f(x)的图像关于y轴对称；y=-f (x)和y=f(x)的像是关于x轴对称的。y=-f (-x)和y=f (x)的图像关于原点对称。y=f-1(x)和y=f(x)的图像关于直线y=x对称。(3)利用y=f(x)图像本身的某种对称性来绘制图形y=|f(x)|的图像可以通过将x轴下方的y=f(x)的图像部分绕x轴旋转180而其余部分保持不变来生成。y=f(|x|):首先得到y=f(x)的像，然后利用偶函数像关于y轴的对称性质得到y=f (x) (x 0且a 1)。例7。让函数是奇数函数，判断它的增减。例8。设f(x)是一个周期函数，其定义域为r，周期为2，它也是一个偶数函数。已知当x 2，3时，f(x)=(x-1) 21，当x 1，2时，找到f(x)的解析表达式。例9。指出了函数的对称中心、渐近线和单调性。例10。制作函数的图像(1)(2)y=|lg|x|例11。(1)使曲线由公式| x | | y |=1表示。(2)使曲线由公式| x-1 | | y 1 |=1表示。例12。已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，并且f (x)=x22x。(1)找到函数g(x)的解析表达式；(2)求解不等式g (x) f (x)-| x-1 |。实例分析示例1解决方案：取x1，x2 (-1，1)，x=x2-x1 0。然后因为-1 x1 x2 0，1 x1x2 0，1- 0，1- 0，1- 0，1- 0。因此，当a 0时，y=f(x2)-f(x1) 0，当a 0时，y=f(x2)-f(x1) 0时，f(x)是(-1，1)上的增函数，当a 0时，当且仅当“=”成立，即此时f (x)获得最小值，从而我们知道x=是函数单调区间的分界点。解决方案：取x1，x2(0)，x=x2-x1 0然后因为x=x2-x1 0，因此y=f(x2)-f(x1)0，f(x)是上面的减法函数。同样，可以证明f (x)是一个增函数。我们也知道f(x)是一个奇数函数，它的图像关于原点对称，所以我们知道f(x)在顶部是一个递增函数，在顶部是一个减法函数。总而言之，和是增函数，和是减函数。示例3解决方案：如果x1，x2(2，)和x1 x2，则从2 x1 4-x1 4-x2因为f(x)是(-，2)的增函数，所以有f (4-x1) f (4-x2)因为f (4-x1)=f(x1)，f (4-x2)=f (x2)，f (x1) f (x2)是已知的，f(x)是(2，)上的减法函数。摘要：在解决问题时，应注意分类的思想。如果这个问题是个小问题，F (4-x)=f(x)表明f(x)的像关于x=2对称，并且可以立即确定f(x)是(2，)上的减法函数。例4分析：要判断这类抽象函数的单调性，关键是要根据已知创造条件，用单调性的定义来作出判断，并能用分析的方法找到解决的思路。解：(I) f (0)=f (0 0)=2f (0)从f (m n)=f (m) f (n)有f (0)=-渐渐地(ii)如果选择x1、x2R和x=x2-x1 0，则根据已知有函数f(x)是r上的增函数。例5解：如果r上的函数是f(x)，那么f (-x)=-f (x) 由函数的奇偶性定义，f (-x)=f (x) ，同时 ，f (-x)的消去，f (x)=0。显然，函数f(x)=0既是奇数函数又是偶数函数，因此f(x)=0是所需的函数。例6解：(1)函数的定义域是R，因为对于任何x R都有如果取xR，则-x r还有所以这是奇怪的功能(2)函数的定义域是r。如果取xR，则-x r，还有所以这是一个偶数函数。例7解决方案：显然，X -1，1，-X -1，1，因为f(x)是奇数函数，F (-x)=-f (x)适用于区间-1，1中的任何实数X，也就是说，这是X的恒等式。比较两端分子和分母的相应项的系数，我们可以得到A=B=0。因此取x1，x2 -1，1，x=x2-x1 0然后因为-1 x1 0，1-x1x2 0，因此y=f(x2)-f(x1) 0，所以当x -1，1是增函数。注意：这个问题也可以通过f(0)=0，f (-1)=-f (-1)得到a=b=0来解决例8分析：解决这个问题要把握两个关键点。一个是f(x)是一个偶数函数，另一个是f(x)是一个周期函数。通过画一个草图，你会发现当x -3，-2第一个时，函数的解析表达式。当用周期性求f(x)的解析表达式时，当x 1，2时，要注意分类的思想方法。解：当x -3，-2-x 2，3所以f (-x)=(-x-1) 2 1=(x 1) 2 1，因为f(x)是一个偶数函数，所以当x -3，-2，f (x)=(x 1) 2 1当x 1，2，x-4 -3，-2，有f(x-4)=(x-4 1) 2 1=(x-3) 2 1，因为2是f(x)的周期，我们知道-4也是f(x)的周期，有f (x-4)=f (x)因此，当x 1，2时，f (x)=(x-3) 2 1。示例9解决方案：因为因此，可以通过将图像向左移动一个单位并向上移动两个单位来获得图像，如图所示。从图像中，我们可以看到对称中心是(-1，2)渐近线分别是x=-1和y=2。函数是(-，-1)和(-1，)中的递增函数。示例10解决方案：(1)将函数的图像向右移动一个单位，然后向上移动一个单位，如图所示。(2) y=| LG | x | |是一个偶数函数。当x 0时，首先制作y=lgx的图像，然后根据奇偶性制作y=LG | x |的图像，最后将y=LG | x |的图像在水平轴下方绕x轴旋转180度，其余不变。如图所示，可以获得y=| LG | x | |的图像。例11分析表明，曲线| x | | y |=1是关于x轴、y轴和原点的对称图。利用对称性，曲线可以很快绘制出来。对于曲线| x-1 | | y 1 |=1，可以通过适当地平移曲线| x | | y |=1来获得。解决方法：(1)首先使线段x y=1 (x 1，y1)，然后使线段分别关于x轴、y轴和原点对称，得到方程| x | | y |=1表示的曲线，如图所示。(2)将(1)中公式| x | | y |=1表示的曲线向右移动一个单位，再向下移动一个单位，得到公式| x-1 | | y 1 |=1表示的曲线，如图