新版人教版九年级数学全册知识点

第21章一元二次方程21.1单变量二次方程在一个方程中，只有一个未知数，未知数最多为2的积分方程称为二次方程。一元二次方程有四个特点：(1)它只包含一个未知数；(2)最大未知数是2；(3)它是一个积分方程。要判断一个方程是否是含有一个变量的二次方程，首先要看它是否是一个积分方程。如果是，那就解决它。如果它能以ax2 bx c=0(a0)的形式排序，那么这个方程就是一个有一个变量的二次方程。(4)当方程转换为ax2 bx c=0的一般形式时，应满足(a0)的要求21.2降阶求解一元二次方程1.一元二次方程的解(1)直接开平方法：根据平方根的含义，该方法可用于求解(a0)和(b0)类型的一元二次方程。对于一些一元二次方程，它们不是上述两种形式，但可以转换成或的形式或用这种方法求解。(2)因式分解法：当一个二次方程的一边为零而另一边很容易分解成两个主要因素的乘积时，这种方法可以用来求解该方程。显然，使乘积ab=0的条件是a=0或b=0，而使方程x (x-3)=0的条件是x=0或x-3=0。x的两个值都可以使方程成立，因此方程x (x-3)=0有两个根，而不是一个。(3)匹配方法：通过将一阶系数的二分之一的平方相加，这样的任何二次型都可以匹配成二项式的完全平方，并且该方程可以简化为可以用直接开平方法求解的方程。如果方程被求解，它可以被转换成，也就是说，解可以被获得。注：(1)“方程两边一阶项系数的半平方相加”的前提是方程二阶项的系数为1。(2)这种方法一般不用于求解一元二次方程。掌握这种方法是关键。(3)公式法：一元二次方程(a0)的根由方程的系数a、b和c确定。在此前提下，用公式法求解一元二次方程的一般步骤如下：(1)首先将方程简化为一般形式，即(a0)；(2)正确确定方程各项的系数A、B和C的值(注意它们的符号)；(3)在计算时，方程没有实数根，所以没有必要求解它(因为负数的平方是没有意义的)；将a、b和c的值代入根公式，找出方程的两个根。说明：直接开平方法和因式分解方法只适用于特殊形式的方程，而公式法则是最常见和最适用的方法。解决问题时，应根据方程的特点灵活选择方法。2.一元二次方程根的判别公式二次方程有三种根：有两个不相等的实根；(2)有两个相等的实根；(3)没有实数根。根的大小写由。因此，它被称为一元二次方程根的判别式。0方程有两个不相等的实根。=0方程有两个相等的实根。0方程没有实数根。判别公式的应用(1)在不理解方程的情况下确定方程的根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解决与根相关的证明问题。3.维塔定理及其应用定理：如果方程(a0)的两个根是，那么。当a=1时。应用：(1)知道其中一个方程，求解另一个方程和参数系数，而不求解该方程；(2)给定方程，求出包含两个对称表达式和相关未知系数的代数表达式的值；(3)如果已知两个方程，找到一个一元二次方程，两个方程或它们的代数表达式作为根；(4)已知两个数的和与积，得到两个数。4.一元二次方程的应用(1)面积问题；(2)数量问题；(3)平均增长率。步骤：(1)分析问题的含义，找出问题中未知数与给定条件之间的等价关系(包括隐含关系);(2)设置未知量，并使用集合未知量的代数表达式第二十二章二次函数22.1二次函数及其图像二次函数的概念一般来说，像y=ax bx c这样的函数(其中a、b、c是常数，a0、b、c可以是0)称为二次函数，其中a称为二次系数，b为二次系数，c为常数。x是自变量，y是因变量。等号右边独立变量的最大数是2。二次函数图像是一个轴对称图形。对称轴是一条直线，顶点坐标，交点是(限于抛物线与X轴的交点和)，与X轴的交点坐标是和。注：“变量”不同于“自变量”。不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知”只是一个数字(具体值未知，但只取一个值)，而“变量”可以取实数范围内的任何值。“未知数”的概念适用于方程(函数方程和微分方程都是未知函数，但无论是未知函数还是未知函数，它们一般都表示一个数或函数会遇到特殊情况)，但函数中的字母代表变量，且含义不同。两者的区别也可以从函数的定义中看出，正如函数不等于函数之间的关系一样。二次函数的完整公式二次函数一.定义和界定表达方式一般来说，自变量x和因变量y之间有以下关系：Y=ax bx c(a、b、c为常数，a0)那么y被称为x的二次函数。二次函数表达式的右侧通常是二次三项式。二。二次函数的三种表达式通式：y=axBx c(a，b，c是常数，a0)最高点：y=a(x-h)。抛物线的顶点P(h，k)交点：y=a(x-x1)(x-x2)限于抛物线，交点a (x1，0)和b (x2，0)与x轴注：在相互转化的三种形式中，有以下关系：h=-b/2a k=(4ac-b；)/4a x1，x2=(-bb；-4ac)/2a三。二次函数的图像平面直角坐标系中的二次函数y=x？的形象，可以看出，二次函数的像是抛物线。四.抛物线的性质1.抛物线是一个轴对称图形。对称轴是一条直线x=-b/2a .对称轴和抛物线之间唯一的交点是抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即，直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P -b/2a，(4ac-b；)/4a .当-b/2a=0时，p在y轴上；当=b-4ac=0时，p在x轴上。3.二次系数决定抛物线的开口方向和大小。当a 0时，抛物线向上打开；当a 0时，抛物线向下打开。|a|越大，抛物线的开口越小。4.主要项系数B和次要项系数A共同决定对称轴的位置。当a和b有相同的符号(即ab 0)时，对称轴在y轴的左边；当a和b的符号不同时(即ab 0)，对称轴在y轴的右边。5.常数项C决定了抛物线和Y轴的交点。抛物线与y轴相交于(0，c)6.抛物线和X轴之间的交点数量当=b-4ac 0时，抛物线与x轴有两个交点。当=b-4ac=0时，抛物线与x轴相交。当=b-4ac 0时，抛物线和x轴之间没有交点。v二次函数和一元二次方程特别地，二次函数(以下称为函数)y=axbx c，当y=0时，二次函数是关于x的一元二次方程(以下称为方程)。斧头。bx c=0此时，函数图像和x轴之间是否有交点意味着方程是否有实数根。函数与x轴相交的横坐标是方程的根。例1，二次函数公式的形式是，那么()从函数的角度看一元二次方程1.如果抛物线与X轴有一个公共点，并且公共点的横坐标是，那么当时函数值是0，所以它是方程的根。2.二次函数图像与X轴之间有三种位置关系：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点。这是正确的(1)定义：在一个平面上，一个圆绕着一个固定点沿某个方向(顺时针或逆时针)旋转一个角度。这种图形运动称为旋转。这个固定点称为旋转中心，旋转角度称为旋转角度。(图形旋转在这一节中，除了点的对称变换之外，我们重点讨论旋转和平移的性质。二。知识要点1.旋转：一个图形绕某一点旋转一个角度的变换称为旋转。其中，O称为旋转中心，旋转角称为旋转角。2.旋转属性(1)旋转的图形与原始图形一致(2)由相应的线段和o形成的角度称为旋转角度(3)旋转角度相等3.翻译：一个图形沿着直线移动一定距离的过程称为翻译。直线的方向称为平移方向，距离称为平移距离。4.翻译属性(1)翻译后的图形与原始图形一致(2)连接两个图形的相应边缘的线段是平行且相等的(等于平行距离)(3)每组对应线段平行且相等5.中心对称和中心对称图形(1)中心对称：如果一个图形绕某个点O旋转180度，并且可以与另一个图形完全重合，则两个图形关于该点对称或中心对称。其中，点o称为对称中心，两个图的对应点称为关于中心的对称点。(2)中心对称图形：如果一个图形绕某一点o旋转180 ,并能与原始图形完全重合，则称该图形为中心对称图形。其中，这一点被称为图形的对称中心。6、轴对称和轴对称图形(1)轴对称：如果两个图形沿某一轴对折并完全重合，则这两个图形绕该轴是轴对称的，或者它们是轴对称的。这个轴叫做对称轴。注：轴对称性：两个图形是全等的；(2)连接相应点的线被对称轴垂直平分(2)轴对称图形：如果一个图形可以沿某一轴对折并完全重合，这个图形称为轴对称图形。7.点的对称变换(1)原点对称点的特征当两点关于原点对称时，它们的坐标有相反的符号，也就是说，点P(x，y)关于原点的对称点是p (-x，-y)(2)关于x轴对称点的特征当两个点关于x轴对称时，在它们的坐标中，x是相等的，y有相反的符号，也就是说，点P(x，y)关于x轴的对称点是P(x，-y)(3)关于Y轴对称点的特征当两个点关于y轴对称时，y的坐标相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点是p (-x，y)(4)关于直线y=x的对称性当两个点关于直线y=x对称时，横坐标和纵坐标与前面的交换，即关于直线y=x的对称点P(x，y)是P(y，x)(5)当两点关于直线y=-x对称时，横坐标和纵坐标与前面的完全相反，即关于直线y=x的对称点P(x，y)是p (-y，-x)注：y=x的直线是穿过一个或三个象限的角平分线，y=-x的直线是穿过两个或四个象限的角平分线。第二十四章圆圈24.1回合定义：(1)由平面到固定点的距离等于固定长度的所有点组成的图形称为圆。(2)平面上的线段绕其一端旋转360度，留下一个称为圆的轨迹。中心：(1)如(1)所定义，固定点是圆的中心(2)如(2)中所定义，圆的末端是圆的中心。(3)圆的任意两个对称轴的交点是圆的中心。(4)垂直于圆中任何弦且其两个端点在圆上的线段的平分点是圆的中心。注意：圆的中心通常用字母o表示直径：穿过圆心且两端都在圆上的线段称为圆的直径。直径通常用字母d表示。半径：连接圆心的线段圆的周长：形成圆的曲线的长度称为圆的周长，用字母c表示一个圆的周长与其直径之比称为周长比。一个圆的周长除以它的直径的商是一个固定的数，叫做周长比。它是一个无限的非循环十进制数(无理数)，用字母表示。在计算时，我们通常取其近似值，3.14。直径相反的圆周角度是直角。圆周角度为90的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小称为圆的面积。 r 2，由字母s表示。圆弧对着的圆周角是中心角的一半。在同一个圆或相等的圆中，等中心角所对的弧相等，对的弦相等，对的弦中心距离相等。在同一个圆或相等的圆内，如果两个弧相等，那么它们面对的中心角相等，它们面对的弦相等，它们面对的弦距离相等。在同一个圆或相等的圆内，如果两个弦相等，那么它们面对的中心角相等，它们面对的弧相等，弦之间的距离相等。周长公式1.已知直径：C=d 2，已知半径：C=2r 3，已知周长：D=c4.周长的一半：12周长(曲线)5。半圆长度：12周长直径面积计算公式：1.已知半径：S=r平方2，已知直径：S=(D2)平方3，已知周长：S=(C2)平方24.2点、线、圆和圆的位置关系1.点和圆之间的位置关系(1)圆内点到圆心的距离小于半径；(2)从圆上的点到圆心的距离等于半径(3)从圆外点到圆心的距离大于半径2。圆由三个点定义，其中通过三个点的圆不在同一条直线上。3.外接圆和中心可以通过三角形的三个顶点画一个圆。这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的中心是三角形三条边的垂直平分线的交点，称为三角形的外中心。4.直线和圆的位置关系交点：直线和圆有两个公共点。这条直线与一个圆相交。这条直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有一个公共点，称为圆的切线。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。分离：直线和圆之间没有公共点。这条直线与一个圆分开。5.直线与圆位置关系的性质及判断如果0的半径是r，从中心到直线的距离是d，那么(1)直线相交0；(2)直线和O切线；(3)直线与0分开一圈又一圈定义：当两个圆没有公共点，并且每个圆的点