2019虹口二模数学卷(含解析)

2019虹口二模数学卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集，若，则 2. 若复数（为虚数单位），则的共轭复数 3. 已知，在第四象限，则 4. 行列式的元素的代数余子式的值等于 5. 5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 6. 已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，若为线段的中点，则线段的长为 7. 若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是 8. 若函数（）为偶函数，则的值为 9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 10. 在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、，则双曲线的方程为 11. 若函数，则的值为 12. 过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 钝角三角形的面积是，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 515. 已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 16. 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知函数（，）.（1）若的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数最小值.18. 如图，在多面体中，、均垂直于平面，.（1）求与所成角的大小；（2）求二面角的大小.19.一块长方形区域，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.20. 设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图1，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若的面积是的面积的两倍，如图2，求线段中点的轨迹方程. 21. 设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.答案与解析1. 2. 3. 4. 7 5. 6. 2 7. 8. 9. 10. 11. 12. ；设，则，所以，又，所以时，。13. B 14. C 15. D 16. B；，所以，所以。17.（1）；（2） 18.（1）；（2）19.（1），；，；，；（2）20、（1）设，又 根据题意，即 。设直线的方程为，与抛物线的方程联立，并消去得，可知，解得或，所以：。（2）有（1）可知，得，同理得，所以，若时， ，直线的方程为。若，则，求得直线的方程为，令，得点。综合分析得直线恒过点。（3）设交轴与点，准线与轴交于点，则，所以，于是，设：，联立得，求得中点坐标，