线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第五章习题答案

线性代数课线性代数课第五章第五章后题答案后题答案 思考题思考题 5-1 1. 1123123 100,000 aaaa0aaa. 2.不一定。例如，对于 123 101 , 012 aaa，它们中的任两个都线性无关，但 是 123 ,a a a是线性相关的。 3. 不一定。也可能是 2 a能由 13 ,a a线性表示，还可能是 3 a能由 12 ,a a线性表示。 4. 不一定。例如，对于 1212 1100 ,;, 0012 aabb。 12 ,a a和 12 ,b b这两个 向量组都线性相关，但 1122 ,ab ab却是线性无关的。 5. 向量组 121 , nn a aa a线性无关。根据定理 5-4 用反证法可以证明这一结论。 习题习题 5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k 且1k 。 3.证证： 1212 ,1, nn e eeEe ee线性无关。 设 12 , T n b bbb则 1 122 . nn bbbbeee 4. 证证法法 1：因为A可逆，所以方程组Axb有解。根据定理 5-1，向量b能由A的列 向量组 12 , n a aa线性表示，所以向量组 12 , n a aa b线性相关. 证法证法 2：通过秩或根据mn时m个n元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证：证： （1）因为A的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组Ax0有非零解，设u0是 它的非零解，则.Au0 由BPA，得.Bu0可见Bx0有非零解，所以B的列向量组线性相关。 （2）若P可逆，则 1 AP B。由（1）的结论可知，B的列向量组线性相关时，A的 列向量组也线性相关，所以A和B的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质 5-6 和性质 5-3 来证明。 6. 证：证： 由A可逆知，A的列向量组线性无关。 根据定理 5-6， 增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关. 注：该题也可通过矩阵的秩来证明。 7.证：证： （1） 由向量组 123 ,a a a线性无关， 可知 23 ,a a也线性无关。 又因为向量组 234 ,a a a 线性相关，所以 4 a能由 23 ,a a线性表示。 2） 反证法。 设 1 a能由 34 ,a a线性表示， 又因为 4 a能由 23 ,a a线性表示， 所以 1 a能由 23 ,a a 线性表示，这与 123 ,a a a线性无关矛盾，因而 1 a不能由 34 ,a a线性表示。 8.证：证： 反证法。 设 123 ,a a a线性相关， 则其中至少有一个向量可由另两个向量线性表示， 不妨设 1 a能由 23 ,a a线性表示。因为向量b能由 123 ,a a a线性表示，所以b能由 23 ,a a线性 表示， 这与b不能由 123 ,a a a中任何两个向量线性表示矛盾， 所以向量组 123 ,a a a线性无关。 9.证：证：设 21 123 k k llll AA A0。 (1) 由 k A 0可知，当mk时， m A 0. 用 1k A乘以（1）式，得 1 1 k l A0. 因为 1 , k A0所以 1 0.l 这时， （1）式成为 21 23 k k lll AA A0. (2) 用 2k A乘以（2）式，得 1 2 k l A0. 因为 1 , k A0所以 2 0.l 这时， （2）式成为 21 3 k k ll A A0. (3) 按照同样的做法，可证 3 0 k ll.所以 21 , k A A A线性无关. 提高题提高题 5-1 1.证：证：令 2121 11112222 1,1, TT ss s k kkk kk bbb 21 1, T s sss k kk 。 因为ij时， ij kk,所以 1212 1 ,()0, sjis ij s kk b bbb bb线性无关. 根据定理 5-5 可知， 12 , s a aa线性无关. 2.证：由 11, A 212 2,A 323 3A，得 1 (),AE 0 21 ()2,AE 32 ()3AE 。 设 112233 kkk0， (1) 用AE乘以（1）式，得 2132 23kk0 （2） 再用AE乘以（2）式，得 31 6k0 因为 1 ,0所以 3 0k 。由（2）式可得， 2 0k ，再由(1)式可得， 1 0k 。 所以向量组 123 , 线性无关。 思考题思考题 5-2 1 （1) 不正确。当( )rrA时，A中有一个 r 阶非奇异子阵就行，不需要所有 r 阶子 阵都是非奇异的. (2) 正确。 （3）正确。因为A的行秩与列秩相等，当A为方阵时，A的秩与A的行数和列数的 大小关系是一样的，所以A的行向量组和列向量组有相同的线性相关性. （4）不正确。例如，对于 11 1,1, ()( ), 00 rr ABABB但A不是 可逆矩阵. （5） 正确。 由ABO， 得( )( )()0, ( )( ),rrnrrrnABABAB其中n为A 的列数。由A和B都是 n 阶非零矩阵，可得( )1, ( )1rrAB。再根据( )( )rrnAB， 可得( ), ( )rn rnAB。所以A和B都是降秩矩阵. 2.当A为方阵时，A为降秩矩阵 A是奇异矩阵 A不可逆Ax0有非零解 Axb无解或有无穷多个解 A的行向量组（列向量组）线性相关。 习题习题 5-2 1.注：求秩时行变换和列变换都可用。 (1)( )4rA; (2)( )3rB。 2. 解：解： 314 41 22 3 111111111111 011011011 23401220122 351702240112 rrr rr bbb aaa A 3224 42 11111111 01120112 01220010 0110002 rrrr rr aa bb 所以 1 2 a b 或 1 2 a b . 3.证：证：必要性 因为A和B等价，所以用初等变换能将A化为B。又因为初等变换不 改变矩阵的秩，所以( )( ).rrAB 充分性 设( )( ),rrrAB则A和B有相同的等价标准形 r EO F OO ， 即用初等 变换可将A和B化成 r EO F OO 。因为初等变换是可逆的，所以用初等变换也可将 r EO F OO 化成B，因而用初等变换能将A化为B，A和B等价。 4.证：证：因为( )1rA，所以存在可逆矩阵P和Q，使得 100 000 , 000 PAQ 1111 1001 0000 1,0,0, 0000 APQPQ 令 11 1 0 ,( 1,0,0) , 0 T aPbQ 则. T Aab 5.证：证：因为( )()( )mrrrmEABA，所以( )rmA。 又因为( )rnA，所以 mn. 同理可证，( )rmB。 6.证：证：由CAB为可逆矩阵，得( )rmC。 由( )()( )mrrrmCABA，得( )rmA。 因为( )rnA，mn，所以 mn，( )rnA。 同理可证，( )rmB。 因而A的列向量组线性相关，B的列向量组线性无关. 7.证：证：由ABO，得( )( )()0, ( )( ).rrkrrrkABABAB 8.证：证：由 2 6AAEO，得(3 )(2 ).AE AEO根据第7题可得 (3 )(2 ).rrnAEAE 又因为(3 )(2 )(3 )(2 )(5 ),rrrrnAEAEAEAEE所以 (3 )(2 ).rrnAEAE 9.证证： （1）当( )rnA时， 1 0,0, (). n rn AAAA （2）当( )1rnA时，0,. AAO 由 AAA EO，得( )(),rrn AA()( )1.rnr AA 由, AO又得()1.r A所以()1.r A （3）当( )2rnA时，, ()0.r AOA 10.证：证：AB为m阶方阵， 因为()( )rrnmABA， 所以AB为降秩矩阵，0.AB 提高题提高题 5-2 1.证：证： 因为( )rrA，所以存在可逆矩阵P和Q，使得 , r EO PAQ OO 1111 , rr r EEO APQPE O Q OOO 令 11 , r r E BPCE O Q O 则B和C的秩都为r，分别为mr矩阵和 rn矩阵，且.ABC 2. 证：证： 设( )rrA，则存在可逆矩阵P和Q，使得 , r EO PAQ OO 11111,rr EOEO APQP Q QQ OOOO 令 111 , r EO BP QCQQ OO 则 2 CC，且.ABC 3. 证法证法 1：因为( ),rkA所以()( )( )( )rrrkrABABB. 又因为()( )rrABB，所以()( ).rrABB 证法证法 2： T A A为k阶方阵，由()( ) T rrkA AA知， T A A为可逆矩阵。于是， ( )()(), T rrrBA ABAB即()( ).rrABB 又因为()( ),rrABB所以()( ).rrABB 注：当A的秩等于其列数时，称A为列满秩矩阵。该题是性质 4-3 左乘可逆矩阵情况 的推广。 4.解：解：设A为n阶矩阵。 1 (1) ()n abb bab anb ab bba A. 当ab且(1)anb时，( ).rnA 当0ab时，( )0.rA 当0ab时，( )1.rA 当(1)0anb时，( )1.rnA 思考题思考题 5-3 1.不一定。例如，向量组 I： 12 11 , 00 aa 能由向量组 II： 12 10 , 01 bb 线 性表示，但向量组 II 不能由向量组 I 线性表示。 2.能。 3.（1）等价矩阵的列向量组不一定等价。例如，矩阵 10 00 与 00 01 等价，但是它 们的列向量组不等价； （2）等价的列向量组所构成的矩阵不一定等价。例如，向量组 101 , 012 与向量组 11 , 01 等价，但他们构成的矩阵不等价。 4.不一定。例如，向量组 12 , 00 与向量组 00 , 11 的秩相等，但它们不等价。 5.选D. 6.选D. 注：等价的向量组所含向量的个数可以不同，可以一个相关而另一个无关。 7. 选D. 因为 12 (,) r r 12 (,) s rs ，若sr，则 12 (,) r rr . 8. 选D. 习题习题 5-3 1.（1）线性相关。（2）线性相关。 2.（1）秩为 3， 124 ,a a a是一个极大无关组， 312524 2,.aaa aaa （2）秩为 3， 124 ,a a a是一个极大无关组， 312 2. aaa (3) 秩为 4， 1234 , TTTT aaaa是极大无关组. 3. 证：证：设 123123 ,Aa a aBb b b则BAP，其中 102 110 011 P 由1 P知，P可逆，所以 ( )()( ).rrrBAPA 所以B的列向量组和A的列向量组的线性相关性相同，结论成立. 4.解：解：设 123123 ,Aa a aBb b b则BAP，其中 11 22 011 k k P 要使 123 ,b b b线性相关，需0P. 由0P，得0k 或2k 。 所以当0k 或2k 时，向量组 123 ,b b b线性相关。 5. 解解：设 1212 , mm Aa aaBb bb，则BAP，其中 10001 11000 01100 00010 00011 P 1 1( 1) m P 当m为奇数时，=2P，P可逆，( )=r( )=rmBA， 12 , m b bb线性无关。 当m为奇数时，=0P， ( )=r()r( )rmBAPP， 12 , m b bb线性相关。 6.证：证：由向量组 12 , m b bb线性无关，可得 12 (,) m rmb bb. 由向量组 12 , m b bb能由向量组 12 , n a aa线性表示，又可得 1212 (,)( ,). mn rrnb bba aa 所以 mn. 7.证证：必要性 若 12 , n a aa为 n R的极大无关组，则对于 n R中的任意向量a， 12 , n a aa a都线性相关，因而a能由 12 , n a aa线性表示。 充分性 若 n R中的任意向量a都能由 12 , n a aa线性表示， 则 12 , n n e eeR能由 12 , n a aa线性表示，于是 1212 ( ,)( ,) nn rrne eea aa. 由 12 , n e ee线性无关， 得 12 ( ,) n rne ee.因而 12 ( ,) n rna aa， 12 , n a aa 线性无关。 因为(),rn n R所以 12 , n a aa为 n R的极大无关组。 8.证：证： 12 123123 032204103124 103124032204 , 210111210111 321213321213 rr a a a b b b 3123 41 2 3 103124103124 032204016157 016157032204 028179028179 rrrr rr 32 42 3 2 103124103124 016157016157 002051525004135 004135000000 rr rr 因为 123123123 ( ,)( ,)3rra a a b b ba a a，所以向量组 II 能由向量组 I 线性表示. 又因为 13 123 20411