苏北七市2020届高三数学三模试卷及答案

苏北七市2020届高三年级第三次模拟考试 数学 参考公式： 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上 1已知集合A=-1,0,1，B=0,2,则AB=. 2设复数z满足(3-i)z=10,其中i为虚数单位，则z的模是. 3右图是一个算法流程图，则输出的k的值是. 4某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3.为了解学生对防 震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷 检测.若高一年级抽取了20名学生，则n的值是. 5今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果， 功不可没.“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液: “三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从 “三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是. 6在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x的准线是双曲线 x2 a2 - y2 2 =1(a0)的左准线，则实数a的值是 . 7已知 cos( + ) = 5 13 ， sin = 3 5 ， , 均为锐角，则 sin 的值是 . 8公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体 得到的(如图所示).设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则 V1 V2 长的值是 . (第8题) 9已知x1,y1,xy=10，则 1 lgx + 4 lgy 的最小值是 . 10已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.若 4S2, S4, -2S3成等差数列，且 a2+ a3= 2，则 a6的值是 . 11海伦(Heron，约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式” 是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a, b, c 计算其面积的公式 SABC= p(p-a)(p-b)(p-c) ，其中 p = a+b+c 2 . 若 a = 5， b = 6， c = 7，则借助“海伦公式”可求得 ABC的内切圆的半径r的值是. 12如图， ABC 为等边三角形，分别延长 BA, CB, AC 到点 D, E, F，使得 AD = BE = CF. 若 开始 结束 k1 kk+1k2-4k0 输出k Y N (第3题) BA =2AD ，且DE=13,则AF CE 的值是. A B C D EF (第12题) 13已知函数f(x)= k(1- 2 x ),x b 0) 的左、右焦点分别为 F1， F2， 过点F2的直线交椭圆于M,N两点.已知椭圆的短轴长为22 ，离心率为 6 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线MN的斜率为5 时，求F1M+F1N的值； （3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P(t,0)，求实数t的取值范围 Ox y F1 F2 M N (第18题) A BC O 2 (第17题) 19（本小题满分16分） 已知是 an各项均为正数的无穷数列，数列 bn满足bn=anan+k(nN N*)，其中常数k为正整数 （1）设数列 an前n项的积Tn=2 n(n-1) 2 ，当k=2时，求数列的 b n 通项公式； （2）若 an是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2-b1=4，求数列 1 bn 的前2020项的和； （3）若 bn是等比数列，且对任意的 nN N *，a nan+2k=a 2 n+k，其中k2，试问： an 是等比数 列吗？请证明你的结论. 20（本小满分16分） 已知函数f(x)= alnx x ，g(x)= x+aln ex ，其中e是自然对数的底数. （1）若函数f(x)的极大值为 1 e ，求实数a的值； （2）当a=e时，若曲线y= f(x)与y= g(x)在处的切线互相垂直，求x0的值； （3）设函数h(x)= g(x)- f(x)，若h(x)0对任意的x(0,1)恒成立，求实数a的取值范围 数学(附加题) 21【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A.选修选修42：矩阵与变换：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知mR R, = 1 1 是矩阵MM= 1m 21 的一个特征向量，求MM的逆矩阵MM -1. B.选修选修44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在极坐标系中，圆C的方程为=2rsin(r0).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直 角坐标系，直线l的参数方程为 x=3 +t, y=1+3 t (t为参数).若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范 围 C选修选修4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分10分） 已知x1，y1，且x+y=4，求证： y2 x-1 + x2 y-1 8 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 22.（本小题满分10分） 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖 励.已知开每扇门相互独立，且规则相同.开每扇门的规则是：从给定的 6把钥匙(其中有且只有1把 钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回.若门被打开，则转为开下一 扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至 5扇门都进行了试开，活动结 束. （1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E(X)； （2）求恰好成功打开4扇门的概率. 23.（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，准线与x轴的交点为E. 过点 F 的直线与抛物线相交于 A, B 两点， EA, EB 分别与 y 轴相交于 M, N 两点当 AB x 轴时， EA=2. （1）求抛物线的方程； （2）设EAB的面积为S1，EMN面积为S2，求 S1 S2 的取值范围. O x y A B EF M N (第23题) 1 A1 C1 B AC D E B1 F 2020 届届高高三三第第三三次次调调研研测测试试 数学学科参考答案及评分建议 一、填空题： 1. 1 0 1 2 ，2. 13. 54. 555. 3 5 6.27. 33 65 8. 5 6 9. 910.3211. 2 6 3 12. 9 2 13.(27) ，14. 1042)， 二、解答题： 15.【解】 （1）在ABC 中，因为 5(sinsin) 5sin8sin CB AB abc ， 所以由正弦定理 sinsinsin abc ABC ，得5()()(58 )bc cbaab， 即 2228 5 abcab， 4 分 所以由余弦定理，得 222 4 cos 25 abc C ab 7 分 （2）因为 4 cos 5 C ，(0)C，所以 23 sin1cos 5 CC， 9 分 所以 24 sin22sincos 25 CCC 12 分 因为AC， 所以 24 sinsin()sin()sin2 25 BACACC 14 分 16. （1）在直三棱柱 111 ABCA BC中， 1 CC 平面ABC， 因为AC 平面ABC，所以 1 CCAC 2 分 又因为ACBC， 1 BCCCC， 1 BCCC ，平面 11 BCC B， 所以AC 平面 11 BCC B. 4 分 因为AC 平面ACD，所以平面ACD 平面 11 BCC B 6 分 （2） （方法一）取 AC 的中点 F，连结 DF，EF 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，F是AC的中点， 所以 EFAB，且 1 2 EFAB 8 分 因为 D 是 11 AB的中点，所以 111 1 2 B DAB 又因为在棱柱 111 ABCA BC中，AB 11 AB，且 11 ABAB， 所以 EFDB1，且 EF =DB1， 10 分 所以四边形 1 EFDB是平行四边形，所以 B1EFD 12 分 因为 1 B E 平面 ADC，FD 平面 ADC， 2 A1 C1 B A C D E B1 G 所以 1 B E平面ACD 14 分 （方法二）取 AB 的中点 G，连结 EG，B1G 因为在ABC 中，E 是 BC 的中点，G是AB的中点， 所以 EGAC 因为GE 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 EG平面 ACD 8 分 在棱柱 111 ABCA BC中，ABA1B1，且 AB =A1B1， 因为 D 是 11 AB的中点，G 是 AB 的中点， 所以 AGDB1，且 AG =DB1， 所以四边形 1 AGB D是平行四边形，所以 B1GAD 因为 1 BG 平面 ACD，AC 平面 ACD， 所以 B1G平面 ACD 10 分 又因为 EG平面 ACD，BGGE ，平面 B1GE， 1 BGGEG， 所以平面 B1GE平面 ACD 12 分 因为 B1E平面 B1GE， 所以 1 B E平面ACD 14 分 17. 过点O作ODBC于点D，则D为BC的中点 又ABC 为等腰三角形，所以AOD， ，三点共线， 所以AOBAOC 所以 22 1 111 211sin2sin2 222 S， 2 分 2 1 21 2sin2sin0 22 S ， 4 分 （1）当 3 时， 21 1 2sinsin2 2 SS 12 2sinsin 3323 5 3 43 答：当 3 时， 21 SS的值为 5 3 43 cm2 6 分 （2）设 21 1 ( )2sin+sin20 22 fSS ， 所以 2 ( )2cos1cos22 cos+cos1f 8 分 令( )0f，得 51 cos 2 ， 51 cos 2 （舍） ， 3 记 0 51 cos 2 ， 0 0 2 10 分 列表如下： 所以当 0 51 cos 2 时，( )f取得最大值，此时 21 SS的值最大 答：当纪念章最美观时， 51 cos 2 14 分 18. （1）设椭圆的焦距为2c， 所以 222 22 2 6 3 b c a abc ， ， ， 解得 2 6a ， 2 2b ， 2 4c 所以椭圆的标准方程为 2 2 1 62 y x 3 分 （2）因为直线MN的斜率为5，且过点 2(2 0) F， 所以直线MN的方程为5(2)yx 由 2 2 5(2) 1 62 yx y x ， +， 得 2 830270 xx，解得 39 24 xx， 所以 53 () 22 M， 59 () 44 N， 所以 22553 693 ()() 42424 MN 6 分 又因为 12121 ()()4 6MFMFNFNFMFNFMN， 所以 11 13 6 4 MFNF 8 分 （3）设 11 ()M xy， 22 ()N xy，又( 0)P t，2t ， 所以 1122 ()()PMxtyPNxty ， 又因为点P在以MN为直径的圆上，所以PMPN ， 所以 1212 ()()0PM PNxt xty y ， 0 (0)， 0 0 () 2 ， ( )f 0 ( )f 极大值 4 所以 2 121212 ()0 x xt xxty y 10 分 当直线MN倾斜角为0时，(6 0)N ，( 6 0)M，所以6t 当直线MN倾斜角不为0时，设直线MN方程为2xmy 由 2 2 2 1 62 xmy y x ， +， 消去x，得 22 3420mymy() 所以 22 122 122 168(3)0 4 3 2 . 3 mm m yy m y y m ， ， 所以 1212 (2)(2)x xmymy 2 1212 2 ()4m y ym yy， 1212 ()4xxm yy 12 分 所以 22 1212 (1)(2)()440my ymtm yytt， 所以 2 2 2 31210 0 6 tt m t ， 14 分 解得 6 62 3 t或 6 62 3 t（舍去） 综合得，实数t的取值范围是 6 62+ 3 ， 16 分 19.（1）2n时， 1 1 2n n n n T a T ， 1n 时， 11 1aT，符合上式，所以 1 2n n a ，Nn ， 所以 2 4n nnn ba a ，所以数列 n b的通项公式为4n n b 3 分 （2）因为 111 1 k ba akd ， 222 (1) 1 (1) k baadkd ， 21 4bb， 所以 2 21 4(1)2(1)2bbkdddkd 因为k N，0d，且d Z，所以(1)2dkd，所以1d 所以 2 42 1(1) 1k ，则1k 7 分 从而 n an， 1 (1) nnn ba an n ，所以 111 1 n bnn ， 5 所以 122020 111 bbb 11111 (1)()() 22320202021 12020 1 20212021 9 分 （3）设等比数列 n b的公比为 q，显然 q0 由 nnn k baa ， 2n kn knk baa ， 得， 2kn kn knk nnn k baa q baa 因为 2 2nnkn k aaa ，所以 2n knk nn k aa aa ，即 2 kn k n a q a ， 所以 2 k n k n a q a （正常数） 12 分 由 nnn k baa ， 111nnn k baa ， 得， 111nnn k nnn k baa q baa （*） 14 分 因为 2 k n k n a q a ，所以 1 1 nkn k nn aa aa ， 将 11nnk nn k aa aa 代入（*）式，得到 2 1n n a q a ，即 1 1 2 n n a q a （正常数） ， 所以 n a为公比为 1 2 q的等比数列 16 分 20. （1）因为 ln ( ) ax f x x ，所以 2 (1ln ) ( ) ax fx x 令( )0fx，得ex ，因为0a ，列表如下： 所以 lne1 ( )(e) ee a f xf 极大值 ，所以1a 3 分 （2）当ea 时， eln ( ) x f x x ，则 2 e(1ln ) ( ) x fx x ， 1 ( ) ex x g x ，则( ) ex x g x 曲线( )yf x与( )yg x在 0 xx处的切线互相垂直， x (0 e)， e (e)， ( )fx +0 ( )f x 极大值 6 所以 00 ()()1fxg x ，即 0 00 2 0 e(1ln) 1 ex xx x ， 5 分 整理得 0 00 eelne=0 x xx 设( )eelne x r xxx，则 e ( )(1)exr xx x 因为0 x ，所以( )0r x， 所以( )eelne x r xxx在(0) ，上单调递增 7 分 又因为(1)0r，且 0 ()0r x，所以 0 1x 8 分 （3） lnln ( ) ex xaax h x x ， 设( )ee x m xx，则( )ee x m x 令( )0m x，得1x 列表如下： 所以 ( )(1)0m xm 最小值 所以ee x x， 所以lneln(e ) x x，即1lnxx，即ln1xx 10 分 1 e a时，ln1a又因为01x，所以ln0 x 22 1(ln )(1ln )1(1) 1ln ( ) eee xx xaaxx x h x xx 2 1(1) 2 ee x x x x 22 (2)(1) 22 0 e ee x x xx x xx 所以( )h x在(0 1)，上单调递减，所以 1ln ( )(1)0 e a h xh 14 分 当 1 0 e a时， 1ln (1)0 e a h ，ln0a ，e1 a ， 所以 (1e )ln ln ( )ln0 eeee a aaaa a aaaa h aa ， 又( )h x在(0 1)，上图象不间断， 所以存在(0 1)t，使( )0h t ，不合题意 x (1)， 1 (1)， ( )m x 0 ( )m x 极小值 7 综上，a 的取值范围为 1 e ， 16 分 21.A 因为是矩阵的一个特征向量， 所以存在非零实数，使得， 所以，即解得则 5 分 设，则，即，所以 解得所以 10 分 B 将直线 l 的参数方程为 3 13 xt yt ， （t 为参数）化为普通方程为320 xy 3 分 由2 sin (0)rr，得 2 2sinr， 所以圆 C 的直角坐标方程为 222 ()xyrr 6 分 因为直线l与圆 C 恒有公共点，所以 22 2 ( 3)( 1) r r ，解得2r. 所以实数 r 的取值范围是2) ， 10 分 C 因为1x ，1y ，且4xy，由柯西不等式得， 2 2 (1)(1) 11 y x xy xy 2 2 2 2 11()16 11 y x xyxy xy ， 8 分 8 即 2 2 216 11 y x xy ，所以 2 2 8 11 y x xy . 10 分 22.（1）X 的可能取值为 1，2，3，4， 1 (1) 6 P X ， 511 (2)= 656 P X ， 5411 (3)= 6546 P X ， 543