H1N1疫情分析与预测(1)

H1N1疫情分析与预测姓名：李世超 07机 械1 樊 洁 07化 工2李献磊 07自动化2 日期： 2009年8月11日摘要：甲型H1N1流感是甲型H1N1流感病毒引起的一种急性呼吸道传染病，这种病在猪群中经常发生，但很少导致猪的死亡。由于人类与猪的种属差异，在通常情况下人类很少感染猪流感病毒。此次甲型H1N1流感是一种变异了的新型流感病毒，它主要是在人类中传播。甲型H1N1流感对人们的正常社会经济生活秩序造成了不同程度影响。于是我们开始研究该种疫情的发病原因，传播规律，以求在最短的时间内找到最合适的控制疾病传播的办法。由于传染病传播涉及的因素很多，如感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等，另外还要考虑人群的迁入和迁出以及潜伏期等因素的影响。我们首先考虑最简单的模型，然后逐步增加某些重要因素，最终得到一个较为 理想的数学模型。模型一，传染病的传播是按指数函数增加的。假设每个病人在单位时间内传染的人数是常数；一个人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。这个模型与传染病初期比较吻合，但它表明随着时间增长病人人数将无限增加，显然与实际不符。转而看模型二，假设单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比；一人得病后，经久不愈，且人在传染期内不会死亡；总人数为常数，这样就可以避免传染病的传播按指数函数增加，与实际传染情况不相符。模型三中引入了易感者、感病者和移出者，相比于模型一、模型二考虑的因素更多，使模型变的更加完整，经典的SIR模型是基于微分方程思想，结合病毒的传播规律，假设在所考虑的时期范围内人口总数保持在固定水平N，即不考虑出生及其它原因引起的死亡，以及迁入迁出等情况；易受传染者人数的变化率正比于感病者的人数与易感者人数的乘积；最后我们设计了一种数学模型，对上述模型进行了重建，细化了人群分类，不仅对于变量间的关系进行了改进，而且引入了政府控制力等变量。在系数估计部分，在收集到大量数据的基础上，由于中国实际情况的特殊性，所以除了医疗能力、输入型携带者等系数可以通过中国的数据进行估计，但是对于传染率、接触率等系数的估计要更多的参考美国、墨西哥等疫区的数据。我们进一步通过对人群的不同分类，建立微分方程组，可分别预测出健康者人数,确诊患者人数,治愈移出人数, 隔离疑似患者人数, 非输入病毒携带者（未隔离）人数，人口总数变化人数中输入携带者，结合任意两者的信息就可以得到足够的信息量.但模型中的部分参数无法确定给模型求解带来困难，但可以通过搜集更多的数据和资料加以解决。模型的建立和完善后，利用matlab软件对模型的预测结果进行了模拟分析、求解。关键词：H1N1、拟合、数学模型、微分方程问题重述： H1N1疫情袭来扰乱了我们的生活，疾病的突袭使很多人丧失了生命，同样给市场和企业也带去了重创，从互联网或报刊上搜集有关广州、香港、北京等地区的H1N1疫情的数据，根据这些数据建立这种传染病的数学模型。要求：（1）对疫情的传播规律进行分析；（2）对各地卫生状况、医疗水平、地方政府采取的措施对疫情的控制作用进行分析，提出你的见解；（3）对各地疫情的高潮期、缓解期、最终控制预期进行分析或预测；（4）给地方报刊写一篇短文（不超过两页），阐述你的研究结果，并对疫情的控制提出你的建议。问题分析传染病是由病原微生物（如病毒、细菌等）感染人体后所产生的有传染性的疾病。由于传染病传播涉及的因素很多，如感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。另外还要考虑人群的迁入和迁出以及潜伏期等因素的影响。如果一开始就把所有的因素全部考虑在内来建立模型，那将无从下手。我们首先考虑最简单的情形，然后逐步增加某些重要因素，最终得到一个较为完整的数学模型。对于一般的传染病蔓延规律，人群中的患病者，作为传染源,对接触到的子感人群，进行病毒感染。考虑到人体自身的免疫力和病毒的传染条件等因素，易感人群有一定的受感染概率，如果被感染，或是直接转化为患病者，或是成为病毒的携带者。之后，在患者、病毒的携带者和易感人群中，上述的传播过程不断的进行下去。但是政府的防控能力、医院的治愈能力、人群的防范意识、人体自身的自愈能力等因素对病毒的蔓延趋势具有有效的限制能力。中国对甲型H1N1采取了严防、严控等有效措施。对于传染源从国外输入国内的情况和国际疫情对中国输入型病例的影响都需要有效的估计。而且还要考虑中国的人口密度、医疗水平和政府的重视程度等因素，考虑到上述的分析，结合SIR模型的中心思想，首先通过把人群分类，分类的标准基于上述的分析过程，这样能够区分其中具有传染性的人群。考虑到对于疑似病例是否隔离和病毒携带者的人群接触率等因素来建立病毒传播的模型。为了完善模型，考虑病愈者具有的病毒免疫性对病毒传播的影响。模型建立与求解模型一 、 考虑最简单的情形：假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡。记表示t时刻病人数，表示每个病人单位时间内传染的人数，即最初有个传染病人。则在时间内增加的病人数为 于是得微分方程 (1)， 其解为 结果表明：传染病的传播是按指数函数增加的。这个结果与传染病传播初期比较吻合，传染病传播初期，传播快，被传染人数按指数函数增长。但由方程(1)的解可以推出，当时，这显然是不符合实际情况的。问题在于两条假设均不合理。特别是假设(1)，每个病人在单位时间内传染的人数是常数与实际不符。因为在传播初期，传染病人少，未被传染者多；而在传染病传播中期和后期，传染病人逐渐增多，未被传染者逐渐减少，因而在不同时期的传染情况是不同的。为了与实际情况吻合，我们在原有基础上修改假设建立新的模型。模型二 、 用表示t时刻传染病人数和未被传染人数，。假设(1)，每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比，即 ；假设(2)，一人得病后，经久不愈，并在传染期内不会死亡；假设(3)，总人数为n，即由以上假设得微分方程 (2)用分离变量法求得其解为 (3) 其图形如图17.1所示模型二可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时间。i(t) n 0tt 0 图17.1 图17.2 医学上称为传染病曲线，它表示传染病人增加率与时间的关系，如图17.2所示。 由(3)式可得 (4) 令 ，得极大点为 (5)由此可见，当传染病强度K或总人数n增加时，都将变小，即传染病高峰来得快，这与实际情况吻合。同时，如果知道了传染强度K（K由统计数据得出），即可预报传染病高峰到来的时间，这对于防治传染病是有益处的。模型二的缺点是：当时，由(3)式可知，即最后人人都要生病，这显然是不符合实际情况的。造成该问题的原因是假设(2)中假设了人得病后经久不愈。为了与实际问题更加吻合，对上面的数学模型再进一步修改，这就要考虑人得了病后有的会死亡；另外不是每个人被传染后都会传染别人，因为其中一部分会被隔离。还要考虑人得了传染病由于医治和人的自身抵抗力会痊愈，并非象前面假设的那样，人得病后经久不愈。为此作出新的假设，建立新的模型。模型三就是经典的SIR模型,在此模型中，虽然要考虑比前面两个模型复杂得多的因素，但仍要把问题简单化。设患过传染病而完全痊愈的任何人具有长期免疫力，不考虑反复受传染的情形，并设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即一个人患了病之后立即成为传染者。在这种情况下，把居民分成三类：第一类是由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的，用I(t)表示t时刻第一类人数；第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的，用s(t)表示t时刻第二类人数；第三类包括患病死去的人，病愈后具有长期免疫力的人，以及在病愈并出现长期免疫力以前被隔离起来的人，用R(t)表示t时刻第三类人数。经典的SIR模型,把微分方程模型应用于病毒的传染模型。在建模过程中作如下的假设：1. 总人数N不变，人群分为健康者、患者和病愈移出者三类，三类比例、。2. 病人的日接触率为，日治愈率为。由假设1可得，由假设2推导可得 ，对于病愈的移出者应有，再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是和 ，初始值时病愈者比例。则这种假设条件下的病毒的传播数学模型为： 模型四：改进的模型: 1.问题进一步分析: 结合本次H1N1在中国传染的特性，基于SIR模型的中心思想，在上述介绍的基础上，结合中国甲型H1N1流感的实际情况，做以下的模型重建分析。在疾病的防治过程中，病毒传播的控制与政府和医疗部门及社会公众的防范控制措施有关，它不是单一因素，而是多因素的综合，包括隔离、消毒、医药预防、减少公共场合开放时间以及公众自我防范意识的增强等。输入型流感是指出国后被传染发病回国的病例，或者出国。被传染但没有立即发病而是回国后发病的病例，非输入型流感病例是指被输入型病毒携带者传染后在国内患病的患者。所以根据题意分析，在未对输入型患者成功进行隔离的前提下，对于病毒大范围传播后的治疗过程中对非输入传染型患者隔离是个必须的防治手段。2.模型假设:我们把整个人群分为六类: 健康者人数,确诊患者人数,治愈移出人数, 隔离疑似患者人数, 非输入病毒携带者（未隔离）人数，人口总数变化人数中输入携带者。根据实际情况假设，政府控制力度系数。1. 某一时段, 某一地区的迁入迁出相对较稳定且占总人数比率较小, 故假设人口总数不变，但由于H1N1病毒的输入性必须考虑人口变化中的输入者；2. 人的活动是随机的, 为了简化模型可以假设病人与被感染者的个体在人群中混合是均匀的, 并且人群个体间是没有差异的；3. 将H1N1 的传播途径视为与病源在传播范围内的有效接触；4. 因为H1N1感染后都有一定的潜伏期, 所以假设每一个确诊病人都经历了潜伏期, 也就是说任意的确诊病人都是由隔离疑似患者、病毒携带者或输入携带者转化而来的；5. 假设,，,，是随时间变化的；6. 疑似病例与确诊病人被完全隔离, 不再具有传染性；7. 不考虑被隔离, 而实际未得病的情况, 因为即使有, 这部分人是没有自由的, 所以他们也不会对传染过程产生影响；8. 患者治愈移出后具有对病毒的免疫能力，但没有天生对其免疫的人；9. 政府控制力度系数影响了未被隔离的病毒携带者被隔离的比率；10. 认为总人数不变，不考虑出生率和自然死亡率参数说明:隔离者中每日排除的人数占疑似人数的比例；隔离者中每日确诊的人数占疑似人数的比例； 每个自由病毒携带者转化为确诊病人的日转化率；每个携带者被隔离前平均每天感染的有效人数；病毒携带者有效感染的人中可能被隔离的比率；确诊病人的日治愈率；政府控制力度系数。 平均每日输入携带者的个数3模型建立和求解通过以上的分析与假设，基于SIR模型中心思想，结合微分方程知识，建立以下H1N1病毒传播模型：根据参数关系, 可列出如下方程组:微分方程组中，等号左边的导数式代表了各变量在单位时间内的增长量，左边是根据各变量的关系（通过对甲型H1N1病毒传播过程的分析）建立的关系式。5参数估计在上述的假设条件下，中国本土的甲型H1N1病毒的传播数据的利用性不高，但医疗水平、输入型病例及人口分布等相关系数的估计还是采用国内数据。本文采用了大量的美洲、日本等疫区H1N1病毒传播的相关数据，对模型所需系数进行了估计。. ，可由数据近似推导得到，我们取近似值=0.02，=0.035 、其精确解无法得到，但从数据中可推算出其取值范围，分别是： ：0.150.32 ：0.71.1：0.700.95 ：0.0060.0087通过上述建立的模型方程组，为获得更好的拟合优度，获得最优的参数：=0.27，=0.8，=0.7，=0.006416 模型求解 图（1）横坐标是时间t，纵坐标是患病人数i由模型的求解过程可知，患病人数的增速在初期很快，但逐渐减小；在90天附近患病人数达到最大值，约为2260人左右；然后患病人数缓慢的下降。下面应用三次多项式拟合与我们建立模型的结果进行比较。图（2）应用三次多项式拟合的结果 由上图分析可知，利用三次多项式拟合的结果，患病人数的增速随着时间的增长，逐渐增大。而且由于三次多项式的特点，患病人数结果没有上限。由曲线可知，三次多项式在短期的预测结果较好，但在长期预测中，效果远不如本文建立的模型。 模型优缺点上述的试验结果表明，本文建立的模型不仅短期的预测结果较好，而且在长期模型预测中，能够有效的控制曲线的增长速度。通过假设和分析，模型设计的变量和系数能够有效的控制预测结果的走向。变量能够有效的加强模型的稳定性，而且接近现实数据。因此传染病流行是有一定规律可循的，比如，一些疾病有着固定的易传染时间段，从感染到发作的时间比较固定，传染能力、致死率等因素也可以被我们获知。通过建立流行病模型描述传染病传播的特点，预测传播的规模、速度等。通过计算有多大几率传染该地区的易感人群，就能找出流感在全球传染的可能情况，我们就可以预测疾病从发源地向其他地区传播的路径和速度，从而对将要发生的威胁作出预测，。不足之处：H1N1流感容易发生变异，只能在疾病爆发的一段时间内使用，尽快研发疫苗，如要长期使用这个模型，使得具有很普遍通用性，并且没有准确的数据,随机性太强. 仍需要做进一步改进。小作文共同抗击HINI 甲型H1N1流感是甲型H1N1流感病毒引起的一种急性呼吸道传染病，这种病在猪群中经常发生，但很少导致猪的死亡。此次甲型H1N1流感是一种变异了的新型流感病毒，它主要是在人类中传播。它的到来对人们正常的社会经济生活秩序造成了不同程度影响。其中表现最为突出的是猪肉市场,其次股票市场以及汽车产业也分别受到了不同程度的影响,共同抗击HINI已经成为迫在眉睫的事情。目前对HINI传播的研究主要是以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。随着疫情接近尾声，对HINI的传染病学机理和传播机制越来越了解，可考虑疫情的空间分布和时间发生的概率，结合计算机进行大量模拟，得出更为全面和准确的模型。进一步的工作和更准确结果的得出，将有待于专家学者们进行深入研究。本文建立了针对H1N1特点的微分方程数学模型，根据不同情况对各参数进行了合理的假设及估计。本文采用均匀分布对数据进行估计，希望在以后的研究过程中能应用更合理的数据概率分布。在模型中，每个携带者被隔离前平均每天感染的有效人数具有很大的随机性，但是它对病毒传播具有重要的影响，因此对的估计需要建立更有效的数学模型。本文提出的模型可以在这些方面进行改进。我们对卫生部门所采取的其他措施的评价：除上面的措施外，我们还制定了其它的预防控制措施，大致如下：1.疾病预防控制机构详细了解、记录H1N1型病人、疑似病人及其密切接触者的情况.2.疾病预防控制机构发现疫情填写到疫情报告，应立即报告上级疾病预防控制机构和当地卫生行政部门.3.医疗机构履行首诊医生负责制.4.县(区、市)疾病预防控制机构接到疫情报告后，应在2小时内上报省、市(地)级疾病预防控制机构、同级卫生行政部门，同时将收到的传染病报告进行网络直报.卫生部接到报告后立即向国务院报告.5.订正报告，包括疑似病例转诊断病例、疑似病例排除、诊断病例转疑似病例、诊断病例排除.6. H1N1流行期间，各级卫生行政部门根据卫生部要求，实行H1N1病例、疑似病例发病、转归等情况日报和“零”病例报告制度。这些措施的两个目的：1. H1N1监测的敏感性和报告的及时性，做到“早发现、早报告、早隔离、早治疗”。2.提高疫情监测报告质量，及时、准确地掌握H1N1型病人在人群中的发病情况和流行病学分布特征，为制订科学、有效的预防控制措施提供依据。参考文献 1 姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育