第四章单自由度系统振动分解PPT课件

.,1,机械系统动力学DynamicsofMechanicalSystem,太原科技大学：宁少慧,.,2,第4章单自由度系统振动,4.1振动分类及求解步骤4.2振动系统模型及其简化4.3单自由度系统的自由振动4.4谐波激励下的强迫振动4.5周期性激励下的强迫振动4.6任意激励下的强迫振动4.7单自由度系统振动的应用,.,3,4.1振动分类及求解步骤,离散系统是具有集中参数元件所组成的系统，具有有限多个自由度；连续系统是由连续参数元件组成的系统，有无限多个自由度。在离散系统中，最简单的最基本的是单自由度振动系统。,.,4,4.1.1振动的分类,1、定义：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所做的往复性机械运动。,有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故。,.,5,4.1振动分类及求解步骤,2、分类,系统的输入系统的输出系统的自由度描述系统的微分方程,.,6,系统的输入,.,7,系统的输出,.,8,系统的自由度,.,9,描述系统的微分方程,.,10,4.1.2振动问题的求解步骤,1、建立振动系统的力学模型；m-c-k系统。2、建立振动系统的数学模型；建立运动微分方程。用牛顿第二定律和拉格朗日方程。3、求解运动微分方程。用解析法。,.,11,4.2振动系统模型及其简化,4.2.1单自由度系统的基本模型,振动系统的力学模型：质量块（m），阻尼器（c）；弹簧（K）。单自由度系统：只用一个坐标就可以把振动系统的形态表明了，这种系统称为单自由度系统.,.,12,系统的简化取决于考虑问题的复杂程度与所需要的计算精度。考虑的问题越复杂，精度越高，模型的复杂程度也越高。,.,13,锤体,砧座和基础,土壤刚度,土壤阻尼,锤体,砧座,弹性垫刚度,弹性垫阻尼,基础,土壤阻尼,土壤刚度,x1,x1,x2,例1锻锤模型,.,14,4.2.2单自由度系统模型的简化,例1简化机床的力学模型：机床工作时，产生惯性力的作用，机床和基础一起产生振动，下面的地基即土壤长生较大的弹性变形，当弹簧来处理。,基础和机床,.,15,例2电机和梁组成的振动系统的力学模型。电机质量简化为m，忽略梁质量，梁的弹性简化为k，忽略电机的弹性。,.,16,4.3单自由度系统的自由振动,4.3.1单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性,4.3.2振动系统的线性化处理,4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动,4.3.4固有频率的计算方法,4.3.5有阻尼系统的自由振动,.,17,4.3.1单自由度线性系统的运动微分方程及其系统特性,建立运动方程是研究振动的核心问题。方法有：牛顿运动定律能量法拉格朗日方程,.,18,1、牛顿运动定律法：,单自由度线性系统的微分方程：,直线振动：,.,19,从数学上看：是二阶常系数非齐次线性微分方程。左边由系统参数m-c-k决定，反映的是振动系统本身的自然特性，右边是外加激励，反应系统的输入特性。,.,20,单自由度线性系统的微分方程：,说明质量块的重力对系统的运动方程没有影响。线性系统中，忽略恒力及其引起的静位移。,2020/6/7,.,21,例：圆盘转动,圆盘转动惯量I,在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置。,扭振固有频率,为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩,由牛顿第二定律：,角振动：,2020/6/7,.,22,可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。,.,23,从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大。,.,24,4.3.2振动系统的线性化处理,利用泰勒级数展开作线性化处理。,.,25,引用符号,任意时刻由牛顿第二定律有：,得单自由度无阻尼的自由振动标准形式：,1、自由振动微分方程及其解,静平衡时：,上式代入：,运动微分方程法计算固有角频率,4.3.3单自由度无阻尼系统的自由振动,k,.,26,或,代入式（1）均满中该方程,为两个任意常数，则通解可写为：,无阻尼系统的固有角频率rad/s,求解该方程,.,27,系统固有圆频率，单位是1/s,振动固有周期单位是s,振动固有频率单位是Hz,.,28,零初始条件下的自由振动：,零时刻的初始条件：,.,29,（1）单自由度m-K系统无阻尼情况下，在受到外界干扰后，振动体在其平衡位置作的自由振动为简谐振动。（2）自由振动的振幅和初相角取决于运动的初始条件。（3）固有频率或固有周期与初始条件无关，表现出线性系统自由振动的等时性，质量愈大，弹簧愈软，则固有频率愈低，周期愈长；反之，质量愈小，弹簧愈硬，则固有频率愈高，周期愈短。,2、无阻尼自由振动的特性,.,30,小结：,单自由度系统自由振动分析的一般过程：,1、由力学模型建立自由振动的一般方程，并写出振动的标准方程；,2、根据标准方程，建立本征方程并计算得到本征值；,3、根据本征值，写出标准方程的通解；,4、根据初始条件，计算标准方程的特解。,单自由度系统自由振动分析的一般目标：,1、求系统的固有角频率，即固有频率；,2、求解标准方程。,.,31,1.三角函数,由式（1）（2）（3）可知，当物体的位移是简谐函数时，它的速度与,加速度也是简谐函数，它们与位移的频率相同，速度的相位超前位移,，加,加速度的相位超前位移,3.简谐振动的表示法,（1）,（2）,（3）,.,32,2.以旋转矢量表示的简谐振动,式（4）可写为：,式中：,简谐运动可用模为A的旋转矢量在坐标轴x上的投影来表示。,.,33,3.以复数表示的简谐振动,模为A的矢量OP旋转，其复数表示为,根据欧拉公式,式（6）可表示为：,比较式（6）（7）简谐振动是复数旋转矢量在虚轴上的投影.,在以后的叙述中，对复数表达式不做特殊说明时，即表示取其虚部.,2020/6/7,.,34,建立系统的力学模型，就要确定系统的等效质量和等效刚度。,等效质量：使系统只在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。,等效质量和等效刚度,等效刚度：使系统只在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度。,.,35,4、等效刚度,刚度：单位位移（角位移）所需要的力（力矩）。,一端固定的等直圆杆的拉压刚度、弯曲刚度和扭转刚度。,杆长l截面积A截面惯性矩I截面极惯性矩IP材料弹性模量E切变模量G,.,36,拉压刚度,.,37,弯曲刚度,.,38,扭转刚度,结论：机械系统中同一元件、同一点，根据所要研究的振动方向不同，会出现不同的刚度。,.,39,例：串联系统,总变形：,在质量块上施加力P,弹簧1变形：,弹簧2变形：,根据定义：,P,k1,k2,组合刚度,.,40,例：并联系统,两弹簧变形量相等：,受力不等：,在质量块上施加力P,由力平衡：,根据定义：,并联弹簧的刚度是原来各个弹簧刚度的总和。,P,k1,k2,.,41,例：写出下图所示转盘转动的等效扭转刚度其中：AB是具有铝心的钢轴；BC是固体钢轴；DE是固体铝轴。,.,42,.,43,.,44,求解固有频率时，对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能，而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能，因此算出的固有频率是实际值的上限;,这种简化方法在许多场合中都能满足要求，但有些工程问题中，弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略，采用能量法（瑞利法）分析弹性元件的等效质量。,5、等效质量,2020/6/7,.,45,例如：弹簧质量系统,设弹簧的动能:,系统最大动能：,系统最大势能：,若忽略，则增大,弹簧等效质量,因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限.,.,46,例2.试计算悬臂梁的等效质量。,假定振动中梁的变位曲线和梁外端加一静载荷时梁的变位曲线的形状相同。,.,47,瑞利法的概念:在单自由度质量弹簧系统中，将无阻尼自由振动的简谐规律代入具有分布质量的弹性元件，即以集中质量代替分布质量，计算其动能，即,小结：,从而计算系统固有频率。因此，瑞利法，基于能量法，用于处理弹簧质量不能忽略的质量弹簧系统的振动问题。,.,48,小结,选定广义位移坐标后，将系统得动能、势能写成如下形式：,等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等。,2020/6/7,.,49,例：杠杆系统,杠杆是不计质量的刚体，水平位置为静平衡位置：,求：系统对于坐标x的等效质量和等效刚度,.,50,4.3.4固有频率的计算方法,常用的有公式法，能量法和静变形法。,1、公式法,引用符号,任意时刻由牛顿第二定律有：,上式代入：,运动微分方程法计算固有角频率,.,51,2、静变形法,静平衡时：,2020/6/7,.,52,3、能量法,对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。,无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：,或：,2020/6/7,.,53,考虑两个特殊位置上系统的能量,静平衡位置上，系统势能为零，动能达到最大,最大位移位置，系统动能为零，势能达到最大,2020/6/7,.,54,例：铅垂平面内一个滑轮-质量-弹簧系统,确定系统微振动的固有频率。,滑轮为匀质圆柱，绳子不可伸长，且与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固结。,2020/6/7,.,55,解：,广义坐标：质量块的垂直位移x,动能：,x,势能：,.,56,解：,广义坐标：质量块的垂直位移x,动能：,x,势能：,.,57,小结：,能量法的概念:利用无阻尼系统的机械能守恒，即动能T和势能V之和保持不变，即：,求系统的固有频率和振动方程，固有频率即,2020/6/7,.,58,1、有阻尼系统的自由振动规律。2、衰减系数,4.3.5有阻尼系统的自由振动,2020/6/7,.,59,最常用的一种阻尼力学模型是粘性阻尼。例如：在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。,实际系统的机械能不可能守恒，存在各种各样的阻力;振动中将阻力称为阻尼：摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼和结构阻尼;尽管已经提出了许多数学上描述阻尼的方法，但是实际系统中阻尼的物理本质仍然极难确定。,有阻尼系统的自由振动,.,60,粘性阻尼力与相对速度成正比，即：,c：为粘性阻尼系数，或阻尼系数,单位：,动力学方程：,或写为：,固有频率,阻尼比相对阻尼系数,k,c,建立平衡位置，并受力分析：,1、有阻尼系统的自由振动规律,.,61,解动力学方程：,令：,特征方程：,特征根：,四种情况：,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,无阻尼,.,62,动力学方程：,特征根：,特征根：,阻尼固有频率，,有阻尼的自由振动频率。,振动解：,c1、c2：初始条件决定,两个复数根,.,63,振动解：,设初始条件：,则：,或：,时,.,64,阻尼固有频率,阻尼自由振动周期：,T0：无阻尼自由振动的周期,阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期。,阻尼对结构自振周期和频率的影响，阻尼使频率降低，周期延长;阻尼频率完全由系统本身决定。,总结：,2020/6/7,.,65,响应图形,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。,指数衰减规律,振幅包络线方程为：Ae-t自由振动衰减速率，阻尼起决定性作用.,.,66,初始条件x0v0只影响有阻尼振动的初始振幅和初相角。,.,67,第二种情况：,过阻尼,动力学方程：,特征根：,特征根：,两个不等的负实根。,振动解：,c1、c2：初始条件决定。,.,68,振动解：,设初始条件：,则：,一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。,响应图形,2020/6/7,.,69,第三种情况：,临界阻尼,动力学方程：,特征根：,特征根：,二重根,振动解：,c1、c2：初始条件决定。,.,70,振动解：,则：,也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。,临界阻尼系数,设初始条件：,响应图形,.,71,临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些。,欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动。,过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生。,.,72,小结：,动力学方程,欠阻尼,过阻尼,临界阻尼,按指数规律衰减的非周期蠕动。,按指数规律衰减的非周期运动，比过阻尼衰减快。,振幅衰减振动。,.,73,阻尼比,临界阻尼系数,阻尼系数,.,74,评价阻尼对振幅衰减快慢的影响.,与t无关，任意两个相邻振幅之比均为。,2、对数衰减率,定义为相邻两个振幅的比值：,含有指数项，不便于工程应用,实际中常采用对数衰减率：,.,75,实验求解,利用相隔j个周期的两个峰值进行求解:,得：