波利亚-怎样解题(word版)

1.帮助学生第一部分在教室里目的教师最重要的任务之一是帮助学生。这个任务并不简单。它需要时间、实践、热情、健全和合理的原则。学生应该有尽可能多的独立工作经验。但是，如果没有得到任何帮助，让他一个人应对问题。那么他可能没有进步。但是如果老师给他太多的帮助，学生们又不会有事，老师应该对学生们有很大的帮助。那一定给了学生适当的工作。如果学生不能独立工作，老师至少也要让他们觉得自己在独立工作。为此，教师要考虑周到和不引人注目地帮助学生。但是对学生有帮助是很自然的事。教师应该对学生在哪里，了解学生情况，了解学生在想什么，提出学生自己可能出现的问题，或者指出学生自己可能想出的步骤。2.当问题、建议、思考活动想有效地、不引人注目地自然地帮助学生的时候，教师不得不反复做第三个提出了同样的问题，指出了同样的步骤。这样，在很多问题中，我们总是问：未知是什么？我们可以改变公式，用多种方法问同样的问题：求什么？你在找什么？假设你在找什么？这种问题的目的是把学生的注意力集中在未知数上。有时看到未知数后，有人提出可以更自然地达到同样的效果的建议。问题和建议都旨在产生相同的效果，即引起相同的事故活动。在作者看来，在学生和要讨论的问题中，收集和分类几个典型的有用问题和建议是值得的。前面的这张表包含了精心挑选的那些问题和建议。对可以独立解决问题的人也同样有用。读者充分熟悉了这张表，并掌握了以后要采取的行动后，他会觉得这张表间接记载的是对解决问题有用的典型思维活动。这种事故活动不大可能按照表内的顺序发生。3.普遍性表中提出的问题和劝告的重要特征之一是普遍性。例如，未知数量是什么？已经你知道什么？条件是什么？这些问题普遍适用，所以我们对各种问题提出来，就能得到好的结果。其用途不限于任何题目。我们的问题可以是代数的、几何的、数学的、理论的、实际的、严肃的，也可以只是个谜。这没有什么差别。上述问题都有意义，有助于我们解决问题。其实有一个限制，但这与论题无关。一些只能用于“疑难解答”而不能用于“疑难解答”的问题和建议。如果我们的问题是后者的话，就应该使用其他的提问方法。见第三部分“解决问题，寻求解决问题”一节。4.常识我们这张表上的问题和建议具有普遍性，但除了其普遍性外，来自自然、简单、明显的一般常识。例如，这个建议：看未知数！请想想未知数相同或未知数相似的熟悉问题。这个建议不是总是劝告你做你想做的事，而是对你认真解决的问题不提出具体的建议。你饿了吗？如果你想吃点东西，你会想一些你习惯的方法来得到食物。是否存在几何贴图问题？如果你想做三角形，你也会想一些你熟悉的三角化方法。有什么问题吗？如果你想找出某个未知数，你可能会想出一些方法来找出这样的未知数或你已经知道的类似的未知数。如果你那样做，你的路也是正确的。这个建议是个好建议，给了你一个总能成功的节目。我们表上的所有问题和建议都是自然、简单、明确、不可逾越的，这是一般常识；但是这张表概括了常识。该表中提出的应对方法是认真对待那个问题，具有特定常识的人理所当然的。可是，循正确道路行事的人往往不注意用明确的语言表达自己的行为，他可能根本不这样做；我们的票试着表达这个。5.教师和学生，模仿和实践教师向学生提出表格中的问题或建议时，他可能有两个目的：第一，帮助解决学生面临的问题。第二，培养学生今后独立解决问题的能力。根据经验，适当地使用我们表中的问题和建议对学生有帮助。这张表有两个特点：常识和普遍性。这张票来自一般常识，很自然，学生自己也会问这样的问题。这张票不是因为普遍性而对学生有帮助的。只是指出了一般的方向，学生们能做的事情还很多。上述两个目的密切相关。学生们成功解决了当前的问题，他提高了解问题的能力。这时候，不能忘记我们提出的问题是普遍的，适用于很多情况。如果同样的问题反复对学生有帮助，他就会注意这个问题，在类似的情况下，他自己会提出这个问题。通过反复提出这个问题，他总能引出正确的想法。通过这样一次成功，他发现了利用这个问题的正确方法，他真正理解了它。学生们很好地理解了我们表上的几个问题，也许最终他能在适当的时候问自己正确的问题，进行相应的自然活跃的思考活动。这样，学生们一定在我们的表上获得了尽可能多的收获。为了尽可能取得好的结果，老师能做什么？解决问题，例如游泳，是一种实际技能。学游泳的时候，你模仿别人的手脚，把头保持在水面上，最后通过练习(现场练习游泳)学习游泳。想解决问题的时候，要观察和模仿别人解决问题的时候所做的事情，最后学会解决问题。想提高学生解决问题的能力的教师应该培养学生的兴趣，给他们提供很多模仿和实践的机会。如果老师想在自己的学生中发展与我们表中的问题和建议相对应的思维活动，他应该尽可能经常地自然地给学生提出这些问题和建议。教师在全班面前解决问题时，他要使想法更有吸引力，并向自己提出帮助学生时所用的相同问题。有了这样的指导，学生终于找到正确的方法使用表格上的这些问题和建议，之后，他们会学到比任何特定的数学知识更重要的东西。6.步骤4主要部分，主要问题在解决过程中，我们很可能反复改变我们的观点或改变考虑问题的方法。我们必须不断地改变我们的起点。我们开始解决问题的时候，问题的概念可能很不完整。当我们取得某些进展时，我们的看法发生了变化。而当我们几乎得到答案的时候，我们的看法会更加不同。为了把我们表上的问题与建议适当地分组，我们把工作分成了四个阶段。第一，我们必须理解问题。我们要看清楚要求什么吗？其次，我们应该理解每个项目是如何连接的吗？未知数量和数据之间有什么关系？为了得到解决问题的想法，必须制定计划。第三，实现我们的计划。第四，我们审阅完成的答案，进行检查和讨论。上述每个阶段都有其重要性。一个学生可能会想到异常好的想法，跳过所有预备步骤，脱口而出答案。当然，幸运的想法做梦都想不到。但是，学生们在上述四个阶段中的任何一个阶段都不能想好，不能如愿，倒霉的事情也可能发生。最坏的情况是学生们不理解问题，进行计算或映射。一般来说，处理细节没有看到主要联系人或没有进行任何计划，就没有用处。如果学生在执行自己计划的过程中检查每个阶段，就可以避免很多错误。学生们如果不重新检查或重新考虑完成的答案，可能会失去最佳结果。7、确定问题回答尚未查明的问题是愚蠢的。做你不想做的事很伤心。学校内外经常发生这种愚蠢可悲的事，但是教师必须努力不让这种事发生在他的班上。学生必须阐明问题，但他不仅要明确它，而且渴望解决它。如果学生没有正确把握问题或不感兴趣，这不是他的错，问题需要筛选。选择主题并不难，但也不太容易。自然有趣。而且，有时以叙述方式也要自然有趣。第一，要理解问题的文本叙述。教师可以在一定程度上检查这一点，他可以要求学生重新叙述这个主题，学生可以流利地重新叙述这个问题。学生们还应该能够指出问题的主要部分未知数、已知的资料、条件。所以老师提问的时候，不要错过这样的问题：未知数是什么？已知的数据是什么？条件是什么？学生们必须慎重、重复、从各个方面考虑问题的主要部分。如果你问如果问题与任何图表有关，他必须绘制图表，并在上面显示未知数和已知资料。如果必须给这种东西命名，他必须引入适当的符号。如果适当地注意选择符号，他可能需要考虑选择符号的这些对象。在这个准备阶段，假设没有期待明确的答案，只想有暂定的答案或推测，另一个问题可能有用。也就是说，满足条件是可能的吗？(这本书的第二部分把“阐明问题”分为两个阶段：“熟悉问题”和“深度”人理解问题)。8，是让我解释一下上面部分的几点。我们选择以下简单的问题：已知的箱子寻找长度、宽度、高度和对角线长度。要对这个问题进行有益的讨论，学生们必须熟悉毕达哥拉斯定理及其在平面上的一些应用。他们可能对三维几何的系统知识很少。教师此时可以依靠学生对空间关系的朴素知识。教师可以把问题具体化，使之有趣。如果教室是箱子，其大小可以测量或估计，可以要求学生不测量，而是间接求出教室的对角线长度。讲师指出教室的长度、宽度、高度，用手势说明对角线是什么，同时继续与教室连接，形象化了他在黑板上画的画。下面是老师和学生之间的对话。“未知是什么？”方块对角线的长度.“你已经知道了什么？”箱子的长度、宽度、高度.“引入适当的文字，用什么样的字母表示未知数呢？”“x”“长度、宽度、高度应该选择哪个字母？单击“a、b、c”“联系人a、b、c和x的条件是什么？我想“x是长方体的对角线，长方体的长度、宽度、高度a、b、c”合适吗？我是说，条件是否足够，是否足以决定未知数？“是的，够了。如果我们知道a，b，c，我们知道平行六面体。例如水果平行六面体确定后，对角线也确定。”他说9.建立计划我们知道，或者至少大体上知道，为了解决未知数，知道要做什么计算或者什么图片的时候，就会有计划。从解决问题到制定计划，其经过可能是漫长而曲折的。事实上解决问题的主要成果是构思解决问题的计划。这个想法可以逐渐形成。或者说，经过明显的失败尝试和一度的柳真，突然想到了“好主意”。教师能为学生做的最大的好事是通过更自然的帮助让自己想起好的想法。我们下面要讨论的问题和建议，就是要引出这样的好主意。老师为了确保学生的心理活动，应该回想自己的经验，回顾自己正在解开的东西在问题中遇到的困难和取得成功的经验。我们当然知道，如果对这个论题的知识不足，想好主意就不容易了。如果我们完全没有知识，就完全不会有好主意。好主意是基于过去的经验和已经有的知识。光凭记忆不能产生好的想法。但是如果不重新收集相关事实，就不会有好主意。光是材料不足以盖房子，不收集必要的材料就不能盖房子。解决数学问题所需的资料是以前解决的问题、以前证明的定理等我们已经掌握的数学知识的特定内容。因此，通常从以下问题开始工作是适当的：您知道与此相关的问题吗？困难通常是我们目前存在的问题，即它们有什么共同之处。我们可以怎样挑选一个或几个真正有用的问题呢？我们建议把力量放在主要的共同点上：看未知数！回想一下未知数相同或相似的熟悉问题。如果我们成功地想起与当前问题密切相关的已经解决的问题，那是很幸运的。我们必须为这样的好运而战。通过探索，我们可以得到它。这里有与你的问题有关的问题，已经解决了，你能利用它吗？上述问题，如果能好好理解，认真考虑，往往有助于激发一系列正确的思想；但并不总是有用的。不是魔术。如果不是这样的问题，我们就要找到任何其他适当的接触点，探讨问题的各个方面；我们必须改变、改变、修改这个问题。你能再说一遍这个问题吗？我们表中的几个问题提出了改变问题的特殊方法，例如普遍化、特殊化、适用类比、消除一些条件等。具体细节很重要，但我们现在不能深入讨论。更改问题可能会导致出现相应的辅助问题。如果不能解决问题，首先要解决与此相关的特定问题。应用各种已知的问题或定理，考虑各种修改，试验各种辅助问题，我们可能会离开原来的问题太远，甚至最终失去它的危险。但是，还有一个很好的问题可以把我们带回来了：你利用了所有已知的数据吗？你利用了全部条件吗？10.是让我回到第8节的例子。“你知道与这个相关的问题吗？单击.“看到未知数，知道未知数相同的问题吗？”“好吧，未知是什么？”平行六面体的对角线。他说：“你知道有相同未知数的问题吗？“不，我们还没有平行体对角线的问题。你知道“”未知数相似的任何问题吗？我想.“看，对角线是线段。你没有解决过未知数量是直线长度的问题吗？”当然，我们解决了找直角三角形的一个边等问题.“好吧！这里有一个与你的问题相关的问题，已经解决了，你可以利用它-嗯？”他说“你真幸运。你想起了与你现在的问题相关的问题之前已经解决了。你愿意利用它吗？可以引入什么样的辅助因素来利用呢？”他说图1“看这里，你会想起关于