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文档简介

三类偏微分方程的异同点,2,三类偏微分方程的标准形式,拉普拉斯(Laplace)方程,热传导方程,波动方程,3,相同点,相同点,三类方程都是线性方程（由线性方程想到什么？）,线性方程叠加加原理的广泛运用,4,不同点,定解问题的提法比较,Cauchy问题,由于三类方程所反映的物理现象有很大的差别，所以它们遇到的定解问题可能有很大的差别。对于椭圆形方程而言，在定解问题中，只有边界条件而没有初始条件，故一般不提cauchy问题与初边值问题,热传导方程的Cauchy问题,波动方程的Cauchy问题,初边值问题,椭圆方程的边值问题,从上面可以看出对于波动方程和热传导方程都可以提柯西问题和初边值问题，但它们所需要的初始条件个数不相同，波动方程初始条件两个，抛物方程初始条件只需一个。,求解三类方程的常用方法,对于波动方程的cauchy问题我们主要用到行波法（达朗贝尔、特征线法）、齐次化原理、Duhamel原理，以及适当的奇偶延拓变形，任意2n+1维球面平均法，2n降维法,而对于波动方程的初边值问题主要用分离变量法,达朗贝尔公式,Poisson公式,热传导方程定解问题求解方法,Cauchy问题主要用自相似变换法,Poisson公式,通解热核函数,热传导方程的混合问题求解方法,半直线上的热传导方程混合问题主要用Poisson公式、奇偶延拓,有限区间上的热传导方程混合问题主要用分离变量法,椭圆方程的边值问题求解法,特殊区域上的Dirichlet问题Green函数法Green函数球上的Poisson公式,最后：对于混合问题牢记边界条件齐次化！可以起到事半功倍的效果,三、解的性质的比较,2、解的极值性质,拉普拉斯方程和热传导方程都存在极值原理，但它们采取的形式是有区别的。对于拉普拉斯方程而言，它的解反映已处于稳定状态的物理量，因而当解不是常数时，在内部不能取极值，极值可能在边界的任何位置达到。至于热传导方程由于热量传播速度很快，因而在区域内部的最大值不能超过区域初始时刻及侧面边界上的最大值。双曲方程不存在极值原理（请举反例）,3、影响区域与依赖区域,从影响区域和以来区域来看，三类方程有很大区别。对波动方程而言，一点的影响区域为以该点为顶点向上做出的特征锥内部，决定特征锥的斜度的a就是波的传播速度。一点的依赖区域就是以改点为顶点的向下做出的特征锥与平面t=0所交的圆。对热传导方程而言，一点的影响区域是该点以上的整个上半平面，一点的依赖区间就是整个直线t=0，对于拉普拉斯方程改变边界上某小区域的值必将影响整个区域,4、关于时间的反演,对时间反演问题的物理意义，是考察相应物理状态的变化过程是否是可逆的，这反映在数学上归结为方程关于时间变量t是否是对称的，即以-t换t后方程是否改变,5、能量估计及相应的解的唯一性和稳定性,双曲方程的能量估计抛物方程的能量估计椭圆型方程的能量估计,波动方程和抛物方程的能量估计式可以得到相应混合问题解的唯一性与稳定性，但这时稳定性的结果要比由极值原理得到的稍弱，
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