Bezier曲线曲面.ppt

6/10/2020,1,Bezier曲线与曲面,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。,6/10/2020,2,Bezier曲线的定义和性质,6/10/2020,3,给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：0=1,0!=1曲线实例如右图所示。,Bezier曲线定义,6/10/2020,4,Bezier基函数,Bezier基函数的定义如下n次多项式称为n次Bezier基函数,6/10/2020,5,Bezier基函数,Bezier基函数的性质正性权性,6/10/2020,6,Bezier基函数,对称性降阶公式,6/10/2020,7,Bezier基函数,升阶公式导数,6/10/2020,8,Bezier基函数,积分最大值在t=i/n处取得最大值线性无关性是n次多项式空间的一组基,6/10/2020,9,Bezier曲线,Bezier曲线的定义n次多项式曲线P（t）称为n次Bezier曲线控制顶点控制多边形,6/10/2020,10,Bezier曲线,Bezier曲线的性质端点位置,6/10/2020,11,Bezier曲线,端点切矢量导数曲线,6/10/2020,12,Bezier曲线,端点曲率曲率公式,6/10/2020,13,Bezier曲线,仿射不变性表达式几何属性：形状，曲率等等,6/10/2020,14,Bezier曲线,凸包性凸集凹集点集的凸包包含这些点的最小凸集Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内,6/10/2020,15,Bezier曲线,直线再生性平面曲线的保凸性平面曲线的变差缩减性,6/10/2020,16,Bezier曲线,拟局部性形状的易控性,6/10/2020,17,Bezier曲线,三次Bezier曲线的矩阵表示,6/10/2020,18,Bezier曲线线性运算,DeCasteljau算法问题给定参数，计算,t,P(t),6/10/2020,19,计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用deCasteljau提出的递推算法则要简单的多。如图3.1.10所示，设、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过和点的两切线交于点,在点的切线交和于和，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。,三切线定理,德卡斯特里奥算法,6/10/2020,20,当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。,线性组合,6/10/2020,21,Bezier曲线计算,算法计算过程,6/10/2020,22,Bezier曲线计算,几何解释,6/10/2020,23,Bezier曲线分割,分割定理问题：一条多项式曲线被分割成两段，得到的两段曲线是不是多项式曲线？如果是，它们的表达式如何？,P=Q+R,6/10/2020,24,Bezier曲线生成,离散生成算法想法,6/10/2020,25,Bezier曲线生成,程序voidDisplayBezierCurve(VectorP,intn,floatDELTA)if(Distance(P,n)=DELTA)显示控制多边形P；elseBezierCurveSplitting(P,Q,R,n);DisplayBezierCurve(Q,n,DELTA）；DisplayBezierCurve(R,n,DELTA）；,6/10/2020,26,Bezier曲线的拼接,几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。,6/10/2020,27,Bezier曲线拼接,曲线的拼接,6/10/2020,28,Bezier曲线拼接,条件条件条件？,6/10/2020,29,给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0,1,.,n)和Qj(j=0,1,.,m)，且令，如图3.1.13所示，我们现在把两条曲线连接起来。图3.1.13Bezier曲线的拼接,拼接命题,6/10/2020,30,（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn=Q0；（2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三点共线，即：（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足方程。我们将、和，、代入，并整理，可以得到：选择和的值，可以利用该式确定曲线段的特征多边形顶点，而顶点、已被连续条件所确定。要达到连续的话，只剩下顶点可以自由选取。,连接条件,6/10/2020,31,如果从上式的两边都减去，则等式右边可以表示为和的线性组合：这表明、和五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：位于直线的同一侧。,连接条件,6/10/2020,32,Bezier曲面,基于Bezier曲线的讨论，我们可以方便地可以给出Bezier曲面的定义和性质，Bezier曲线的一些算法也可以很容易扩展到Bezier曲面的情况。设为个空间点列，则次张量积形式的Bezier曲面定义为：其中，是Bernstein基函数。依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。,6/10/2020,33,Bezier曲面,Bezier曲面的矩阵表示式是：在一般实际应用中，不大于4。,6/10/2020,34,Bezier曲面,Bezier曲面的定义控制定点控制网格,6/10/2020,35,Bezier曲面,Bezier曲面的性质边界线,6/10/2020,36,Bezier曲面,角点位置,6/10/2020,37,Bezier曲面,角点切平面角点法矢量,6/10/2020,38,Bezier曲面,凸包性Bezier曲面包含在其控制顶点的凸包之内平面再生性仿射不变性拟局部性,6/10/2020,39,Bezier曲面,离散生成算法DeCasteljau算法给定，计算型值点,6/10/2020,40,递推(deCasteljau)算法,Bezier曲线的递推(deCasteljau)算法，可以推广到Bezier曲面的情形。若给定Bezier曲面特征网格的控制顶点和一对参数值，则：或,6/10/2020,41,Bezier曲面,6/10/2020,42,Bezier曲面,计算过程,6/10/2020,43,Bezier曲面,6/10/2020,44,Bezier曲面,分割定理,6/10/2020,45,Bezier曲面,6/10/2020,46,Bezier曲面,6/10/2020,47,Bezier曲面片的拼接,Bezier曲面片的拼接如图所示，设两张mn次Bezier曲面片分别由控制顶点和定义。,6/