2019年海淀高三二模文科数学试卷及答案.pdf

1 / 13 海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案 数学数学 （文科）2019.052019.05 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B（2）D（3）B （4）C （5）C（6）B（7）A （8）D 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （ 9 ）1,2（10）0, 1 （11）b（12）24 （13）2（14）1yx（答案不唯一） ， 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （）在ABC中，因为7a ，8b ， 3 A ， 所以由正弦定理 sinsinBA ba 得 sin834 3 sin 727 bA B a （）方法方法 1： 因为7a ，8b ，所以 3 BA，所以 333 C ， 即C一定为锐角, 所以B为ABC中的最大角 所以ABC为锐角三角形当且仅当B为锐角 因为 4 3 sin 7 B ，所以 1 cos 7 B 因为sinsin()CAB sin coscos sinABAB 5 3 14 所以 115 3 sin7810 3 2214 ABC SabC 方法方法 2： 由余弦定理 222 2cosabcbcA 2 / 13 得 2 1 496428 2 cc 即 2 8150cc 解得5c或3c 当3c时， 222 cos0 2 acb B ac ，与ABC为锐角三角形矛盾，舍去 当5c时， 222 cos0 2 acb B ac ，所以B为锐角， 因为bac，所以B为最大角，所以ABC为锐角三角形 所以 113 sin8510 3 222 ABC SbcA 所以ABC的面积为10 3 （16） （共 13 分） 解： （）方法方法 1： 由题设得 21 32 6 18 aa aa 因为 n a为等比数列， 所以 21 21 6 18 aa a qa q 所以3q 又因为 2111 6aaa qa 所以 1 3a 所以3n n a 经检验，此时 1 1 332 3 nnn nn aa 成立，且 n a为等比数列 所以 3 3 327a 方法方法 2： 因为 1 1 2 3(2) n nn aan 2 12 2 3n nn aa 3 23 2 3n nn aa 3 / 13 2 32 2 3aa 1 21 2 3aa 把上面1n 个等式叠加，得到 21 1 233.333 nn n aa 所以 1 33 (2) n n aan 而 1 11 33aa 也符合上式 所以 * 1 33 () n n aan N 因为数列 n a是等比数列，设公比为q 所以对于 * n N，有 1 11 1 33 33 n n n n aa q aa 恒成立 所以 1 11 33(33 )0 nn aq a 即 1 3 (3)(3)(1)0 n qaq 所以3q， 1 (3)(1)0aq 而显然1q 不成立，所以 1 3a 所以3n n a 所以 3 3 327a 方法方法 3： 由题设得： 1 1 1 2 3 2 3 n nn n nn aa aa ，其中2n 因为 n a为等比数列， 所以 1n n a q a 对于 * n N恒成立 所以 1 1 1 2 3 2 3 n nn n nn aa a qaq 4 / 13 所以3q 又因为 2111 6aaa qa 所以 1 3a 所以 2 31 27aa q 方法方法 4： 因为 n a为等比数列， 所以，对于 * n N，有 2 12nnn aa a 恒成立 由 1 2 3n nn aa ， 得 1 2 3n nn aa ， 1 21 2 38 3 nn nnn aaa 所以 2 2 38 3 nn nnn aaa 所以3n n a 所以3q， 3 27a （）因为 1 1 3 nn n aa q 所以 1 11 3 nn n aa q )1 3(1333 132 nn n S 因为 11 3333 ( 3)3 22 nn n S 11 1 1 3333 3 22 nn n nn aS 所以 1 ( 3) nnn SaS 所以 1 3, nn Sa 成等差数列 5 / 13 （17） （共 14 分） 解： （）方法方法 1： 在图 1 的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F， 因为CEAD，所以BFEC 又因为BCAD，1BCCE，=3AD 所以四边形BCEF为正方形， 且1AFFEED，F为AE中点 在图 2 中，连结GF 因为点G是 1 AD的中点， 所以 1 GFD E 又因为BFEC，GFBFF， GFBF ，平面 BFG， 1 ,D E EC 平面 1 D EC， 所以平面BFG平面 1 CED 又因为BGGFB面，所以BG平面 1 D EC 方法方法 2： 在图 1 的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F 因为CEAD，所以BFEC 又因为BCAD，1BCCE，=3AD 所以四边形BCEF为正方形，F为AE中点 在图 2 中，连结GF 因为点G是 1 AD的中点， 所以 1 GFD E 又 1 D E 平面 1 D EC，GF 平面 1 D EC 所以GF平面 1 D EC 又因为BFEC，EC 平面 1 D EC，BF 平面 1 D EC 所以BF平面 1 D EC 又因为GFBFF 所以平面BFG平面 1 D EC 又因为BGGFB面，所以BG平面 1 D EC 方法方法 3： 在图 1 的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F， 因为CEAD，所以BFEC 6 / 13 又因为BCAD，1BCCE，=3AD 所以四边形BCEF为正方形，1AFFEED，得2AE 所以 1 = 2 BCAEBCAE， 在图 2 中设点M为线段 1 D E的中点，连结,MG MC， 因为点G是 1 AD的中点， 所以 1 = 2 GMAEGMAE， 所以 =GMBCGM BC，所以四边形MGBC为平行四边形 所以BGCM 又因为CM 平面 1 D EC，BG 平面 1 D EC 所以BG平面 1 D EC （） 因为平面 1 D EC 平面ABCE， 平面 1 D EC 平面ABCEEC, 1 ,D EEC 1 D E 平面 1 D EC， 所以 1 D E 平面ABCE 又因为AB 平面ABCE 所以 1 D EAB 又2,2,2ABBEAE，满足 222 AEABBE， 所以BEAB 又 1 BED EE 所以AB 平面 1 D EB （） 1 ,CED E CEAE， 1 AED EE 所以 1 CED AE 面 线段CE为三棱锥 1 CD AE底面 1 D AE的高 所以 11 11 1 11 =1 2 1 22 3 26 DGECC D AE VV 18. （共 13 分）搜索北京高考在线网，获取更多试题及答案 解： （）设事件A为“随机选取一天，这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不 少于65单” 依题 意，连 锁店的 人均日 快递业务 量不少 于65单的 频率分 别为： 7 / 13 0.2 0.15 0.05， 因为0.20.150.050.4 所以( )P A估计为0.4. （）设事件B为“从四名骑手中随机选取 2 人，至少有 1 名骑手选择方案（1） ” 从四名新聘骑手中随机选取 2 名骑手，有 6 种情况，即 甲，乙 ，甲，丙，甲，丁，乙，丙，乙，丁，丙，丁 其中至少有 1 名骑手选择方案（1）的情况为 甲，乙 ，甲，丙,，甲，丁， 乙，丙，乙，丁 所以 5 ( ) 6 P B （）方法方法 1： 快餐店人均日快递量的平均数是： 300.05400.05500.2600.3700.2800.15900.0562 因此，方案（1）日工资约为50623236 方案 2 日工资约为10062445190 236 故骑手应选择方案（1） 方法 2：方法 2： 设骑手每日完成快递业务量为n件 方案（1）的日工资 * 1 503 ()yn nN， 方案（2）的日工资 * 2 * 100,44, 1005(44),44, nn y nnn N N 当17n 时， 12 yy 依题意，可以知道25n ，所以这种情况不予考虑 当25n 时 令503100544nn 则85n 即若骑手每日完成快递业务量在85件以下，则方案（1）日工资大于方案（2） 日工资，而依题中数据，每日完成快递业务量超过85件的频率是0.05，较 8 / 13 低， 故建议骑手应选择方案（1） 方法 3：方法 3： 设骑手每日完成快递业务量为n单， 方案（1）的日工资 * 1 503 ()yn nN， 方案（2）的日工资 * 2 * 100,44, 1005(44),44, nn y nnn N N 所以方案（1）日工资约为 1400.051700.052000.22300.32600.22900.153200.05 236 方案（2）日工资约为 1000.051000.051300.21800.32300.22800.153300.05 194.5 因为236194.5，所以建议骑手选择方案（1）. 19.（共 14 分） 解： （）因为 2 ( )e (1) x f xaxx， 所以( )e (2)(1) x fxxax 所以( 2)0f ， 所以切线的倾斜角为0 （）因为( )e (2)(1) x fxxax 当0a时，令( )0fx ，得 1 2x 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x (, 2) 2 ( 2,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 由上表函数( )f x只有极小值，没有极大值，不合题意，舍去 当0a 时，令( )0fx ，得 12 1 2,xx a 9 / 13 当0a时， 当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x(, 2) 2 1 ( 2,) a 1 a 1 (,) a ( )fx00 ( )f x 极小值极大值 由上表函数( )f x的极大值 1 0 1 ()ee1 a f a ，满足题意 当 1 2 a 时， 2 1 ( )e (2)0 2 x fxx， 所以函数( )f x单调递增，没有极大值，舍去 当 1 2 a 时，当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x(, 2) 2 1 ( 2,) a 1 a 1 (,) a ( )fx00 ( )f x 极大值极小值 由上表函数( )f x的极大值 2 ( 2)e(41)1fa ， 解得 2 e1 4 a 当 1 0 2 a时，当x变化时，( ), ( )fxf x的变化情况如下表： x 1 (,) a 1 a 1 (, 2) a 2 ( 2,) ( )fx00 ( )f x 极大值极小值 由上表函数( )f x的极大值 1 1 ()e1 a f a ，不合题意 综上，a的取值范围是 2 e1 (,0)(,) 4 10 / 13 20. （共 13 分）北京高考在线网 解：() 依题意，有 2 46b 所以2b 椭圆方程为 22 1 42 xy 焦点坐标分别为 12 (2,0),( 2,0),FF （）(i)方法 1：方法 1： 设 00 (,)P xy，则 22 00 1 42 xy 依题意 00 2,0 xy ，( 2,0),A 所以 00 2 (,) 22 xy M 所以直线PA的斜率 0 0 2 Ap y k x 因为PAMQ，所以1 PAMQ kk 所以直线MQ的斜率 0 0 2 MQ x k y 所以直线MQ的方程为 000 0 22 () 22 yxx yx y 令0 x，得到 000 0 (2)(2) 22 Q yxx y y 因为 22 00 1 42 xy 所以 0 2 Q y y ， 所以 0 (0,) 2 y Q 所以H是,M Q的中点，所以点,M Q关于点H对称 方法 2：方法 2： 设 00 (,)P xy，直线AP的方程为(2)yk x 联立方程 22 1 42 (2) xy yk x 11 / 13 消元得 2222 (12)8840kxk xk 所以160 所以 2 0 2 8 ( 2) 12 k x k 所以 2 0 2 42 12 k x k 所以 2 2 4 12 M k x k ， 2 22 42 (2) 1212 M kk yk kk 所以 2 22 42 (,) 1212 kk M kk 因为APMQ，所以 1 MQ K k 所以直线MQ的方程为 2 22 214 () 1212 kk yx kkk 令0 x ，得到 2 222 2142 121212 Q kkk y kkkk 所以 2 2 (0,) 12 k Q k 所以H是,M Q的中点，所以点,M Q关于点H对称 方法方法 3： 设 00 (,)P xy，直线AP的方程为2xty 联立方程 22 1 42 2 xy xty 消元得， 22 (2)40tyty 因为 0 2 4 0 2 t y t ，所以 0 2 4 2 t y t 所以 2 2 2 M t y t 2 4 2 M x t ， 所以 22 42 (,) 22 t M tt 因为APMQ，所以 1 MQ K k 所以直线MQ的方程为 22 24 () 22 t yt x tt 令0 x ，得到 2 2 2 Q t y t ，所以 2 2 (0,) 2 t Q t 所以H是,M Q的中点，所以点,M Q关于点H对称 12 / 13 （ii）方法 1方法 1： 因为APQ为直角三角形， 且| |PQAQ，所以APQ为等腰直角三角形 所以|2 |APAQ 因为 00 (,)P xy， 0 (0,) 2 y Q 即 2 2220 00 (2)2 2 4 y xy 化简，得到 2 00 316120 xx，解得 00 2 ,6 3 xx （舍） 即点P的横坐标为 2 3 方法方法 2： 因为APQ为直角三角形， 且| |