01 一类有规律的数求和与整数和整除培优--教师版

1 / 4 第一讲 一类有规律的数的求和和整数与整除 1. 计算：4593 解：解： 1 1 n aand， 1 1 n naad， 1 2 nn Saan， n93390，S ， n93390，S1919(493)9024365。 (493)9024365。 2. 计算：26101490 解： n(902)4123，S解： n(902)4123，S2323(290)2321058。 (290)2321058。 3. 下列方阵中共有 100 个数，求它们的和。 1，2，3，10 2，3，4，11 10，11，12，19 解：因为第 1 排数的和为 1+2+3+10=（1+10）210=55，所以第 2 排数的和为 55+10=65，第 3 排数的和为 65+10=75，因此这些数的总和为： 55+65+75+（55+910）=55+65+75+145=（55+145）210=1000 解：因为第 1 排数的和为 1+2+3+10=（1+10）210=55，所以第 2 排数的和为 55+10=65，第 3 排数的和为 65+10=75，因此这些数的总和为： 55+65+75+（55+910）=55+65+75+145=（55+145）210=1000 4. 有一列数：1，101，100，99，1，98，97，96，1，95，94，93，1，求从第一个数起到第 122 个数，这 122 个数的和是多少？ 解： 1，101，100，99 1，98，97，96 1，95，94，93 1224302，a 解： 1，101，100，99 1，98，97，96 1，95，94，93 1224302，a5151101(311)311，n330191 S 101(311)311，n330191 S202202311(10111)9125127 311(10111)9125127 5. 计算：12+34+20072008+2009 解：原式（2009-2008）+（2007-2006）+（5-4）+（3-2）+1=1+1+1+1+1=1005 解：原式（2009-2008）+（2007-2006）+（5-4）+（3-2）+1=1+1+1+1+1=1005 2 / 4 【除、除以、整除、除尽】【除、除以、整除、除尽】 0 和正整数统称为自然数自然数.正整数、0、负整数，统称为整数整数. 整数 a 除以整数 b(0)b ，如果商 为整数且余数为 0，则称 a 能被 b 整除，或称 b 能整除 a. 除尽是数 a 除以数 b（b0）时，所得的 商是整数，或有限小数，我们就说 a 能被 b 除尽（或说 b 能除尽 a）. 【因数与倍数】【因数与倍数】 若整数 a 能被整数 b 整除，a 就叫 b 的倍数，b 叫 a 的因数（或约数）. 一个数的因数的个数是有 限的，一个数的最小因数是 1，最大的因数是它本身. 一个数的倍数的个数是无限的，一个数的最小 倍数是它本身，没有最大倍数. 一个数的最大因数和最小倍数相等，就是它本身. 【被【被 2,3, 5,9 整除的数】整除的数】 （1） 2（或 5）的倍数：个位数是 2（或 5）的倍数； （2） 3（或 9）的倍数：各个数位上的数字之和是 3（或 9）的倍数； 【被【被 4,8 整除的数】整除的数】 （1） 4（或 25）的倍数：末两位上的数字是 4（或 25）的倍数； （2） 8（或 125）的倍数：末三位上的数字组成的数是 8（或 125）的倍数； 【奇偶性】【奇偶性】 偶数和奇数：能被 2 整除的整数叫偶数；不能被2整除的整数叫奇数. 若n为整数，则2n为偶数，21n或21n为奇数. 【被【被 7,11,13 整除的数】整除的数】 （1）11 的倍数：奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差是 11 的倍数； （2） 一个数的末位数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 7,11 或 13 整除， 这个数就能被 7,11 或 13 整除. 3 / 4 1. 4.8 0.224，所以说4.8能被0.2 除尽 .（填“整除”或“除尽”或“除不尽”） 2. 6 可以被 4 个自然数整除，6 可以整除 无数个 个自然数. 3. 判断正误： 1）因为2173，所以 21 是倍数，7 是因数. （ ） 2）两个正整数，甲数比乙数大，则甲数的因数个数比乙数的因数个数多. （ ） 3）若 a 是 b 的因数，则ba的商也是 b 的因数. （ ） 4）一个正整数的最小因数和最大因数的积等于它的最小倍数. （ ） 解：错，错，对，对 4. M 能整除 13，那么 M 是（ ） A、13 B、26 C、13 的倍数 D、13 的因数 解：D. 5. 36 一共有 个正因数，它们是 . 解：361 362 183 124 96 6 ，一共 9 个. 6. 60 的因数中，是 5 的倍数的正整数有 个. 解：6 个. 7. 731 最少加上_4_，就是 5 的倍数 8. 不超过 1000，是偶数但不含因数 5 的正整数一共有 个. 解： 400 个. 9. 42 3x能被 3 整除，则满足条件的 x 的值有 个. 解：0,3,6,9 10. 能同时被 2、3、5 整除的最大四位数和最小三位数之间的差为 . 解：9870. 11. 一个整数的最大因数与最小因数的差为 27，写出这个整数的所有因数：_1、2、4、7、14、 28_ 12. 小智买一大箱苹果，共有 84 个，要求每次拿出的个数一样多，拿了若干次正好拿完，则小智共有 _11_种不同的拿法（假设不能一次全拿出）