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三角形中三条高线交于一点的证明 作者:吴丁盟 年级组:八年级摘要:介绍三角形中垂心的概念,了解并学会证明三角形三条高线相交于一点的证明方法。在中学整个数学大的知识框架下,体会各知识点之间的联系,为灵活运动数学知识打下基础,真正实现数学的应用。关键词:平面向量 斜率 平面直角坐标系 三角形内角和定理 圆周角定理 引言:在初中八年级数学里,我们谈到三角形的三条角平分线、三条中线以及三条高线。课本中给出三条中线的交点称为重心,从实际生活中看,我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点,该点叫做物体的重心。同样,三角形的三条高线也是交于一点的,我们称它为垂心,以下给出几种简单的证明方法。命题:三角形的三条高线交于一点。论证:已知一个三角形,分别作三条边上的高,试证明它们交于一点 图(一)方法一思路:如图,分别作出三角形的高,相交于点,过作边上的高分别交,于,。只要证明,重合即可。证明: 在和中 即 (1)同理,于是: (2) ,于是: (3)故(等量代换) 所以 所以、重合,如图记重合点为,则点在三条高上,所以三角形三条高线相交于一点。 图(二)方法二思路:巧妙运用中学向量知识解题,我们知道两个向量之间如果有,则说明。如图,作、边上的高、相交于点,连接并延长与。证明:不妨设,。由题意知:。 ,即 化简得, 两式相加得:即所以,。 y轴 x轴 图(三) 方法三思路:运用平面解析几何知识,构建平面直角坐标系。应用知识点如果两条直线垂直,设斜率分别为,则有。证明:作不失一般性,设。则,。所以。联立成方程组: 解得: 即点坐标显然, 1 图(四)方法四思路:与中学数学中圆相联系,通过四点共圆说明三条高线相交于一点。作图:作三条边上的高相较于点。如图(四)所示,连接,并延长与相交于点,为了方便设。使用的推论:对于一个三角形及三条高线与对应边的垂足共6个点,会形成6个四点共圆的四边形。推论的简单说明:如图(四),试说明是同一个圆周上的四个点。分析:由作图知道,于是,以同理,放到直角中研究,以长度的一半为半径作出一个圆,则点也恰好在圆周上。所以,是同一个以长度为半径,中点为圆心的圆周上。证明四:连接, (圆周角定理) 共圆 (圆周角定理) (等量代换) 又(对顶角相等) 且 (三角形内角和定理)所以,垂直于,即三角形三条高相交于点。结束语:本文通过证明三角形三条高相交于一点,充分展示了数学学科的内在美,各个知识点看似毫无联系,实则存在着千丝万缕的交叉贯通。其实,该命题的证明方法远不止
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