第四章线性方程组与向量组的线性相关性ppt课件

线性代数第四章,第四章线性方程组与向量组的线性相关性,本章教学内容1消元法与线性方程组的相容性2向量组的线性相关性3向量组的秩矩阵的行秩与列秩4线性方程组解的结构,1消元法与线性方程组的相容性,本节教学内容1.线性方程组的概念2.Cramer(克莱姆)法则3.用消元法解线性方程组,1消元法与线性方程组的相容性,1.线性方程组的概念n元线性方程组的一般形式为记：称A为系数矩阵，x为未知列，b为常数列，则线性方程组可写成矩阵形式Ax=b,1消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组Ax=b，若A按列分块为A=(1,2,n)，则方程组可写成向量形式1x1+2x2+nxn=b若b=0,即Ax=0称为齐次线性方程组若b0,即Ax=b称为非齐次线性方程组若n维列向量=(1,2,n)T满足A=b，则称是Ax=b的一个解向量，称x=是Ax=b的一个解，称x1=1,x2=2,xn=n是Ax=b的一组解。,1消元法与线性方程组的相容性,设n元线性方程组Ax=b，称Ax=0为与它对应的齐次线性方程组，若n维列向量(0)满足A=0，则称x=是齐次线性方程组Ax=0的一个非零解，显然x=0是Ax=0的一个解，称它为Ax=0的零解，或当然解，或平凡解。若线性方程组Ax=b有解，则称它是相容的，否则称它是不相容的。性质齐次线性方程组是相容的。,1消元法与线性方程组的相容性,2.Cramer法则设n个方程的n元线性方程组Ax=b，若A0，则线性方程组Ax=b有惟一解其中Dj是以b代替A的第j列所得到的n阶行列式。,1消元法与线性方程组的相容性,证Ax=b，#,1消元法与线性方程组的相容性,例1.1解线性方程组解,1消元法与线性方程组的相容性,Cramer法则对于线性方程组的求解有重要的理论意义。但是，它只能求解方程个数与未知量个数相同、且其系数行列式的值不为零的线性方程组，随着未知量个数的增加，计算变得十分困难.下面，我们来讨论一般的线性方程组的解法。,1消元法与线性方程组的相容性,3.用消元法解线性方程组定义1.1若线性方程组A1x=b1的解都是线性方程组A2x=b2的解；反之，线性方程组A2x=b2的解都是线性方程组A1x=b1的解，则称线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。在中学，我们已经知道(1)方程两边同乘一个非零常数，方程的解不变；(2)方程两边同乘一个常数,然后加到另一个方程上，方程组的解也不变(即加减消元法)。因此，就有,1消元法与线性方程组的相容性,定理1若(A1,b1)经初等行变换化为(A2,b2)，则线性方程组A1x=b1与线性方程组A2x=b2同解。事实上，倍法变换相当于第i个方程两边同乘一非零常数；消法变换相当于加减消元法；换法变换相当于交换两个方程的次序，故线性方程组的解不变。概念(A,b)称线性方程组Ax=b的增广矩阵。,1消元法与线性方程组的相容性,用消元法解线性方程组的思想方法是：解线性方程组Ax=b(1)用初等行变换将增广矩阵(A,b)化为最简行阶梯形矩阵(C,d)；(2)解方程组Cx=d，其解即是方程组Ax=b的解.,1消元法与线性方程组的相容性,例1.2用消元法解线性方程组解,1消元法与线性方程组的相容性,于是方程组的解为,R(A)=R(A,b)=3(未知量个数)方程组有惟一解。,1消元法与线性方程组的相容性,例1用消元法解线性方程组解,1消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为,此称方程组的一般解(或通解),R(A)=R(A,b)=24(未知量个数)方程组有无穷多组解,自由未知量个数=4-2=2.,x3与x4可任意取值，称为自由未知量,1消元法与线性方程组的相容性,例2用消元法解线性方程组解,8,8,6,6,1,1消元法与线性方程组的相容性,原方程组可化为所以方程组无解.,1,矛盾方程组,R(A)R(A,b)方程组无解,1消元法与线性方程组的相容性,由上述例题可知定理2设n元线性方程组Ax=b，R(A)=R(A,b)=n方程组Ax=b有惟一解;R(A)=R(A,b)n方程组Ax=b有无穷多组解,自由未知量个数=n-R(A);(方程组中可任意取值的未知量称自由未知量)R(A)R(A,b)方程组Ax=b无解.注：定理1.1、定理1.2及推论1.1自行阅读,1消元法与线性方程组的相容性,由定理2可知定理3设n元齐次线性方程组Ax=0，R(A)=n方程组Ax=0有惟一解，即方程组Ax=0只有零解A为方阵时，A0R(A)n方程组Ax=0有无穷多组解，即方程组Ax=0有非零解A为方阵时，A=0注：定理1.3及推论1.2自行阅读。,1消元法与线性方程组的相容性,例1.3判断下列线性方程组是否有解解,1消元法与线性方程组的相容性,例1.4问取何值，下列方程组有非零解解当=1或=-2时，A=0,即方程组有非零解。,1消元法与线性方程组的相容性,本节学习要求1.理解线性方程组有关的概念；2.掌握消元法、熟悉克莱姆法则及线性方程组解有关的定理。作业：习题4.1(A)第2,3题,2向量组的线性相关性,本节教学内容1.线性组合、线性表示和等价关系2.向量组的线性相关性3.线性相关性与线性表示法4.维数、向量个数与线性相关性,2向量组的线性相关性,1.线性组合、线性表示和等价关系概念1若干同维数的列向量(或同维数的行向量)：1,2,s叫做一个向量组.概念2若矩阵A按列分块为A=(1,2,n)，则1,2,n叫做矩阵A的列向量组.若矩阵A按行分块为则1,2,m叫做矩阵A的行向量组.,2向量组的线性相关性,例矩阵则1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，是A的行向量组;是A的列向量组.,2向量组的线性相关性,定义2.1设1,2,s为n维向量组，k1,k2,ks为一组数，则k11+k22+kss叫做1,2,s的一个线性组合，k1,k2,ks称为这个线性组合的系数。若=k11+k22+kss则称是1,2,s的线性组合，也称可由1,2,s线性表示(或线性表出).注：可由1,2,s线性表示线性方程x11+x22+xss=有解,2向量组的线性相关性,例n维基本列向量任意n维列向量,2向量组的线性相关性,定义2.2若向量组1,2,s中的每一个向量都可由向量组1,2,t线性表示，则称向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表示；若两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组等价。性质1若向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表示，向量组1,2,t可由向量组1,2,p线性表示，则向量组1,2,s可由向量组1,2,p线性表示。（传递性）,2向量组的线性相关性,性质2向量组1,2,s与向量组1,2,s等价；若向量组1,2,s与向量组1,2,t等价，则向量组1,2,t与向量组1,2,s等价；若向量组1,2,s与向量组1,2,t等价，向量组1,2,t与向量组1,2,p等价，则向量组1,2,s与向量组1,2,p等价。(证略),2向量组的线性相关性,2.向量组的线性相关性定义2.3设向量组1,2,s，若存在不全为零的数1,2,s，使得11+22+ss=0,则称向量组1,2,s线性相关；否则，称向量组1,2,s线性无关。注：若对任意不全为零的数1,2,s，都有11+22+ss0,则向量组1,2,s线性无关。,2向量组的线性相关性,例2.1证明三维基本列向量组证：因对任意不全为零的数1,2,s，都有,线性无关。,2向量组的线性相关性,由定义易得基本结论：单个向量线性相关向量=0；单个向量线性无关向量0.向量,线性相关向量=k或=k；与对应分量成比例向量,线性无关向量与对应分量不成比例.向量组1,2,s线性相关向量组1,2,s,s+1,m线性相关.向量组1,2,s,s+1,m线性无关向量组1,2,s线性无关.,2向量组的线性相关性,定理2.1向量组1,2,s线性相关齐次线性方程x11+x22+xss=0有非零解.向量组1,2,s线性无关齐次线性方程x11+x22+xss=0只有零解.(由定义显然成立)推论2.1n维列向量组1,2,s线性相关A=(1,2,s),R(A)n时,n维向量组1,2,s线性相关.证：若1,2,s为n维列向量组，则A=(1,2,s),R(A)nt，它有非零解。,2向量组的线性相关性,推论2.5若向量组1,2,s可由1,2,t线性表示，1,2,s线性无关，则有st.推论2.6若向量组1,2,s与1,2,t等价，且都线性无关，则有s=t.,2向量组的线性相关性,本节学习要求1.理解向量组的线性组合、线性表示、等价关系、线性相关与线性无关的概念；2.熟悉向量组线性相关的有关定理，会判断、证明向量组的线性无关(或线性相关)。作业：习题4.2(A)第2,4,9题,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,本节教学内容1.向量组的秩2.矩阵的行秩与列秩,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,1.向量组的秩定义3.1若向量组1,2,s的部分向量组的个数r称为向量组1,2,s的秩，记作R(1,2,s).,极大线,性无关组，,简称极大无关组；,极大无关组所含向量,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,注只含零向量的向量组没有极大无关组，规定它的秩为0；定义3.1中的条件(2)1,2,s的任意r+1个向量线性相关;1,2,s线性无关R(1,2,s)=s;1,2,s线性相关R(1,2,s)0)向量组的极大无关组未必惟一.,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.1向量组与它的任一极大无关组等价.证:推论3.1一向量组的任两个极大无关组等价.推论3.2一向量组的秩是惟一确定的.,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.2若向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表示，则R(1,2,s)R(1,2,t).证：,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.3等价的向量组有相同的秩。证：设1,2,s)与1,2,t等价，则1,2,s可由1,2,t线性表示，且1,2,t可由1,2,s线性表示，所以R(1,2,s)R(1,2,t)，且R(1,2,t)R(1,2,s)，故R(1,2,s)=R(1,2,t).#,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,例3.1设向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表示，且R(1,2,s)=R(1,2,t)=r，试证：1,2,s与1,2,t等价.证：因为1,2,s可由1,2,t线性表示，,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,2.矩阵的行秩与列秩定义矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，矩阵A的列向量组的秩称为A的列秩。例3.2设矩阵A的行向量组1=(1,1,1)，2=(0,1,2)，3=(0,0,0)，显然1,2线性无关，1,2,3是线性相关，即1,2是1,2,3是的极大无关组，故称为A的行秩为2；,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,例3.2设矩阵A的列向量组1,2线性无关，3=22-1,即1,2是1,2,3是的极大无关组，故称为A的列秩为2。这里A的行秩=A的列秩=R(A)=2,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.4矩阵A的行秩=A的列秩=R(A).证：设R(A)=r，则A有r阶子式Dr0，A中Dr所在的r个列向量线性无关；而A的任意r+1阶子式Dr+1=0，则A中任意r+1个列向量线性相关，所以A的列秩=r.R(AT)=R(A)=r，则AT的列秩=r，即A的行秩=r.注：由此定理知，可用初等变换求向量组的秩及极大无关组。由定理3.4及第三章定理3.1可推知,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理设列向量组1,2,n,则,(证明自行完成),3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,若B为行阶梯形矩阵，则,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,例3.3设矩阵求A的秩和A的列向量组1,2,3,4,5的极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。解,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,可知R(A)=3,1,2,4是A的列向量组的极大无关组，3=-1-2，5=41+32-34.,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,例4设矩阵求A的行秩和A的行向量组的极大无关组，并把不属于极大无关组的行向量用极大无关组线性表示.解,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,所以A的行向量组1,2,3的秩=2，1,2是A的行向量组1,2,3的极大无关组，3=1-22.,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.5设A,B均为mn矩阵，则R(A+B)R(A)+R(B)证,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,定理3.6设A为mn矩阵，B为np矩阵，则R(AB)minR(A),R(B)证,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,#,3向量组的秩矩阵的行秩与列秩,本节学习要求1.理解向量组的极大线性无关组的概念、向量组的秩的的概念、矩阵的行秩与列秩的概念，熟悉相关的定理。2.会求向量组的极大线性无关组与向量组的秩，会用极大线性无关组线性表示向量组的其它向量，会讨论证明向量组的秩的问题。作业：习题4.3(A)第2(2),3(1),4题。选做：习题4.3(A)第5,8题。习题4.3(B)第1,2,3题。,4线性方程组解的结构,本节教学内容1.齐次线性方程组解的结构2.非齐次线性方程组解的结构,4线性方程组解的结构,1.齐次线性方程组解的结构性质1证,4线性方程组解的结构,性质2证,4线性方程组解的结构,定义4.1注只有零解的齐次线性方程组无基础解系；Ax=0的基础解系是Ax=0的解向量组的一个极大线性无关组。,基础解系。,4线性方程组解的结构,定理4.1n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含向量的个数s=n-R(A)，且Ax=0的任意s个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。(证明P104P106，课外阅读),4线性方程组解的结构,例4.1求下列方程组的基础解系解,4线性方程组解的结构,原方程组可化为,4线性方程组解的结构,原方程组可化为或,可见答案不惟一。,4