理论力学(哈工第七版)课后练习答案 第三部分

1(b)abbdmbgcmagmagx9-2图a、b两物体的质量分别为m-1和m-2，两者之间用绳索连接，该绳索跨越带轮，带轮半径为r。 在第一种情况下，两个物体的高度的差为h，且为m1 m2，忽略带轮的质量。 静止释放后，求出两物体达到相同高度时所需的时间。 解：分别以重物m1、m2为研究对象，受力和运动解析如图b所示，两物体的铅直方向的运动微分方程式111 amgf=(1) 2222 MMA fmg=(2) 12a aa=忽略了带轮质量，因此，从12 FF=式(1)、(2)中解为12mmagmm=a。 两个物体以相等的加速度在相反方向上进行均匀的加速运动，当静止释放，即，0v=2121212sssat=两个物体达到相同高度时，一个物体通过12 2 h ss=的程度。 12()2()hMMSTagmm=10-3在图示水平面上放置均匀的三角柱a，在斜面上放置均匀的三角柱b。 两个三角柱的横截面都是直角三角形。 三角柱a的质量mA是三角柱b的质量mB的3倍，其尺寸如图所示。 各处设置了摩擦，初期系统静止。 求出在三角柱b沿着三角柱a滑落而与水平面接触时，三角柱a移动的距离。 解：以a，b两三角柱构成的质点系为研究对象，将坐标轴Ox固定在水平面上，o位于棱柱a左下角的初始位置。 因为在水平方向没有外力作用，开始时系统静止，所以系统的重心位置在水平方向上被保存。 在x方向坐标分别为13axc=23xdb=棱柱b与水平面接触时，a、b两棱柱的重心初始位置(图b所示)如图c所示。 两个方柱的重心坐标分别为： orhaborhb (a ) (b ) m2GM1gf1a f2a2a2a2a1(a )ABBA2abbambgcmagmaglx (c ) 13ax LCL=2()3bxla=系统初始重心abababababambmmm=棱柱b接触水平面时的系统重心坐标() () 3() (3) 333 () abababbcababblmmlammmmmmmmmm=ccxx=，在3 AB mm=时4 ab l =10- 11同系杆AG和BG相同PS=250毫米，PS=400毫米。 在GG1=240 mm时，系统从静止状态释放，在a、b、g在同一直线上时，求出a和b的两端点分别移动的距离。 解：本题的水平重心保存，位置不变。 设定部件的线密度，建立坐标系，a点位移为SA，b点位移为SB。 135250 (16070 ) 400250400 mmcx=a，b， 在g在同一直线上的情况下，250400 155 2 A S =即重心在AB中点的390650 bass=170mmas=90mmbs=g1ab (a ) g1ab (a ) (b ) g1ab 70320 c 155sas bcy (b ) g1ab 70320 c 155sa 当物体a以加速度a下降时，无视带轮的质量，求出支撑台o的约束力。 解：分析整体，两重物的加速度和支撑台o的约束力如图b所示。 根据动量定理，在2112banppaafppgg=中，A aa=、2 B a a=是12121(2)2npfpppagg=11-1质量m的点在平面Oxy内运动，其运动方程式在cosxat=、sin2ybt=中，a、b和是常数。 求质点相对于原点o的运动量。 解：从运动方程式相对于时间的一次导数得到原点的速度sin2os2xdvatdtdyvbdt=(1)质点间o的运动力矩为3 ()() (sin ) sin 22 cos 2c os2 cosooxoyxylmmvmvmvxmatbtmbtmabt=以向量表示() () () () () lrmvxiyjmximyjxmymxk=vvvvvvvvv，y由式(1)决定。(a ) abbo (a ) ab bobo1PP v2ppvapvapvapv (b ) abbo1PP v2ppvapvapvapv (b )4oovAAR 400 (a ) oar 400 r(c ) oar 400 rar 400 11-2重杆OA以角速度o绕轴o旋转，质量m=25 kg、半径R=200 mm的均质圆盘在杆OA的点a安装了3种。 在图a中，盘被焊接在杆OA上，但是在图b中，盘在点a处被铰链在杆OA上，相对于杆OA以角速度r逆时针旋转。 在图c中，盘相对于杆OA以角速度r顺时针旋转。 已知有O=r=4 rad/s，并且计算这三种情况下盘轴o的运动量。 解： (1)在图a中，轮a是围绕o点的定轴旋转，其惯性力矩和力矩分别是22219 (2) 22jmr Mr=22.18 KGM/s2ooowjmr=(2)在图b1中，轮a进行平面运动，以轮心a为基点的式(11- 22 (3)在图c1中，轮a绕a点的绝对角速度0 aOr =，轮a绕o点的运动是圆周曲线平移。 根据式(11- 22 )，因为2oaaalmvrj=0aor=所以，有0a aj=22 (40.24 ) 16 (KGM/) oalmvrrms=oaar2r(B1 ) va0ar2r(c 如图5-5图a所示，两带轮的半径为R1和r2，质量分别为m1和m2，两带轮用胶带连结，并分别绕平行的固定轴旋转。 力矩m的主动偶力作用于第一带轮，力矩m的阻力偶力作用于第二带轮。 滑轮可以看作是均匀的圆盘，胶带和车轮之间没有滑动，胶带的质量被忽略。 求出第一个带轮的角加速度。 解：分别以两个带轮为对象，其力如图b、c所示，其中11 22 TT TT FF FF=(1)顺时针转向正，分别应用两轮对其旋转轴的旋转微分方程式，则1112122122 () ) tttjmfmfrfmfrm=。 1221:3360rr=(3)式(1)、(2)、(3)的联立的12121212122rmmrjjr=式中代入2 111 1 2 Jm R=、2 222 1 2 Jm R=，2111212 () ) mrmrrmmr=11-12重量物a的质量重物下降了，拉着车轮c，以免沿着水平轨道滚动。 设鼓轮的半径为r，轮c的半径为r，两者固定，总质量为m2，相对于其水平轴o的旋转半径为。 求出重物a的加速度。 解：分别以重物a和滚筒b为对象，其受力和运动解析如图b、c所示。 重物a的运动微分方程式： 11AT m am gF= (1)轮b进行平面运动，其运动微分方程式为：2otmnaff=(2)2tmfrfr=(3)仅车轮不易滑动，r1r 2mm (a ) r1r 2mm (a ) (b ) ft t1ft1fo1yfo1x (b ) 将具有ft t1fo1fo2fo1fo2fo2fo2x (c )的mt2f 2t1f2f m2gfo2y fo2x (c ) m raid (a ) radra=(5)式(1)、(2)、(3)、(4)、(5)联立当BC变成铅直时，圆柱下降，其初速度变为零。 计算圆柱的轴心下降到高度h时的轴心速度和绳索的张力。解：以均质圆柱体a为研究对象，其力如图b所示，刚体平面运动微分方程式AT mamgF= (1) AT JF R=(把车轮a半径设为r ) (2)式(1)、式(2) 由以1tfmg=2gr=2aArg=加速度aa为常数的运动学式所知道的223 aava hgh=am1gaaft (b ) am1gaaft (b ) bobm2gfnfsftao (c ) bobm2gfnfsftao (c ) abch (a )。 细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定在点a上，该绳a连接的部分与斜面平行。 圆柱和斜面之间的摩擦系数为1f=，求出圆柱重心的加速度aC。 解：以均质的圆柱为研究对象，受力的是如图b所示的圆柱为平面运动，平面运动微分方程式为() ctsjffr=(1) o0COC s 60 nm mgff=(2) osin 60 ctma mgff=(3) sn fff=(4)圆柱沿斜面向下滑动，绳索a 有可以看作没有滑动的C ar=(5) 1 3 f=式(1)(5)的联立，0.355 C ag=(沿斜面向下) 12- 2盘半径r=0.5 m，可以绕水平轴o旋转。 绕过圆盘的绳索上悬挂着两个块a、b，质量分别为mA=3 kg、mB=2 kg。 绳子和盘子之间没有相对滑动。 如果偶力作用于圆盘上，偶力矩M=4的规律会发生变化(m为nm，为rad )。 从=0到=2时，求出偶力m和单块a、b的重力引起的功的合计。 解：轴承部的约束力(图b中未示出)是理想的约束力，不工作。 工作能力和力矩是m、mAg，即mbg:20224 () 28