人教A版高中数学必修五-1.1.1正弦定理-教案-

1.1正弦定理一、教学目标：知识和技能：1.通过探究任意三角形的长度和角度之间的关系，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2.用正弦定理和三角形内角和定理解决斜三角形的两类基本问题。过程和方法：1.让学生从现有的几何知识出发，共同探究任意三角形中边与其对角线的关系；2.通过观察、演绎和比较，引导学生从特殊到一般归纳正弦定理；3.开展定理基本应用的实际操作。情感、态度和价值观：1.在方程思维的指导下，培养学生理解三角形问题的操作能力；2.通过三角函数、正弦定理、矢量积等知识之间的联系，培养学生探索数学规律的思维能力，体现事物之间的普遍联系和辩证统一。二。重点和难点要点：1。正弦定理的概念；2.正弦定理的证明及其基本应用。困难：1。正弦定理的探索与证明：2.当两边和一边的对角线解三角形已知时，确定解的个数。三、教材和学习情况分析这一章的内容是处理三角形的角之间的关系，这与初中学习的三角形的边和角之间的基本关系密切相关，也与已知三角形的边和角等于确定三角形的同余的知识密切相关。在介绍正弦定理的内容时，教科书允许学生从现有的几何知识出发，提出“在任何三角形中，大边与大角、小边与小角的角之间都有关系”的问题。我们能得到一个准确的边和角之间关系的定量表示吗？”在介绍余弦定理的内容时，提出了一个疑问：“如果已知三角形的两条边和它们之间的夹角，根据三角形同余的判断方法，三角形是一个完全确定大小和形状的三角形。我们仍然从量化的角度研究这个问题，即如何从已知的两条边及其夹角计算三角形的另一边和两个角。这样，从联系的角度，可以从新的角度看待过去的问题，使学生对过去的知识有新的理解，同时新的知识可以建立在现有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学。五、教学过程(一)新课程的引入如右图所示，固定ABC的边CB和B，使边AC绕顶点c旋转老师想：C的大小和它的对边AB的长度之间有什么定量关系？很明显，边AB的长度随着其对角线c的增加而增加老师能用方程式准确地表达这种关系吗？初中老师，我们已经学会了如何解直角三角形，让我们先来讨论一下直角三角形，角度和边缘之间的方程关系。如右图所示，在RtABC中，设置BC=A，AC=B，AB=C。根据锐角三角形函数中正弦函数的定义，有=sinA，=sinB、然后sinC=1=。因此在直角三角形中，(二)推广新课程老师，以上关系对任何三角形都有效吗？(由学生讨论和分析)学生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如右图所示，当ABC是一个锐角三角形时，让边AB上的高度为CD。根据任意角三角函数的定义，CD=AsinB=BsinA，那么，出于同样的原因，它是可用的。(当ABC是钝角三角形时，解类似于锐角三角形，由学生自己完成)正弦定理：在三角形中，每条边的正弦与其对角线的比值是相等的，即。老师能用其他方法证明这个等式吗？生命可以作为ABC的外接圆。在ABC中，BC=A，AC=B，AB=C被用来证明这种关系，根据直径的圆周角是直角，圆弧的圆周角是相等的。老师很好！这个学生可以充分利用我们以前的知识来解决这个问题。让我们看看下面的证据。在A中也就是说，上述关系适用于任何三角形，所以我们得到了方程。在评论：时，上述证明方法采用初中所学的平面几何知识，通过外接圆的性质将任何三角形转化为直角三角形来证明。在巩固平面几何知识的同时，这种证明方法容易被学生理解和接受，消除了学生认为“矢量法是证明正弦定理的唯一方法”的误解。它不仅拓宽了学生解决问题的思路，而且为下一步用向量法证明正弦定理铺平了道路。知识扩展：老师，接下来，我们可以考虑用之前学到的向量知识来证明正弦定理。从定理的内容可以看出，定理反映了三角形的角关系，在向量知识中，哪个知识点反映了角关系？定义公式AB=| A | | B |余弦为出生矢量数的乘积，其中是两个矢量之间的夹角。老师回答得很好，但是矢量积不是正弦关系，而是余弦关系，两者可以转化吗？生活可以通过三角函数的归纳公式sin=Cos(90-)来转换。这种变换产生了一个新的90-角，这为辅助向量J的添加提供了线索。为了便于进一步操作，辅助向量选择单位向量J，而J垂直于三角形的一边，并且与一边成90-角。这就是为什么辅助向量J垂直于三角形的一边。在向量法证明的过程中，向量的构造是基础，可以通过向量的加法原理得到。关键是把单位矢量j垂直于。为了生成j和、的量的乘积，取上述向量方程两侧的和向量j的量的乘积是合理的。老师，我们将进一步体验用向量法证明正弦定理的过程，并注意总结证明过程中用到的向量知识点。注释： (1)在给学生适当的自学时间后，学生应注意两个向量之间的角度基于相同起点的前提，以及两个向量垂直的充要条件的应用。(2)要求学生在巩固矢量知识的同时，进一步理解矢量知识的工具作用。向量方法证明过程：(1)ABC是一个锐角三角形，交点a垂直于单位矢量j，则j和之间的夹角为90度，j和之间的夹角为90度根据向量加法原理，为了建立与图中角的三角函数的关系，我们取上述向量方程两边向量j的标量积，得到可以通过分布规律得到。AsinC=CsinA.另外，如果取垂直于交点c的单位矢量j，j和之间的夹角为90，j和之间的夹角为90，则可以得到。(这里应该强调的是，学生应该注意两个向量之间的角度是同一个起点的前提，以免误解j和之间的角度是90c，j和之间的角度是90 b)(2)ABC是一个钝角三角形，最好设a 90，交点a是与其垂直的单位矢量j，则j和之间的夹角为-90，j和之间的夹角为90。从，j=j，也就是说，ACOS (90-c)=CCOS (a-90)， asinc=csina。此外，如果交叉点c作为垂直于的单位矢量j，则j和之间的角度是90c，j和90 b之间的角度。出于同样的原因，它是可用的。总而言之，正弦定理适用于锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。在老师证明了正弦定理之后，让我们进一步学习正弦定理的应用。老师解释说(1)正弦定理表明，在同一个三角形中，边与其对角线的正弦成正比，而比例系数是同一个正数。也就是说，有一个正数k使A=ksinA，B=ksinB，c=ksinc(2)相当于(表格2)。通过观察正弦定理的形式2，我们可以很容易地得到它。利用正弦定理，我们可以解决以下两种三角形问题。(1)例如，给定三角形的任意两个角和一条边，可以找到其他边。因为两个角是已知的，第三个三角形是确定的，这个三角形是唯一的，解是例1在ABC中，已知A=32.0，B=81.8，A=42.9厘米可解三角形。分析：这个问题属于两个角和一个角的对边已知的问题。边B可以通过直接应用正弦定理得到。如果得到C边，那么就可以用正弦定理。解：根据三角形内角和定理，C=180-(A B)=180-(32.0 81.8)=66.2；根据正弦定理，b=80.1(厘米)；c=74.1(厘米)。方法指南(1)这类问题的结果是唯一的解决办法，学生更容易掌握。如果两个角和两个角之间的边是已知的，则通过使用内角180的和获得第三个三角形，然后使用正弦定理。(2)计算器可用于解决三角形中的复杂运算。例2在ABC中，已知A=40厘米，B=28cm厘米，A=40，三角形被求解(角度精确到1，边长精确到1厘米)。科学，科学，网络分析：这个例子属于bsina a b，所以有两个解决方案，所以在解决之后，不需要进一步的测试，这使学生感到当使用正弦定理来寻找边和角的目的是非常清楚的，同时意识到分析问题的重要性。解：根据正弦定理，sinB=0.899 9。因为0 b 180，B64或B116。(1)当B64，C=180-(A B)=180-(40 64)=76，C=30(厘米)。(2)当B116，C=180-(A B)=180-(40 116)=24，C=13(厘米)。方法指南通过这个例子，学生可以清楚地知道，用正弦定理来寻找角度有两种可能性，但它们不符合问题的含义。它们可以通过分析获得。这就要求学生熟悉已知两条边和一条边的角度时解三角形的各种情况。当然，不符合问题含义的解的选择也可以通过三角形的相关性质来判断。对于这一点，我们将通过下面的例子来体验。变量1:在ABC中，a=60，b=50，a=38是已知的，b(精确到1)和c(保留两个有效数字)。分析：这个问题属于AB这种情况，有一个解决办法，也可以根据三角形内部大角度到大边，小角度到小边这种性质来排除B是钝角的情况。解决方案：如果BB是已知的，就有解决方案。应用正弦定理求解角度b后，三角形内角之和为180 ,以排除角度b为钝角的情况。解决办法：sinb= 0.618 6， b 38或B142(略)。C=180-(A B)=22。 C=12。方法指导 (1)这个问题要求学生注意问题的全面性。角B作为钝角的排除也可以通过结合三角形的小角到小边的性质来获得。(2)综合以上例子，要求学生自己总结正弦定理的适用范围，并知道一边或两边和两个角中的一个角的对角解三角形。(3)对于已知两边夹角的三角形，将通过下一节学习的余弦定理来求解。为了巩固我们在这一部分学到的知识，老师接下来将进行课堂练习：1.在ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)给定C=，A=45，B=60，求B；(2)假设b=12，a=30，b=120，求a。解决方案：(1)c=180-(a b)=180-(45-60)=75，B=1.6。(2)a=6.9。评：正弦定理的直接应用，旨在让学生熟悉正弦定理的内容，并让数学成绩较低的学生在黑板上回答，以增强他们的自信心。2.根据以下条件求解三角形(角度精确到1，边长精确到1):(1)B=11，A=20，B=30(2)甲=28，乙=20，甲=45；(3)C=54，B=39，C=115(4)A=20，B=28，A=120。解决方案：(1)新浪= 0.909 1。A165，A2115。当A165时，C1=180-(A1)=180-(3065)=85，8756；C1= 22。当A2115，C2=180-(ba2)=180-(30115)=35， C2= 13。(2)sinb=0.505 1，B130,B2150.因为ab 2=45 150 180，B2150应该省略(或者b a被称为b a，所以b应该是锐的)。C=180-(45 30)=105。C=38.(3)sinb=0.654 6。 B1 41，B2 139。因为b c，b c，应该放弃B2139。当B=41，A=180-(41 115)=24，