初二竞赛进阶进度一八佰伴07中位线 教师

1 / 9 第七讲 中位线 1. 三角形的中位线：联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线. 2. 梯形的中位线：联结梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线. 左图，在ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，那么 DE 是ABC 的中位线. 右图，在梯形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，F 是 CD 的中点，那么 EF 是梯形 ABCD 的中位线. E D CB A E D CB A F 3. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. （需证明） 4. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. （需证明） 5. 四边形的中点四边形：E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，顺次联结 E、F、G、H. 四边形 EFGH 是平行四边形； 当 AC、BD 满足条件ACBD时，四边形 EFGH 是矩形； 当 AC、BD 满足条件ACBD时，四边形 EFGH 是菱形； 当 AC、BD 满足条件ACBD且ACBD时，四边形 EFGH 是正方形. 【结论】以矩形各边中点为顶点的四边形是 菱 形； 以菱形各边中点为顶点的四边形是 矩 形. 以等腰梯形各边中点为顶点的四边形是 菱 形. 2 / 9 【例题1】 填空题： 1. 如图，DE是AFG的中位线，FG是梯形BCED的中位线. 若DE=2，则FG= 4 ，BC= 6 ； 若FG=2，则DE= 1 ，BC= 3 ； 若BC=2，则DE= 2 3 ，FG= 4 3 . 2. 梯形的上、下底边长分别为 6 和 14，那么中位线把梯形分成的两部分面积比为2:3. 3. 等腰梯形的周长 40cm，中位线与腰长相等，它的高是 6cm，则梯形的面积为 2 60cm. 4. 等腰梯形的中位线等于 15cm，一个底角为 60，且对角线平分这个角，则梯形的周长为50cm. 5. 如图，四边形ABCD中，AC=16cm ，BD=22cm，则连结各边中点所成的四边形EFGH的周长 为38cm. 6. 如图，在ABC中，M是BC边的中点，AD平分BAC，BDAD，AB=12，AC=22，则MD= 5 . （第 5 题） （第 6 题） 二、解答题： 【例题2】 在梯形ABCD中，ADEFMNBC，点E、M是AB的三等分点，点F、N是CD的三等分点， AD=5cm，BC=11cm，求EF、MN的长. 解：易证EF是梯形AMND的中位线 MN是梯形EBCF的中位线 D M C B A 第 1 题 14 10 6 第 2 题 x x x 第 3 题 2x x x x 300 300 600 第 4 题 第 5 题 第 6 题 3 / 9 设,EFxcm MNycm，则 527 1129 yxx xyy 解得，7,9EFcm MNcm 【例题3】 在梯形ABCD中，ADBC，M是AB的中点，DMCM，求证：CD=AD+BC. 证：取CD中点N，联结MN M是AB的中点 MN是梯形ABCD的中位线 2ADBCMN 又,DMCM N是CD的中点 2CDMNCDADBC， 另证：易证ADMBEM 又 ,DMEM ADEB DMCMCDCEEBBCADBC ， 【例题4】 如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=BC，AC、BD相交于点O，AOB=60，P、Q、G 分别是OA、BC、OD的中点. 求证：PQG是等边三角形. 证：易证AOBCOD、是等边三角形 联结BPCG、 P是OA的中点， BPAC 又Q是BC的中点， 1 2 PQBC 同理， 1 2 GQBC， P是OA的中点，G是OD的中点 PG是AOD的中位线， 1 2 PGAD， ADBCPQGQPG， 即PQG是等边三角形 【例题5】 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，延长EF，交BA的延长线 于点M，交CD的延长线于点N.求证：AMF=DNF. 证：联结AC，并取AC中点G 联结GEGF、 G是AC中点，E是BC中点 GE是ABC的中位线 D CB A M E BC M DA N BC M DA G O P A B Q C D 4 / 9 GE 1 2 AB 同理：GF 1 2 CD 12 1 2 . ABCD GEGF AMF DNF AMFDNF ， ， ， ， 【例题6】 如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，BE平分CBD，交OC于F，交CD于E. 求证： DEOF 2 1 . 证：取BE的中点M，联结OM O是BD的中点 OM是BDE的中位线 OM 1 2 DE，45 BE平分CBD 12 ACBD 且 0 90BCD 0 132490 3435 1 2 OFOMDE ， 【例题7】 在ABC中，AC=7，BC=4，D为AB的中点，E为AC边上一点，且AED=90+ 2 1 C， 求CE的长. 解：取AC中点M，联结MD D为AB的中点，DM是ABC的中位线 1 / /,21 2 DMBC DMBCC ， 设1, x 则Cx， 0 1 90 2 AEDx G F M E B A C D N M 5 4 3 2 1 O F E C B D A A B C D E 4 3 2 1 A E M C D B 5 / 9 则 0 1 390 2 x ， 0 1 2190 2 AEDx 232EMDM ， 3.55.5CMCE， 【例题8】 如图，在ABC中，BC=15cm，D、G为BC的三等分点，AD=13cm，AG=12cm，E、F分别为 AB、AC的中点， 求： 四边形EFGD的周长 四边形EFGD的面积. 解： （1） 1131 6 222 GFADcmDEAGcm，； 1151 525 222 EFBCcmDGBCcmCcm， （2）在ADG中 222 2 / 1 1575 56 222 DGAGAD AGBCEDAGEDBC Scm ，又， 【例题9】 如图，已知在菱形ABCD中，对角线BD、AC交于点O，过O分别作各边的垂线， 垂足分别是E、F、G、H 求证：四边形EFGH是矩形 证：在菱形ABCD中， BD平分ABC ,OEAB OFBC OEOF 同理,OFOG OGOH OHOE ,/ / OEOFOGOH OEAB ABCD OECD 又OGCD EOG 、 、共线 同理FOH、 、共线 四边形EFGH是平行四边形 2,2EGOE FHOF EGFH 四边形EFGH是矩形 O H GF E D C B A 6 / 9 【例题10】 M、N为ABC的边AB、AC的中点，E、F为边AC的三等分点，延长ME、NF交于D点，连 结AD、DC，求证：BFDE是平行四边形，ABCD是平行四边形 证明：M、E为AB、AF的中点 MDBF 同理可得DNBE BFDE是平行四边形 BE=DF BEF=DFE BEA=DFC 又AE=CF ABECDF AB=CD BAC=FCD ABCD， ABCD是平行四边形 【例题11】 在四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点， 求证：)( 2 1 BDACMN . 证： 1 2 MNMEENACBD N M D CB A E N M D CB A 【例题12】 四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，ABD=20， BDC=70， 求NMP. 解：M是AD的中点，P是BD的中点 MP是ADB的中位线 MP 1 2 AB 同理：NP 1 2 CD ,ABCDMPNP 00 000 34120 ,2180 211013025 ABDBDC MPNNMP ， ， D CB A M N P 4 3 2 1 7 / 9 A BC D E MN N M B F G C DE A 【例题13】 如图，在ABC中，BD、CE分别是ABC、ACB的平分线，AMCE，ANBD，AB=8cm， BC=9cm，AC=7cm，求MN的长. 解：延长AMAN、分别交BC于FG、 易证CMACMF 7AMMFFCACcm， 同理,8ANNG BGABcm， MN是AFG的中位线 1 263 2 MNFGBFBCFCcmFGBGBFcmMNcm， 【例题14】 在ABC中，ACB=90，AD为BC边上的中线，E为AD中点，CE延长线交AB于F，FG AC交AD于G，连结CG. 求证： 四边形ACGF是等腰梯形. BF=2CG. 证： （1） 0 90 ,ACBE为AD中点 12 /13,24 34 CEAEDE FGAC EFEGAGCF ， ， ， 又AF CG 四边形ACGF是等腰梯形 （2）取BF中点M，联结DM D是BC中点 DM是BCF的中位线 / /DMCF 又E是AD中点 F是AM中点 AFFM 又FMBM 2BFAF 四边形ACGF是等腰梯形 2AFCGBFCG， （2）另证：取CF中点N，联DN，的中点，是CFB的中位线， 易证DNEAEFDNAF，AFCG， 2BFCG G E MF D C B A 4 3 2 1 8 / 9 3 2 1 M C N D B A 【作业【作业1】 如图，EF 是梯形 ABCD 的中位线，且 EF=10 ，EF 交 AC 于点 G ，EGGF=32 ，则 AD= 8 ，BC= 12 . 【作业【作业2】 如图，在梯形 ABCD 中，EF 是中位线，且 EF=8cm，BC-AD=4cm，则 BC= 10 ，AD= 6 ， GH= 2 . 【作业【作业3】 如图， 等腰梯形 ABCD 的周长为 50cm， E、 F 分别为两腰的中点， 腰长为 9cm， 对角线 AC=24cm， P 为 AB 的中点，则EPF 的周长为40cm. 【作业【作业4】 如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ACBD，AC=6，BD=8，则梯形 ABCD 中位线的长为 5 . 【作业【作业5】 在ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，M 为 BC 的中点，AB=16，求 DM 的长. 解：取AC中点N，联结NMND、 M是BC的中点，MN是ABC的中位线 1 / /,81 2 MNAB MNABB， ,ADBC N是AC中点 2212 2NDNCCBC ， 又123 ，