7.1 直线方程与两直线的位置关系.ppt

,一、直线的倾斜角和斜率,1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这,7.1直线方程与两直线的位置关系,个方程的直线.,2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0.,3.倾斜角的取值范围是00)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(),(A).(B)2-.,(C)-1.(D)+1.,【解析】由题意知=1,解之得a=-1(舍去)或a=-1.故应选C.,【答案】C,题型1直线的倾斜角和斜率,例1直线2xcos-y-3=0(,)的倾斜角的范围是(),(A),.(B),.,(C),.(D),.,【分析】先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.,【解析】直线2xcos-y-3=0的斜率k=2cos,由于,因此k=2cos1,.设直线的倾斜角为,则有tan1,.由于0,),所以,故选B.,【答案】B,【点评】直线的倾斜角和斜率,可以“知一求一”.当=时,斜率k不存在;当=0时,k=0;当00;当时,k0.,变式训练1已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则直线l的斜率为(),(A).(B).(C).(D).,【解析】A(-1,-5),B(3,-2),kAB=.,设直线AB的倾斜角为,即tan=,直线l的倾斜角为2,tan2=.,即直线l的斜率为.,【答案】B,例2(1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为(),(A)x-2y+7=0.(B)2x+y-1=0.,(C)x-2y-5=0.(D)2x+y-5=0.,(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是.,【分析】结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.,题型2直线的方程,【解析】(1)所求直线的斜率为,故其方程为y-3=(x+1),即x-2y+7=0.,(2)设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为a.,当a=0时,直线的斜率k=-,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.,当a0时,点A(-5,2)在直线+=1上,得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.,综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.,【答案】(1)A(2)x+2y+1=0或2x+5y=0,【点评】求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法,根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法,先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.,变式训练2(1)直线l垂直于y=x+1,在y轴上的截距为-3,则l不经过(),(A)第一象限.(B)第二象限.,(C)第三象限.(D)第四象限.,(2)已知直线l1的方程是y=ax+b,l2的方程是y=bx-a(ab0,ab),则下列各示意图形中,正确的是(),【解析】(1)直线l的斜率为-1,在y轴上截距为-3,则它不经过第一象限.,(2)直线l1的斜率为a,在y轴上的截距为b;直线l2的斜率为b,在y轴上的截距为-a.选项A中,由直线l1知由l2知即没有矛盾.其他选项都有矛盾.,【答案】(1)A(2)A,例3已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.,(1)l1l2,且l1过点(-3,-1);,(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.,【分析】两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映,是解题的切入点.,题型3两直线的平行与垂直,若k2=0,则1-a=0,a=1.,l1l2,直线l1的斜率k1必不存在,即b=0.,又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0,即b=3a-4=-10(不合题意),k20,则k1、k2都存在.,k2=1-a,k1=,l1l2,k1k2=-1,即(1-a)=-1.,【解析】(1)由已知可得l2的斜率必存在,其斜率k2=1-a.,又l1过点(-3,-1),-3a+b+4=0.,由联立,解得a=2,b=2.,(2)l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.,坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1l2,l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,联立解得或,【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的斜率是否存在.,变式训练3已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的值,使:,(1)l1与l2相交于点P(m,-1);,(2)l1l2;,(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,【解析】(1)m2-8+n=0,且2m-m-1=0,m=1,n=7.,(2)当m=0时,显然l1不平行于l2;当m0时,由=得,或,即m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2.,(3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2.,又=-1,n=8.,即m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,例4(1)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.,(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.,【分析】(1)思路一:求交点,定斜率,用点斜式求解.思路二:利用直线系方程求解.,(2)|PA|=|PB|等价于点P在AB的垂直平分线上.,题型4两直线的交点与距离问题,【解析】(1)(法一)由方程组得,即P(0,2).,ll3,kl=-,直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.,(法二)直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0.,l与l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.,(2)设点P的坐标为(a,b).A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2).,而AB的斜率kAB=-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.,点P(a,b)在上述直线上,a-b-5=0.,又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,=2,即4a+3b-2=10.,由联立可得或,所求点P的坐标为(1,-4)或(,-).,【点评】求与已知两直线的交点有关的问题,有两种方法:(1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再利用其他条件求解;(2)运用过两直线交点的直线系方程,设出方程后再利用其他条件求解.,变式训练4已知点P(2,-1).,(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程.,(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?,(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.,1),若l的斜率不存在,其方程为x=2,满足条件.,若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.,由已知得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.,综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.,【解析】(1)过P点的直线l与原点距离为2,且P点坐标为(2,-,(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,如图.,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.,即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为|OP|=.,(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.,例5已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O为原点.,(1)当ABO的面积最小时,求直线l的方程;,(2)当|MA|MB|取得最小值时,求直线l的方程.,【分析】先设出直线l的方程,再求出A、B两点的坐标,表示出ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.,题型5直线方程的综合应用,1-2k),AOB的面积S=(1-2k)(2-)=4+(-4k)+(-)(4+4)=4.,当且仅当-4k=-,即k=-时,等号成立,故直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.,(2)由(1)得|MA|=,|MB|=,【解析】(1)设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k0),则直线l的方程为+=1.,l过点P(3,2),+=1,a+b=(a+b)(+)=5+5+2.,故当且仅当=且+=1,即a=3+,b=2+时截距之和最小,此时l的方程为x+3y-3-6=0.,例6已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求,(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;,(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.,【分析】两点关于直线l对称等价于两点连线段被直线l垂直平分;直线关于直线对称转化为点关于直线对称.,题型6对称问题,解得,A(-,).,(2)在直线m上取一点如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上,设对称点为M(a,b),【解析】(1)设A(x,y),由已知得,则解得,M(,).,设m与l的交点为N,由得N(4,3).,又m经过点N(4,3),直线m的方程为9x-46y+102=0.,【点评】两直线l1、l2关于直线l的对称问题也可先在所求直线l1上任取一动点P(x,y),P关于直线l的对称点设为Q(x0,y0),则Q在直线l2上,利用PQ被直线l垂直平分,将Q点坐标用P点坐标表示,再利用Q点坐标满足直线l2的方程求出P点坐标满足的方程即所求的直线l1的方程,这种方法叫做坐标转移法(或代入法).,变式训练6(1)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.,(2)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.,【解析】(1)(法一)设直线l上任一点为(x,y),它关于点P(2,-1)的对称点(4-x,-2-y)在直线3x-y-4=0上,3(4-x)-(-2-y)-4=0,3x-y-10=0,所求直线l的方程为3x-y-10=0.,(法二)由于直线l与3x-y-4=0平行,故设直线l的方程为3x-y+b=0,则由点P到两直线的距离相等,得=,解得:b=-10或b=-4(舍去).,所求直线l的方程为3x-y-10=0.,(2)设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).,则有,解得x0=,y0=.,由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则,2+-4=0,化简得2x+11y+16=0即为所求直线b的方程.,1.解决有关直线方程的综合题,要根据题目给出的条件灵活选用直线方程的形式,且要注意题目中的隐含条件.,2.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.,3.研究最值问题时,可以从几何图形入手,找到最值时的情形,也可以从代数角度考虑,构建目标函数,进而转化为研究函数的最值问题.,4.不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在时,两直线平行;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线垂直;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率是非零实数时,两直线相交但不垂直.,5.中心对称和轴对称,(1)中心对称:,点P(x,y)关于O(a,b)的对称点为P(x,y)满足,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,(2)轴对称:,点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B0)的对称点为A(m,n),则有,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,例若直线l经过点(3,2),且在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.,【错解1】如图,由于直线l在两坐标轴上的截距相等,故l的斜率为1.若k=1,则直线方程为y-2=x-3;若k=-1,则直线方程为y-2,=-(x-3).故直线方程为x-y-1=0或x+y-5=0.,【错解2】由题意,直线在两坐标轴上的截距相等,则可设直线方程为+=1.由直线过点(3,2),得+=1,即a=5,即方程为x+y-5=0.,【剖析】在上述两种错解中,错解一忽视了截距的意义,截距不是距离,它可正可负,也可以为0.显见,当k=1时,直线x-y-1=0在两坐标轴上的截距分别为1和-1,它们不相等.另外,这种解,法还漏掉了直线在两坐标轴上的截距均为0的情况.错解二中,没有注意到截距式方程的适用范围,同样也产生了漏解.,【正解1】由于直线l在两坐标轴上有截距,因此直线不与x、y轴垂直,斜率存在,且k0.,设直线方程为y-2=k(x-3),令x=0,则y=-3k+2,令y=0,则x=3-.,由题设可得-3k+2=3-,解得k=-1或k=.,直线l的方程为y-2=-(x-3)或y-2=(x-3).,故直线l的方程为x+y-5=0或2x-3y=0.,【正解2】由题设,设直线l在x、y轴的截距均为a.,若a=0,则l过点(0,0),又过点(3,2),直线l的方程为y=x,即2x-3y=0.,若a0,则设l为+=1.,由l过点(3,2),知+=1,故a=5.,直线l的方程为x+y-5=0.,综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.,一、选择题(本大题共5小题,每小题6分),1.(基础再现)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为(),(A).(B)-.(C)-.(D).,【解析】由直线l与直线y=1,x=7分别交于点P、Q,可设P(x1,1),Q(7,y1),再由线段PQ的中点坐标为(1,-1),可解得:x1=-5,y1=-3.即直线l上有两点P(-5,1),Q(7,-3),代入斜率公式可解得直线l的斜率为k=-.,【答案】B,2.(基础再现)已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,交点为(1,p),则m-n+p的值是(),(A)24.(B)20.(C)0.(D)-4.,【解析】直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直,则有(-)=-1m=10,而交点为(1,p).故所以m-n+p=20.,【答案】B,3.(基础再现)已知点A(1,-2),B(m,2),且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-2=0,则实数m的值是(),(A)-2.(B)-7.(C)3.(D)1.,【解析】依题意,线段AB的中点(,0)在直线x+2y-2=0上,得m=3.,【答案】C,4.(视角拓展)若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点到原点的距离的最小值为(),(A)3.(B)2.(C)3.(D)4.,【解析】AB的中点在与l1,l2平行且到l1,l2距离相等的直线上,即所求最小值为l1,l2到原点距离的平均数.dmin=3.,【答案】A,5.(能力综合)已知b0,直线(b2+1)x+ay+2=0与直线x-b2y=0互相垂直,则ab的最小值等于(),(A)1.(B)2.(C)2.(D)2.,【解析】由两条直线垂直的充要条件可得:-=-1,解得a=,所以ab=b=b+.又因为b0,所以b+2=2,当且仅当b=,即b=1时取等号.,【解析】B,6.(视角拓展)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.,【解析】设所求直线方程为+=1,由已知可得解得或,2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.,二、填空题(本大题共4小题,每小题7分),【答案】2x+y+2=0或x+2y-2=0,7.(视角拓展)与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是.,【解析】设(x0,y0)是直线2x+3y-6=0上任一点,则2x0+3y0-6=0(*),其关于点(1,-1)的对称点的坐标是(x,y),由得代入(*)式,得2(2-x)+3(-2-y)-6=0,即2x+3y+8=0.,【答案】2x+3y+8=0,8.(高度提升)在直线2x-y-4=0上有一点P,使它与两点A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则点P的坐标为.,【解析】点A(4,-1),B(3,4)在直线l:2x-y-4=0两侧,作点A关于直线l的对称点A1(0,1),则当A1、B、P三点共线时距离之差值最大,此时可求得直线A1B方程为x-y+1=0,于是由解得,故点P的坐标为(5,6).,【答案】(5,6),9.(能力综合)设l1的倾斜角为,(0,),l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方向旋转-角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的方程为.,【解析】由已知,l1l3,k1=tan=2,k2=tan2=-.,l2的纵截距为-2,l2的方程为y=-x-2.,由得P(-3,2),又P点在直线l1上,l1的方程为2x-y+8=0.,【答案】2x-y+8=0,10.(视角拓展)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.,(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;,(2)求点A(5,0)到