《线性代数》-线代复习

诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试2006线性代数试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。0已知正交矩阵P使得，则102TA206TPE1设A为N阶方阵，是的个特征根，则DET12,N2A2设A是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充MBMBX分必要条件是3若向量组（0，4，2），（2，3，1），（T，2，3）的秩为2，则T4，则的全部根为23154987XD0XD二、选择题（每小题4分，共20分）1行列式的值为（）。01A，1，B，1C，D，2N12N2对矩阵施行一次行变换相当于（）。NMA，左乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵3若A为MN矩阵，。则（）。RAN|0,NMXARA，是维向量空间，B，是维向量空间MC，是MR维向量空间，D，是NR维向量空间4若N阶方阵A满足，0，则以下命题哪一个成立（）。2_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线A，B，0R2NRAC，D，2N5若A是N阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（）。A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵1C，矩阵A的行列式是1，D，矩阵A的特征根是1三、解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，求DETA2计算行列式。1A3设，求矩阵B。02,1AAB4、求向量组的一个最1234,1,0,1,0,1,2大无关组。5、求向量（1，2，1）在基下的坐标。1,10,1四、（12分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示）。1234527506XX五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123131,FXXX六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解012,RAX系，是线性方程组的一个解，求证线性无关。,21R2006年线性代数A参考答案一填空题12022006212N23RARA,BN4T851,2,3二选择题1D2A3D4D5D三解答题1AA|A|E,|A|A|A3|A|A|2|AA|AA1|12311013131AAAAAA3由ABAB，有，AEBAE1,1120302,AE432030112B（4）02142104321而10102故，为一个极大无关组23（5）令（1，2，1）XYZ，则有解得12ZYX2103ZYX的坐标为2,03四解001214084021216130512723A原方程组同解下面的方程组24351X即43251XX令,求解得（1，1，0，0，0）。543齐次方程组基础解系为。321321,10,0AA通解为五解1,2,112010,3321AEAXF当时，由，求得基础解系1321XAE10当时，由03212X，求得基础解系当时，由，求得基础解系133213XAE12单位化612,3210令，则613210U102AU若则。,Y2321YA六，证明证设，01BAAR则，1RR于是,1AARR即0BAR但，故0。01BR从而0。R1但线形无关，因此全为0，于是B0,由此知R，RA,1线形无关。,1R诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试2006线性代数试卷B一、填空题（每小题4分，共20分）。1已知正交矩阵P使得，则102TA2061TPAP2设A为N阶方阵，是的个特征根，则DET12,NT3设A是矩阵，则方程组对于任意的维列向量都有无数多MBAXMB个解的充分必要条件是4若向量组（0，4，2），（2，3，1），（T，2，3）的秩不为3，则T5，则的全部根为23157498XD0XD二、选择题（每小题4分，共20分）1N阶行列式的值为（）。10B，B，1NC，D，12N2N2对矩阵施行一次列变换相当于（）。NMAB，左乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵3若A为MN矩阵，。则（）。RAN|0,NMXARA，是维向量空间，B，是维向量空间M_姓名学号学院专业座位号密封线内不答题密封线线C，是MR维向量空间，D，是NR维向量空间MM4若N阶方阵A满足，E，则以下命题哪一个成立（）。2A，B，R2NRAC，D，25若A是N阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（）。A，矩阵AT为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵1C，矩阵A的行列式是实数，D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵，求DETE22计算行列式。AB3设，求矩阵AB。02,1AAB4、求向量组的的秩。1234,1,0,1,0,1,26、向量在基下的坐标（4，2，2），求,在下的坐标。四、（12分）求方程组的通解（用基础解系与特解表示）。1234527506XX五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵212313,4FXX六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解012,RAX系，是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数A，线性无关。,RAA2006年线性代数B参考答案二填空题（1）2252200501N1MRARA,BN2T831,2,3二选择题1D2D3D4A5D三解答题13阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者1，所以DETEDET（EA）DET（EA）02A（2）3131003ABBAABB3由ABAB，有，AEBAE1,120302,432030112B844022A（4）02142104321而0210120故秩为3。（5）令2X（）Y（）Z（），则有解得42XZY02XYZ所求的的坐标为,四解001214084021216130512723A原方程组同解下面的方程组24351X即43251XX令,求解得（1，1，0，0，0）。543齐次方程组基础解系为。321321,10,0AA通解为五解123123,0012,FXAE当时，由，求得基础解系03211XA当时，由03212XE，求得基础解系11当时，由，求得基础解系303213XA单位化01,2令，则012U102AU若则。,UY213AY六，证明证设，0RAAB则，11R于是,R即但，故0。0A1从而0。RA1但线形无关，因此全为0，于是B0,由此知R，RA,1线形无关。,华南理工大学期末考试（A卷）2007线性代数试卷一、填空题（共20分）（1）设A是矩阵，是维列向量，则方程组无解的充NMBMBAX分必要条件是（2）已知可逆矩阵P使得，则1COSINA1207P（3）若向量组（0，4，T），（2，3，1），（T，2，3）的秩为2，则T（4）若A为2N阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则A（5）设A为N阶方阵，是的个特征根，则12,N1IIE二、选择题（共20分）（1）将矩阵的第I列乘C加到第J列相当于对ANMAA，乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵（2）若A为MN矩阵，是维非零列向量，。集I,RAN合则,NMXRA，是维向量空间，B，是NR维向量空间MMC，是MR维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若N阶方阵A，B满足，则以下命题哪一个成立2A，B，RBC，D，DETTAN（4）若A是N阶正交矩阵，则以下命题那一个成立A，矩阵为正交矩阵，B，矩阵为正交矩阵11C，矩阵为正交矩阵，D，矩阵为正交矩阵（5）4N阶行列式的值为10A，1，B，1C，ND，N三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。51312310,2设，求矩阵A102,1AAB1B3计算行列式1359271864计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。3409219632A5设计算DETA120012NABABA四、证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组12,R0AX的一个解，求证线性无关。0AX,21R五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2123131,4FXXX六、（8分）取何值时，方程组A有无数多个解并求通解123506XX七、（4分）设矩阵，都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆AB1AB矩阵。2007年线性代数A参考答案一填空题每个四分4RANKARANKA|B或者RANKARANKA|B5COS207SIN207ICO6T413I780二选择题1D2D3C4都对5A三解答题1设向量在基下的坐标为，则123,123,TX11232,X（4分）3512X（6分）32X2（2分）10420102111EABBA则（6分）31382408940238109563102967201053（6分）（4）（4分）135134091340902828673,2,4,6,9,103,TTTARANK一个基（6分）（5）01212102010001NINNIINNNIIABBABBAABBBNAAI原式（6分）四证明12312123,0,40,5RRRRKKKKAKKXK反证假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不1231231212300607010RRRRRAKKKKKK是的解故所以由（）得（）又，线性无关五、A,2分|01AE225010（5分）2,P（7分）11204245242141（8分）21231,FXY2Y23Y六，证明12121234054035065665322403AAAABRRRARA方程组的增广矩阵232463062013418ANKARNKABXAXC如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七111111111,2,ABEBABABA都是可逆矩阵有可逆也可逆3也是可逆矩阵是可逆矩阵4华南理工大学期末考试（B卷）2007线性代数试卷一、填空题（共20分）（1）设A是矩阵，是维列向量，则方程组有唯一解NMBMBAX的充分必要条件是（2）已知可逆矩阵P使得，则1COSINA1207207PP（3）若向量组（0，4，T），（2，3，1），（T，2，3）的秩R不为3，则R（4）若A为2N1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵，则A（5）设A为N阶方阵，是的个特征根，则12,N21IIE二、选择题（共20分）（1）将矩阵的第I列乘C相当于对ANMAA，左乘一个M阶初等矩阵，B，右乘一个M阶初等矩阵C，左乘一个N阶初等矩阵，D，右乘一个N阶初等矩阵（2）若A为MN矩阵，。集合IN,RA则0,MMXRA，是维向量空间，B，是NR维向量空间MC，是MR维向量空间，D，A，B，C都不对（3）若N阶方阵A，B满足，则以下命题哪一个成立24A，B，2RBC，D，都不对DETT（4）若A是N阶初等矩阵，则以下命题那一个成立A，矩阵为初等矩阵，B，矩阵为初等矩阵11AC，矩阵为初等矩阵，D，矩阵为初等矩阵（5）4N2阶行列式的值为110A，1，B，1C，ND，N三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。01312310,2设，求矩阵A102,21AAB1B3计算行列式3519271864计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。3409219630A5设计算DETA120012NABABA四、证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，不是线性方程组12,R0AX的一个解，求证线性无关。0AX12,R五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵2212313,FXX六、（8分）取何值时，方程组无解A123506XAX七、（4分）设矩阵，都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆AB1AB矩阵。2007年线性代数B参考答案三填空题每个四分（1）RANKARANKA|BN（2）COS072COS07（3）R2（4）1（5）0二选择题1D2C3D4A5B三解答题1设向量在基下的坐标为，则123,123,TX11232,X（4分）130（6分）123X2（2分）1102140ABE则140210BA（6分）31382408940238109563102967201053（6分）（4）（4分）135134091340902828673,2,4,6,9,103,TTTARANK一个基（6分）（5）01212102010001NINNIINNNIIABBABBAABBBNAAI原式（6分）四证明1231212,013,4,056RRRRKKKKAXKA反证假设它们线性相关，则存在一组不全为零的数使得用矩阵对上式作用得又，为方程的一个基础解故不是的解故所以由1212307010RRKKKK（）得又，线性无关五、A,2分|10AE12001（5分）,2P（7分）10212（8分）1231,FXY3六，证明12121234054035065665322403AAAABRRRARA方程组的增广矩阵232463062013418ANKARNKABXAXC如果方程有无穷多个解则当时原方程有无数个解，且原方程等价于七111111111,2,ABEBABABA都是可逆矩阵有可逆也可逆3也是可逆矩阵是可逆矩阵4诚信应考,考试作弊将带来严重后果华南理工大学期末考试（A卷）2007线性代数1试卷一、填空题（共20分）1设行列式，则方程的所有解是7298164332XXD0XD2已知矩阵，则矩阵分别等于11A201,A3设是N阶对称方阵的个特征值，是对应的特征,21ANN,21向量，若，则向量的夹角是21,4若方程组有解，则的值等于51544332211AXAX54321AA5若矩阵是N阶实矩阵，且，这里为零矩阵，则矩阵的所有特AOATA征值为二、选择题（共20分）6若矩阵和都是N阶正定矩阵，若N是任意自然数，则ABA，B，35RANK53BARAK_C，D，不能确定NBARANK5353BARANK7设有齐次线性方程组AX0和BX0，其中A，B为矩阵，现有四个命题NM（1）若AX0的解均是BX0的解，则RKR（2）若，则AX0的解均是BX0的解BRANKAR（3）若AX0与BX0同解，则BRANKAR（4）若，则AX0与BX0同解RKR以上命题中正确的是A，（1）（2），B，（1）（3）C，（2）（4），D，（3）（4）8若A，B是任意N阶方阵，则以下等式中一定成立的是A，B，2211AC，D，DETTDET9若N阶方阵，满足，则有,ABCNAIA，B，NDINCIC，D，10若A是N阶方阵，则A是N阶正交方阵的充分必要条件不是C，A的列向量构成的单位正交基B，R1DETAC，A的行向量构成的单位正交基D，NT1三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。4211,0,1322设A是三阶方阵且，求的值A3A3计算行列式00XX4设向量组。0,12,74,31,65,14,312,421求向量组的一个最大无关组。5设，计算A10A四、证明题（8分）设向量线性无关，求证向量线性无关。123,1231,5,4五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，写出正交变换和对角形PP2213314XX六、（8分）求方程组的一个基础解系0810543235431XX七、（6分）设矩阵，是正定矩阵，证明分块矩阵也是正定矩阵。ABBOA线性代数试卷A一、选择题（每题3分，共15分）1_,2210的值为则的秩若矩阵AARAA1D1C0B或者或2_,|则，且为正交矩阵设AD）ACAAATT3设,是N维列向量,0T,N阶方阵TE,3N，则在A的个特征值中,必然_BA有N个特征值等于1B有1N个特征值等于1C有1个特征值等于1D没有1个特征值等于14_,则阶方阵，且秩相等，既为设BRABA,DR2,RCR205,BXNANM则非齐次线性方程组的秩设矩阵一定无解可能有解一定有唯一解一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1设是N阶方阵A的伴随矩阵，行列式2|A，则|_2D中第二行元素的代数余子式的和412JJ_,其中D113已知实二次型32123232,4XAXXF正定,则实常数A的取值范围为_42N阶行列式_AB,其中N阶矩阵A00BB5设A，102而N2为正整数，则_21NA三、计算题每题9分,共54分1计算N阶行列式MXXMDNNN3213212求矩阵X使1206,102,01BABXA，其中3设非齐次线性方程组3432121DXXCBA有三个解向量12，21，32求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解其中TKJIDCBA,为已知常数4已知实二次型,321XF032321XX经过正交变换QYX,化为标准形5YY,求实参数及正交矩阵Q5设线性方程组为BXXA432143211730，问A,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解在有无穷多解时求出其通解6在四元实向量构成的线性空间4R中,求A使4321,为R的基,并求由基3214321,到