一次函数与平行四边形综合

1、一解答题（共3 小题）1如图，在平面直角坐标系中，已知 rtaob的两直角边 oa、ob分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，且 oa、ob 的长满足 |oa 8|+ （ob6）2 =0， abo 的平分线交 x 轴于点 c 过点 c 作 ab的垂线，垂足为点 d，交 y 轴于点 e（ 1）求线段 ab的长；（ 2）求直线 ce的解析式；（ 3）若 m是射线 bc上的一个动点，在坐标平面内是否存在点p，使以 a、b、m、p 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点p 的坐标；若不存在，请说明理由2如图，四边形 oabc是矩形，点 a、c 在坐标轴上， ode是 ocb绕点 o顺时针旋转

2、 90得到的，点 d 在 x 轴上，直线 bd交 y 轴于点 f，交 oe于点 h，线段bc、oc的长是方程 x2 6x+8=0 的两个根，且 oc bc（ 1）求直线 bd的解析式；（ 2）求 ofh的面积；（ 3）点 m在坐标轴上，平面内是否存在点 n，使以点 d、f、m、n 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 n 的坐标；若不存在，请说明理由3如图，在平面直角坐标系中，直线y= x+8 分别交两轴于点a、b，点 c为线段 ab的中点，点 d 在线段 oa上，且 cd的长是方程的根（ 1）求点 d 的坐标；（ 2）求直线 cd的解析式；（ 3）在平面内是否存在这样的点 f，使以 a

3、、c、d、f 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 f 的坐标；若不存在，不必说明理由参考答案与试题解析一解答题（共3 小题）1（2015? 齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知rtaob的两直角边oa、ob分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，且 oa、ob的长满足 |oa8|+（ob 6） 2=0， abo的平分线交 x 轴于点 c过点 c 作 ab的垂线，垂足为点 d，交 y轴于点e（ 1）求线段 ab的长；（ 2）求直线 ce的解析式；（ 3）若 m是射线 bc上的一个动点，在坐标平面内是否存在点p，使以 a、b、m、p 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点

4、p 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（1） |oa8|+ （ ob6）2=0， oa=8， ob=6，在直角 aob中， ab=10；（ 2） bc平分 abo， oc=cd，设 oc=x，则 ac=8x，cd=x acd和 abo中， cad=bao， adc=aob=90， acd aob，即，解得： x=3即 oc=3，则 c的坐标是（ 3，0）设 ab的解析式是 y=kx+b，根据题意得解得：则直线 ab的解析式是 y=x+6，设 cd的解析式是 y= x+m，则 4+m=0，则 m=4则直线 ce的解析式是 y= x 4；（ 3）当 ab为矩形的边时，如图所示矩形 amp

5、b，易知 bc的直线方程为 y=2x+6，1122设 m1（m，2m+6），p1（x，y），因为 a（ 8，0），b（0，6），则 am1=（m+8） +2212222（ 2m+6） ，=5m+40m+100，bm =m+（2m+6 6）=5m，ab=10，22222根据 ab+am1=bm1得 100+5m+40m+100=5m，m= 5， m（ 5， 4），bm中点坐标为（，1），11bm1中点同时也是 ap1 中点，则有，解得 p1（ 3， 2）当 ab 为矩形的对角线时，此时有22222ab=am+bm，即 100=5m+40m+100+5m，m=22 4 或 m=0（舍去）， m2（

6、 4， 2），ab中点坐标为（ 4，3），ab中点同时也是 p2m2 中点，则有，解得 p2（ 4， 8）综上可得，满足条件的p 点的坐标为 p1 （3，2）或 p2（ 4，8）2（2015? 黑龙江）如图，四边形oabc是矩形，点 a、c 在坐标轴上， ode是 ocb绕点 o顺时针旋转 90得到的，点 d在 x 轴上，直线 bd交 y 轴于点 f，交 oe于点 h，线段 bc、oc的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且 ocbc（ 1）求直线 bd的解析式；（ 2）求 ofh的面积；（ 3）点 m在坐标轴上，平面内是否存在点 n，使以点 d、f、m、n 为顶点的四边形是矩形？若存在，请

7、直接写出点 n 的坐标；若不存在，请说明理由【解答】 解：（ 1）解方程 x2 6x+8=0 可得 x=2 或 x=4， bc、oc的长是方程 x26x+8=0 的两个根，且 ocbc， bc=2， oc=4， b（ 2，4）， ode是 ocb绕点 o顺时针旋转 90得到的， od=oc=4， de=bc=2， d（ 4， 0），设直线 bd解析式为 y=kx+b，把 b、d 坐标代入可得，解得，直线 bd的解析式为 y=x+；（ 2）由（ 1）可知 e（4，2），设直线 oe解析式为 y=mx，把 e 点坐标代入可求得 m= ，直线 oe解析式为 y=x，令x+=x，解得 x=， h点到

8、y 轴的距离为，又由（ 1）可得 f（0，）， of= ， s ofh= = ；（ 3）以点 d、 f、 m、 n 为顶点的四边形是矩形， dfm为直角三角形，当 mfd=90时，则 m只能在 x 轴上，连接 fn交 md于点 g，如图 1，由（ 2）可知 of= ，od=4，则有 mof fod，=，即=，解得 om=， m（ ，0），且 d（4，0）， g（ ， 0），设 n 点坐标为（ x，y），则 = ， =0，解得 x= ， y= ，此时 n点坐标为（ ，）；当 mdf=90时，则 m只能在 y 轴上，连接 dn交 mf于点 g，如图 2，则有 fod dom，=，即=，解得 om=

9、6， m（ 0， 6），且 f（0，）， mg= mf=，则 og=ommg=6= ， g（ 0，），设 n 点坐标为（ x，y），则=0，=，解得 x=4，y=，此时 n（ 4，）；当fmd=90时，则可知m点为 o点，如图 3，四边形 mfnd为矩形， nf=od=4， nd=of=，可求得 n（ 4， ）；综上可知存在满足条件的n 点，其坐标为（， ）或（ 4，）或（ 4，）3（ 2015? 龙沙区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+8 分别交两轴于点 a、b，点 c为线段 ab的中点，点 d在线段 oa上，且 cd的长是方程的根（ 1）求点 d 的坐标；（ 2）求直线 cd

10、的解析式；（ 3）在平面内是否存在这样的点 f，使以 a、c、d、f 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 f 的坐标；若不存在，不必说明理由【解答】 解：（1）直线 y= x+8 分别交两轴于点 a、b，点 a 的坐标是（ 8， 0），点 b 的坐标是（ 0， 8），点 c 为线段 ab的中点，点 c 的坐标是（ 4， 4），由解得 x=5， cd=5，设点 d 的坐标是（ m， 0）（m0），则，解得 m=1或 m=7，点 d 的坐标是（ 1， 0）或（ 7，0）（ 2）当点 d 的坐标是（ 1，0）时，设直线 cd的解析式是 y=ax+b，则解得直线 cd的解析式是 y=x当

11、点 d 的坐标是（ 7，0）时，设直线 cd的解析式是 y=cx+d，则解得直线 cd的解析式是 y=x（ 3）存在点 f，使以 a、 c、 d、 f 为顶点的四边形为平行四边形当直线 cd的解析式是 y= x 时，设 af 所在的直线的解析式是 y= +m，点 a 的坐标是（ 8， 0），解得 m=， af所在的直线的解析式是y=、如图 1，设点 f 的坐标是（ p，），则 df的中点 e 的坐标是（），点 a 的坐标是（ 8， 0），点 c 的坐标是（ 4， 4）， ac的中点 e的坐标是（ 6，2）， =6，解得 p=11，点 f 的坐标是（ 11，4）、如图 2，设点 f 的坐标是（

12、p，），则 cf的中点 g的坐标是（），点 a 的坐标是（ 8， 0），点 d 的坐标是（ 1， 0）， ad的中点 g的坐标是（ 4.5 ，0），解得 p=5，点 f 的坐标是（ 5， 4）、如图 3，当 cfad时，设点 f 的坐标是（ p， 4），则 af 的中点 e 的坐标是（，2），点 d 的坐标是（ 1， 0），点 c 的坐标是（ 4， 4）， cd的中点 e的坐标是（ 2.5 ，2）， =2.5 ，解得 p=3，点 f 的坐标是（ 3，4）当直线 cd的解析式是 y=x+设 af 所在的直线的解析式是y=点 a 的坐标是（ 8， 0），解得 n=， af所在的直线的解析式是y=时，+n，+、如图 4，设点 f 的坐标是（ p，），则 df的中点 m的坐标是（，），点 a 的坐标是（ 8， 0），点 c 的坐标是（ 4， 4）， ac的中点 m的坐标是（ 6，2）， =6，解得 p=5，点 f 的坐标是（ 5， 4）、如图 5，设点 f 的坐标是（ p，），则 cf的中点 n 的坐标是（，），点 a 的坐标是（ 8， 0），点 d 的坐标是（ 7， 0）， ad的中点 n的坐标是（ 7.5 ，0）， ，解得 p=11，点 f