第十讲无穷级数ppt课件

1、第十讲 无穷级数,一、数项级数的审敛法,二、幂级数,三、傅里叶级数,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .

2、,显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 若,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2). 若,因此级数发散 ;,因此,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,则,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 判定下列级数的敛散性,（1）,（3）,（2）,例3. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消

3、” 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、无穷级数的基本性质,说明:,(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则,必发散 .,但若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,(1) 性质1表明收敛级数可逐项相加或减 .,(用反证法可证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.利用性质判断下列级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）,（2）,解:,所以级数 (2) 发散,（3）,解:,所以级数 (3)

4、发散,（1）,（2）,思考与练习,判断下列级数的敛散性:,（3）,（4）,若 收敛，,判断下列级数的敛散性:,三、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,则称,为正项级数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若“大”级数,则“小”级数,(2) 若“小”级数,则“大”级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p

5、级数,发散 .,发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若,p 级数收敛 .,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,用比较判别法

6、判定下列级数的敛散性,(1),(2),(3),定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,用比值判别法判定下列级数的敛散性,(1),(2),(3),定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,机动 目

7、录 上页 下页 返回 结束,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例6. 用根值法判定下列级数的敛散性,(1),(2),例7. 证明级数,收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,上述级数各项取绝对值后所成的级

8、数是否收敛 ?,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,例8. 判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？,(1),(2),(3),条件收敛 .,绝对收敛 ；,发散,例9. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛

9、.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,六、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数