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文档简介

1、第五章 相似矩阵和二次型习题课,重点与难点,内容提要,典型例题,一、重点与难点,2. 方阵的特征值与特征向量的证明问题,1. 线性无关向量组的正交规范化方法,3. 判断方阵可否对角化,4. 求一正交阵，使实对称阵正交相似于对角阵,二、基础知识,（一）方阵的特征值与特征向量,2. 求法,（1）特征多项式,1. 定义,3. 性质,特征方程 其解为A的特征值。,（2）特征向量： 的非零解。,（1）设 是 的特征值，则 是 的特征值 ;,是 的特征值.,（2） 是 的特征值，则,（3）若A是可逆阵，则A的特征值都不为零，其,（4） 与 的特征多项式相同，特征值相同。,（5）不同特征值对应的特征向量必线

2、性无关。,的特征值为,的特征值为,（二）相似矩阵、相似变换,1. 定义,2. 性质： 若A与B相似，则有,（1）A与B有相同的特征多项式，特征值。,（2）,（三）方阵的对角化,（3）若A可逆，则B可逆，且 与 也相似。,（4） 与 相似 ，相似变换阵仍为P。,（5） 与 相似 。,1. 定义,将方阵A对角化的步骤：,推论： 若n阶方阵 A有n个互不相同的特征值，则A一定可以对角化。,2. n阶方阵 A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。,1. 求A的特征值,2. 求 对应的特征向量。,（四）实对称阵,（1）实对称阵的特征值都是实数，特征向量都是实向量。,将实对称阵A正交相似对角阵的计算步骤：

3、,（2）实对称阵的不同特征值对应的特征向量必正交。,（3）实对称阵A可对角化，且都可正交相似于对角阵。,1. 求A的特征值,2. 求 对应的特征向量,3. 将 正交规范化得到,4. 构造矩阵P= ,P正交阵，使,解：,三、典型例题,即,2. 已知 可对角化，求a,解：,由于A可对角化，则A有3 个线性无关的特征向量。A的特征值,与 对应的特征向量中存在2个线性无关的 。,即 的基础解系中含有两个解 。,解：,(1)由A与B相似得A的特征值为2，2，6. 所以,(2) 时，,基础解系为：,时，,基础解系为：,故,使,（1）求a, b及特征向量P所对应的特征值。,（2）问A能否对角化？说明理由。,解：,即,故 是A的特征值。,与 对应的A的线性无关的特征向量只有一个，故A不能对角化。,解：,由于A可对角化，故存在可逆矩阵 使,将其对

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