高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念学案（含解析）新人教A版必修1

1、12.1函数的概念函数的概念提出问题某物体从高度为44.1 m的空中自由下落，物体下落的距离s(m)与所用时间t(s)的平方成正比，这个规律用数学式子可以描述为sgt2，其中g取9.8 m/s2.问题1：时间t和物体下落的距离s有何限制？提示：0t3,0s44.1.问题2：时间t(0t3)确定后，下落的距离s确定吗？提示：确定问题3：下落后的某一时刻，能同时对应两个距离吗？提示：不能导入新知函数的有关概念函数的概念设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数函数的记法yf(x)

2、，xA定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域化解疑难理解函数的概念应关注五点(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的(2)理解函数的概念要注意，函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应这三性只要有一个不满足，便不能构成函数(4)

3、yf(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数区间导入新知区间的概念及表示定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb半开半闭区间a，b)x|axb半开半闭区间(a，bx|axa开区间(a，)x|xa半开半闭区间(，ax|xa开区间(，a)R开区间(，)化解疑难1理解区间概念的注意点(1)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“，”隔开；(2)区间表示实数集的几条原则：连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；(3)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的

4、区别；(4)由于区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立2关于无穷大的两点说明(1)是一个符号，而不是一个数；(2)以“”或“”为区间的一端时，这一端必须用小括号函数的判断例1(1)下列图形中，不能确定y是x的函数的是()(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？f：把x对应到3x1；g：把x对应到|x|1；h：把x对应到；r：把x对应到.解(1)选Dy是x的函数，必须满足对于任意给定的x值，y都有唯一确定的值与之对应图象A，B，C所表示的对应关系能构成函数，因为任意给一个变量x，都有唯一确定的y和它对应但图象D不是，它表示的对应关系中，对于自变量x，大多都有

5、两个函数值和它对应，不符合函数的定义(2)是实数集R上的一个函数它的对应关系f是把x乘3再加1，对于任一xR,3x1都有唯一确定的值与之对应如x1，则3x12与之对应同理，也是实数集R上的一个函数不是实数集R上的函数因为当x0时，的值不存在不是实数集R上的函数因为当x0时，的值不存在类题通法1判断所给对应是否为函数的方法(1)首先观察两个数集A，B是否非空；(2)其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性，即不能没有数y对应数x，也不能有多于一个的数y对应x.2根据图形判断对应是否为函数的方法步骤(1)任取一条垂直于x轴的直线l；(2)在定义域内平行移动直线l；(3)若l与图形

6、有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数活学活用在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是()Ax|xZ，By|yZ，对应关系f：xy；Ax|x0，xR，By|yR，对应关系f：xy23x；Ax|xR，By|yR，对应关系f：xx2y225；AR，BR，对应关系f：xyx2；A(x，y)|xR，yR，BR，对应关系f：(x，y)sxy；Ax|1x1，xR，B0，对应关系f：xy0.ABC D解析：选D在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之

7、对应，所以不能确定y是x的函数在对应关系f下，A中的数(除去5与5外)在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数A不是数集，所以不能确定y是x的函数显然满足函数的特征，y是x的函数求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x1且x1，即函数的定义域为x|x1，且x1(2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x5且x3，即函数的定义域为x|x5，且x3类题通法求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0.(2)不对

8、解析式化简变形，以免定义域变化(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接活学活用求下列函数的定义域：(1)y；(2)y；(3)y； (4)y(x1)0 .解：(1)函数的定义域为.(2)x1.函数的定义域为1(3)函数的定义域为x|x1，且x0(4)解得x1，且x1.函数的定义域为x|x1，且x1求函数值和值域例3已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值；(

9、3)求f(x)，g(x)的值域解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)f(g(2)f(6).(3)f(x)的定义域为x|x1，值域是(，0)(0，)g(x)x22的定义域为R，最小值为2，值域是2，)类题通法求函数值域的方法求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：对于一些无理函数

10、(如yaxb)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域活学活用求下列函数的值域：(1)yx1，x1,2,3,4,5；(2)yx22x3，x0,3)；(3)y；(4)y2x.解：(1)(观察法)因为x1,2,3,4,5，分别代入求值，可得函数的值域为2,3,4,5,6(2)(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象如图(1)，可得函数的值域为2,6)(3)(分离常数法)y2，显然0，所以y2.故函数的值域为(，2)(2，)(4)(换元法)设t，则t0且xt21，所以y2(t21)t22，由t0，再结合函数的图象如图(2)，可得函

11、数的值域为.典例下列各组函数：f(x)，g(x)x1；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)；f(x)，g(x)x3；汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)80t(0t5)与一次函数g(x)80x(0x5)其中表示相等函数的是_(填上所有正确的序号)解析不是相等函数，定义域不同，f(x)定义域为x|x0，g(x)定义域为R.不是相等函数，对应法则不同，f(x)，g(x).是相等函数，定义域、对应法则都相同不是相等函数，值域不同，f(x)0，g(x)R.是相等函数，定义域、对应法则都相同答案易错防范1若只注意对应关系，忽视定义域，则易误认为中f(x)与g(x)是同一函数，从而导致解题错误2

12、若认为不同的字母表示的函数是不同的函数，则会误认为中的两个函数是不同的，从而导致解题错误3讨论函数是否为同一函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同成功破障与函数yx1相等的函数是()AyByt1Cy Dy()2解析：选B选项A，D与原函数的定义域不同，选项C与原函数的对应关系不同，选项B与原函数定义域、对应关系都相同，故选B.随堂即时演练1下列各组函数中，表示同一函数的是()Ay与yx3By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1，xZ与y2x1，xZ解析：选C选项A中两函数

13、的定义域不同；选项B，D中两函数的对应关系不同2下列图形(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)中，表示y是x的函数的是()解析：选D根据函数的定义，对于非空数集A中每一个确定的x值，非空数集B中都有唯一确定的y值与之对应，只有图形D符合函数的定义3用区间表示下列数集：(1)x|x1_；(2)x|21，且x2_.答案：(1)1，)(2)(2,4(3)(1,2)(2，)4函数y2x4的值域为_(用区间表示)解析：令t，则x1t2(t0)，y2x422t24t2(t1)24.又t0，当t1时，ymax4.故原函数的值域是(，4答案：(，45若f(x)(x1)，求f(0)，f(1)，f(1a)(a2)，f(f

14、(2)的值解：f(0)1，f(1)0，f(1a)(a2)，f(f(2)2.课时达标检测一、选择题1下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x|Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x解析：选C验证C，f(x)x1.f(2x)2x1,2f(x)2x2，f(2x)2f(x)，即f(x)x1不满足f(2x)2f(x)，故选C.2下列各组中的两个函数为相等函数的是()Af(x)，g(x)Bf(x)()2，g(x)2x5Cf(x)，g(x)Df(x)，g(t)2解析：选DA中，f(x)的定义域为x|x1，g(x)的定义域为x|x1或x1，它们的定义域不相同；B中，f(x)()2的

15、定义域为，g(x)2x5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数C中，f(x)与g(x)的对应关系不同，不相等D中，f(x)x(x0)与g(x)2t(t0)的定义域与对应关系都相同，它们相等3下列图形中可以表示以Mx|0x1为定义域，Ny|0y1为值域的函数的图象是()解析：选CA中的值域不是0,1，B中的定义域不是0,1，D中的图形不是函数的图象4下列函数中，值域为(0，)的是()Ay ByCy Dyx21解析：选By的值域为0，)，y的值域为(，0)(0，)，yx21的值域为1，)5若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A(0,4 B.C. D.解析：选C当x0，x

16、3时，y4，当x时，y.m，选C.二、填空题6若a,3a1为一确定区间，则a的取值范围是_解析：由题意3a1a，得a.答案：7设f(x)，则f(f(x)_.解析：f(f(x).答案：(x0，且x1)8若函数f(x)的定义域为R，则m的取值范围为_解析：要使原函数有意义，必须mx2x30，由于函数的定义域是R，故mx2x30对一切实数x恒成立当m0时，x30，即x3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m0不合题意当m0时，有1212m.故综上可知，m的取值范围是.答案：三、解答题9(1)已知函数f(x)的定义域为0,1，求f(x21)的定义域；(2)已知f()的定义域为0,3，求f(x)的定义域解

17、：(1)函数f(x21)中的x21相当于函数f(x)中的x，0x211，1x20，x0，f(x21)的定义域为0(2)f()的定义域为0,3，0x3，12，f(x)的定义域为1,210试求下列函数的定义域与值域：(1)f(x)(x1)21，x1,0,1,2,3；(2)f(x)(x1)21；(3)f(x)；(4)f(x)x.解：(1)函数的定义域为1,0,1,2,3，则f(1)(1)1215，同理可得f(0)2，f(1)1，f(2)2，f(3)5，所以函数的值域为1,2,5(2)函数的定义域为R，因为(x1)211，所以函数的值域为y|y1(3)函数的定义域是x|x1，y5，所以函数的值域为y|y5(4)要使函数式有意义，需x10，即x1，故函数的定义域是x|x1设t，则xt21(t0)，于是f(t)t21t2.又因为t0，故f(t).所以函数的值域是.11已知函数f(x)x21，xR.(1)分别计算f(1)f(1)，f(2)f(2)，f(3)f(3)的值；(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明解：(1)f(1)f(1)(121)(1)21220；f(2)f(2)(221)(2)