高斯曲率的意义与作用

1、 高斯曲率的意义与作用1引言在曲面论中,应用较多的是高斯曲率高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点2 预备知识2.1 主曲率 2.1.1主曲率的定义 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率.由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率2.1.2主曲率的计算公式主曲率满足 即2.1.3 有关主曲率的一个命题曲面上的一点（非脐点）的主

2、曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示）设是曲面S：上一块不大的区域，另外再做一个单位球面现在建立中的点和单位球面的点的对应关系如下：中任取一点，作曲面在点处的单位法向量，然后把的始端平移到单位球的中心，则的另一端点就在单位球面上，设该点为，这样对于曲面的小区域中的每一点，与球面上向径为的点对应因此，曲面上所给出的小区域表示到单位球面的对应区域上也就是说，建立了曲面的小区域到单位球面上区域的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称高斯映射2.3 高斯定理定理 曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量高斯定理说明,曲面本身蕴含着

3、一定的弯曲性质,这是曲线所不具有的特点例如球面一定不会保持长度不变而摊成一块平面,反过来平面无论如何不可能保持长度不变而弯成一个球面,因为球面和平面的高斯曲率是不同的3 高斯曲率的定义曲面S：的主曲率，是曲面的切平面变换的两个特征值，分别是法曲率的最大值与最小值，也即曲面主方向对应的法曲率设，为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积称为曲面在这一点的高斯曲率，通常以表示由预备知识可知，利用一元二次方程的根与系数的关系便得高斯曲率 =,对于曲面的特殊参数表示，由于，因此得 4 高斯曲率的几何意义曲面的小区域在球面表示（高斯映射）下对应到球面的区域如果当曲面在这块上弯曲的程度越大时，它的对应球面的区

4、域也就越大因而的弯曲程度可以用的面积对于本身的面积的比值来刻画曲面在已知点处的弯曲程度自然就用这个比值当收缩成点的极限来衡量命题 曲面在点邻近的区域在单位球面上表示是，当区域曲面上已知点时，的面积与区域的面积之比趋于曲面在点的高斯曲率的绝对值即下面给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义由于=（）其中是曲面的法向量，是球面的法向量表示这两法向量指向一致，因此从到的旋转方向和到的旋转方向相同表示这两法向量的方向相反，从而到的旋转方向和从到的旋转方向相反 5 高斯曲率的作用5.1 曲面的高斯曲率确定了曲面在一点邻近的结构曲面在一点邻近的结构与其在该点的高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率的比较，可

5、以反映该点附近的形状变化注意到曲面的高斯曲率与同号的,而，总是正的因此的符号决定曲面在所考虑点的邻近结构分三种情形加以讨论：1) 时，即时，给定点为椭圆点这时主曲率与同号，不妨设，那么对应于主方向的一条法截线朝法向量的正侧弯曲由欧拉公所有法截线的曲率都时正的因此，所有法截线都朝向量的正侧弯曲，所以曲面沿所有都朝同一侧弯曲当，都是负的时候，所有的法截线都朝的负侧弯曲总之，曲面在点的邻近在切平面的同一侧，故当时，曲面在椭圆点的邻近的形状近似于椭圆抛物面2）当时，即时，给定点为双曲点这时的主曲率与异号，不妨假设，那么对应的两条法截线中有一条朝的负侧弯曲，另一条朝的正侧弯曲由欧拉公式得到各个方向的法曲

6、率的变化情况当时，时，当，从而当从变到时，的符号改变两次零值此时曲面在点的邻近的形状近似于双面抛物面3） 当时，即时，该点为抛物点因此，至少有一个主曲率等于零，不妨设，那么对应于第一主方向的法截线朝的正侧弯曲，另一条法截线一般以为拐点因此一般第二条法截线从它的切线的一侧朝另一侧弯曲，曲面在点的邻近的形状近似于抛物柱面例 设环面的方程是，其中是常数，且考察环面上各种类型点的分布解 直接计算得 ， ，,，因此 由此可见，的符号由的符号而定当=时, =,这些点是抛物点分布在环面最上面和最下面的两个平行圆上当时, ,这些点是椭圆点,分布在环面的外侧很显然,曲面上的椭圆点集和双曲点集都是开集,它们的边界

7、点必是抛物点5.2 运用曲面的常高斯曲率确定曲面的第一基本形式假定曲面S的高斯曲率是常数在曲面上取测地平行坐标系因而它的第一基本形式为，满足条件： 根据高斯曲率的内蕴表达式，有所以作为u的函数，满足二阶常系数齐次方程初始条件是： 根据K的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是： 1） ; 2) ; 3) 则常曲率曲面的第一基本形式分别为：若S有正常数高斯曲率, ；若S的高斯曲率为零，；若S有负常数高斯曲率，由上面的结论可推出：有相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应例 考虑第一基本形式为的曲面.通过直接计算可以知道,该曲面的高斯曲率是常数当时,该抽象曲面可以定义在整个平面上;当时,该抽象曲面的定义域是： 设,则,所以这个抽象曲面就是普通的平面它上面的测地线就是普通的直线设,则这个抽象曲面可以看作中半径为的球面通过从南极向球面在北极的切平面作球极投影所得到的象在的情形,在圆内赋予度量的抽象曲面成为圆5.3 高斯曲率与可展曲面的联系由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，其参数表示为，为直纹面的导线的参数表示，时过导线上的直母线上的向量，直纹面分为两情形：不平行于，即，这种直纹面是不可展曲面;平行于，即，这种直纹面是可展曲面由知，是可展曲面的充要条件是，如果按公式,求的高斯曲率，则当时，必有，则故当的高斯曲率为零时，这个直纹曲面为可展曲面这