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文档简介

1、一、（10分）设矩阵，计算|A|1，max|Ax|：|x|=2、cond1(A)。解： |A|1=5 （3分）；max|Ax|：|x|=2=2 |A|=8 （6分） （8分）cond1(A)= |A|1|A-1|1=20 （10分）二、（12分）已知矩阵，试求A不变因子、初等因子，并写出A的Jordan标准形。解：不变因子d1=d2=1；d3=(l+1)3；6分；初等因子为(l+1)3 (9分)A的Jordan标准形为 (12分)三、（8分）利用盖尔圆定理证明有三个互异实特征值。解：取D=diag(2,1,1),则A与B=D-1AD特征值相同，而B的三个行盖尔圆彼此孤立，故每个盖尔圆内有且仅有

2、1个特征值，而B是是矩阵，而各盖尔圆均关于实轴对称，因而其中特征值均是实的。8分四、（10分）用LU分解求解方程组 解:系数矩阵A的LU分解如下 （5 分）求解得到 （0分）五、（10）利用幂法计算矩阵按模最大的特征值及特征向量的近似值：设初始向量v0=1 1 1T，迭代2次，保留4位小数。解: lmax5.3333, 特征向量0.3438 0.7500 1.0000 ( 10分)六、（20分）已知，（1）求A的满秩分解；（2）求；（3）用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否有解；（4）求的极小范数解或极小范数最小二乘解，并指出所求的是哪种解解：(1) (6分) (2) (12分) (3) ,方程

3、组无解； (16 分) （4）极小范数最小二乘解为 ( 20分)七、（15分）对于如下线性方程组，（1）试证明其Jacobi迭代收敛；（2）并用Jacobi迭代法计算其近似解，设初始向量为x(0)=0 0 0T, 迭代四次，结果用分数或小数（保留到小数点后第四位）表示。解：(1) 迭代矩阵BJ 谱半径r(BJ)=0.51，故Jacobi迭代收敛。 (7分)（2）四次迭代值依次为 (15分)八、(15分)已知（1）求；（2）求满足的解。解：(1) 令j(l)=det(lI-A)=(l+1)(l -1)2,令 elt=q(l, t)j(l)+ a2(t)l2+ a1(t)l+ a0(t),则有eAt =a2(t)A2+ a1(t)A+ a0(t)I； (4分)而 eAt =a2A2+ a1A+ a0I其中a2,a1, a0上式给定。 (9分)（2）=a2A2+ a1A+ a0Ix(0)=a2 x(0)-

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