专题一：等腰三角形的存在性问题

1、.专题训练一 等腰三角形的存在性问题专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况。已知腰长（两定一动）：分别以两腰的顶点为圆心，腰长为半径画圆；已知底边（两定一动：）画底边的垂直平分线。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。针对训练1、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标。 2、 如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点,

2、过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0).(1)、求A、B的坐标;(2)、求抛物线的解析式;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使ABQ是等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标；若不存在,请说明理由.3、如图，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动。在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值。 4、如图，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如

3、果APQ是等腰三角形，求点P的坐标 ABCDPE5、如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=4，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）个。A、2 B、3 C、4 D、5 6、如图，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EF/AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过

4、程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积 7、如图，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 5（11湖州24）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点

5、D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程） 图1 图26（10南通27）如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 两年模拟7（2012年

6、福州市初中毕业班质量检查第21题）如图，在ABC中，ABAC10，BC16，DE4动线段DE（端点D从点B开始）沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EF/AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），联结DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积 8（宁波七中2012届保送生推荐考试第26题）如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在

7、x轴上，且AB3，BC，直线y经过点C，交y轴于点G（1）点C、D的坐标分别是C（ ），D（ ）；（2）求顶点在直线y上且经过点C、D的抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线沿直线y平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）平移后是否存在这样的抛物线，使EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由 自编原创9如图，已知ABC中，ABAC6，BC8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADEB设BD的长为x，CE的长为y（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果ADE为等腰三角形，求

8、x的值 备用图 备用图参考答案:1因为D（3，4），所以OD5，如图1，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的坐标为如图2，当OPOD5时，点P的坐标为(5，0)如图3，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0) 第1题图1 第1题图2 第1题图32在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t. 第2题图1 第2题图2 第2题图3如图1，当时，解得(秒).如图2，当时，过点Q作QMAC于M，则CM.在RtQMC中，解得(秒).如图3，当时，过点P作PNBC于N，则CN.在RtPNC中，解得(秒).综上所述，当t为时，PQC为等腰三角形.3

9、由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如图，由AOBQOP得，OPOQOBOA21设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2当APAQ时，AP2AQ2，解方程(2m1)2m21，得或所以符合条件的点P不存在当PAPQ时，PA2PQ2，解方程(2m1)25m2，得所以当QAQP时，QA2QP2，解方程m215m2，得所以 第3题图4（12临沂26）（1）如图，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，BOC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线

10、的解析式为yax(x4)，代入点B，解得 所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为 第4题图5（11湖州24）（1）因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，当APAD时，解得（如图1）当PAPD时，解得（如图2）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图3）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或 第5

11、题图1 第5题图2 第5题图3另解第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图1，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图2，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得（3）点H所经过的路径长为思路是这样的：如图4，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图5，P与O重合时，是点H运动的起点，COH45，CGH90第5题图4 第5题图6（10南通27）(1)因为EDC与FEB都是DEC的余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y

12、关于x的函数关系为(2)如图1，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图2）；将xy 6代入，得m2（如图3） 第6题图1 第6题图2 第6题图37（1）， （2）DEF中，DEFC是确定的如图1，当DEDF时，即解得如图2，当EDEF时，解得如图3，当FDFE时，即解得，即D与B重合第7题图1 第7题图2 第7题图3（3）MN是FDE的中位线，MN/DE，MN2，MN扫过的形状是平行四边形如图4，运动结束，N在AC的中点，N到BC的距离为3；如图

13、5，运动开始，D与B重合，M到BC的距离为所以平行四边形的高为，面积为 第7题图4 第7题图58（1）， （2）顶点E在AB的垂直平分线上，横坐标为，代入直线y，得设抛物线的解析式为，代入点，可得所以物线的解析式为 （3）由顶点E在直线y上， 可知点G的坐标为，直线与y轴正半轴的夹角为30， 即EGF30设点E的坐标为，那么EG2m，平移后的抛物线为所以点F的坐标为如图1，当GEGF时，yFyGGE2m，所以解得m0或m0时顶点E在y轴上，不符合题意此时抛物线的解析式为如图2，当EFEG时，FG，所以解得m0或此时抛物线的解析式为当顶点E在y轴右侧时，FEG为钝角，因此不存在FEFG的情况第8题图1 第8题图29（1）当D