第二章内积空间

1、第二章 内积空间在以前学习的线性代数中，我们知道在中向量的长度、夹角和正交等性质是用内积刻划的，在本章中将内积的概念推广到一般线性空间，从而讨论一般线性空间中向量的度量性质。定义了内积的线性空间称为内积空间，常用的内积空间有欧氏空间与酉空间。2.1欧氏空间与酉空间一、 欧氏空间与酉空间定义1 设是上的线性空间，如果中每对向量，按某一对应法则都有唯一确定的实数与之对应且满足：， 等号成立当且仅当则称为的内积。称定义了上述内积的有限维线性空间为欧几里得空间，简称欧氏空间，称为的长度或模。例1 在中定义，则构成一个欧氏空间。例2 在中对定义,则为欧氏空间。证明 因为 （1） （2） （3） （4）

2、等号当且仅当成立故为欧氏空间。例3 定义，则是维欧氏空间。例4 设为阶正定阵且定义，则是维欧氏空间。证明 （1）（2）（3）（4）因为正定二次型，故，注：例3、例4说明在一个线性空间中可以定义不同的内积，但其得到的欧氏空间我们视为不同的。由于经常用到复矩阵及其相关性质，故以下列出一些常用概念及性质。矩阵共轭及共轭转置：设1. ，称为的共轭。2. ，。3. ，。4. 记，称为的复共轭转置矩阵，。5. ，。6. ，。7. ，。8. ，。9. ，。10. 若，则称为埃尔米特（Hermite）矩阵，。11. 若，则称为反埃尔米特矩阵，定义2 设是上的线性空间，若有且满足： ， 等号成立当且仅当则称为的

3、内积，称定义了上述内积的有限维线性空间为复内积空间或酉空间，称为的长度或模。例5 在中定义，则是酉空间。注：在（）中定义的内积（）称为标准内积。以后若无特殊说明，（）及其子空间的内积均采用标准内积。例6在中对定义,则为酉空间。证明 与例2类似，请读者自证。二、欧氏空间与酉空间的性质定理1：设是酉空间的内积，则（1），（2），（3）， 其中，。证明（1） （2）（3）由定理1的（2 ）得 上述定理1的结论在欧氏空间显然成立，即推论1设是欧氏空间的内积，则（1），（2），（3） 其中，。定理2 设是酉（欧氏）空间的内积，则（1），（）。（2），柯西许瓦兹（CauchySchwarz）不等式（3）证

4、明 不妨设是酉空间。（1）。（2）时显然，不妨设，考虑 取，则 所以 （3） ，由柯西许瓦兹不等式，即得 所以 三、内积在基下的矩阵线性空间中，向量是由一个基唯一线性表示的，而内积是两个向量的运算，所以我们自然要讨论欧氏（酉）空间中内积与基的关系。定义3：设为欧氏（酉）空间的基，则称为内积在基下的矩阵，也称度量矩阵，其中。定理3设为酉空间的基，则（1） 内积在基下的矩阵是埃尔米特矩阵，即。（2），其中，。（3）均有。证明 （1） 由于，故。（2） 设，由定理1有 （3），所以。在欧氏空间中，由定理3可得类似结论。推论2 设为欧氏空间的基，则（1） 内积在基下的矩阵是实对称阵，即。（2），其中，

5、。例7 ，定义，则为欧氏空间，求内积在基下的矩阵。解 ， ，因为是实对称阵，所以。定理4 设欧氏（酉）空间的内积在两组基和下的矩阵分别为，且 ，则，即与合同。证明：设 ，则=所以 故由定理3有 所以 2.2向量的正交与标准正交基一、向量的正交与标准正交基定义1 设为欧氏（酉）空间，如果，则称向量与正交，记为。在一个线性空间中，如果定义了两个不同的内积，得到两个欧氏（酉）空间，则向量在这两个欧氏（酉）空间的正交性不一定相同，如下例。例1在中定义内积，得欧氏空间，定义内积，得欧氏空间，取，则在中，在中与不正交。定义1 设为欧氏（酉）空间，是中非零向量组，如果两两正交，则称是正交向量组。若是正交向量

6、组且都是单位向量（即），则称是标准正交向量组。定理1 正交向量组是线性无关向量组。证明 设是正交向量组，令，则因为 所以 故线性无关。定义2 若为欧氏（酉）空间的基且为标准正交向量组，则称为标准正交基。定义3 设，若()，则称为酉矩阵（正交阵），全体阶酉（正交）矩阵构成的集合记为。下列为酉矩阵的简单性质，设，则1. 2. 3. 4. 证明 ，即 ，5. 的特征值模为1，即。证明 设是的特征值，则存在，使得，所以即 ， 6. 、和的列分别构成的标准正交基。证明 只证的列构成的标准正交基，其余类似。设，由得所以 定理2 设为酉（欧氏）空间的标准正交基，则内积在基下的矩阵为单位阵，从而内积，其中分别

7、为在基下的坐标。证明 设，因为所以，所以由2.1定理3得定理3 酉（欧氏）空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉（正交）矩阵。证明 不妨设是酉空间，设，是的两个标准正交基，为由到的过渡矩阵。由2.1定理4知内积在这两个基下的矩阵合同，又由本节定理2知内积在基下的矩阵为单位阵，故有，即，为酉矩阵。推论1 设是酉（欧氏）空间，是的两个标准正交基，为由到的过渡矩阵，在、下的坐标分别是，则。证明 由1.3定理1及为酉（正交）矩阵即得。二、向量的正交化由本节定理2、定理3知道酉（欧氏）空间中的基用标准正交基，则向量的内积表达和向量的坐标转换较为方便，而酉（欧氏）空间中的基与标准正交基是等价的，下面讨

8、论如何从的一个基出发，求出的标准正交基，即向量正交化问题。定理4 （Schmidt正交化）设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在正交向量组，且使得，其中为单位上三角阵（单位上三角阵：对角线元素都是1的上三角阵；：中秩为的矩阵全体）。证明 令 不难证明是中正交向量组。而 所以 。推论2 设是酉（欧氏）空间的线性无关向量组，则在中存在标准正交向量组，且使得，其中为正线上三角阵（正线上三角阵：对角线元素都是正数的上三角阵）。证明 由上述定理4将正交化，得中正交向量组，且，其中。令（单位化）则是中标准正交向量组。因为所以 定理4及推论2给出了将酉（欧氏）空间的基化为标准正交基的方法，分为两个步

9、骤。第一步：将 用Schmidt正交化方法正交化，得的正交基。第二步：将单位化，即令，则是标准正交基。例2 在定义，求的一个标准正交基。解 是的基，将正交化，得将标准化，得则是的标准正交基。一般我们有是的标准正交基，而 其中称为勒让得(Legendre)多项式。例3 设，求的标准正交基。解 因为线性无关，线性相关，所以是的基，将正交化，得将标准化，得则是的标准正交基。2.3 正交子空间一、子空间的正交定义1 设是酉（欧氏）空间的子空间，如果均有，则称向量与子空间正交，记为。定义2 设都是酉（欧氏）空间的子空间，如果，均有，则称子空间正交，记为。例1 设酉（欧氏）空间，是的标准正交基，则，定理1

10、 设是正交子空间，则（1）（2）证明 （1），由，所以。（2）由子空间维数定理及（1）即得。定理2 设，则。证明 设。充分性 ，因为，所以，即得。必要性 ，。，设其中，则即 推论1 设，则。二、正交子空间的和由第一章我们知道维线性空间可以分解为一些子空间的直和，而由本节定理1得正交子空间的和是直和，所以下面讨论酉（欧氏）空间分解为正交子空间和的问题。定义3 设都是酉（欧氏）空间的子空间，若且，则称是的正交补子空间，记或。定理3 设，则，且。证明 ，则，使得，而，有，所以即。因为 所以，又由1.4定理7得。推论2设，则，且。证明 将定理3中的换为即可得证。在第一章中知线性空间直和分解不唯一，但酉

11、（欧氏）空间的正交分解唯一。定理4设是酉（欧氏）空间的子空间，则存在唯一的，使得。 证明 设是的标准正交基，将扩充为的标准正交基取，则且假设存在的子空间，使得且，又设是的基，则由1.4定理7知是的基。，因为，所以，使得因为，是的标准正交基及，故所以即有，又因为所以，即唯一。注：定理4实际上也给出了正交补子空间的求法，但取正交基也可证明。例2 设，求的正交补空间使得。解 将扩充为的基，其中取，将用施密特正交化方法化为的正交基则，。定理5 设都是酉（欧氏）空间的子空间，则（1）（2）证明（1），即有，取，同理，故，所以，即得。反之，则，所以，得，故。（2）证明与（1）相似，略。2.4酉（正交）变换

12、、正交投影一、酉（正交）变换物理学和一些工程学科中常用到酉（正交）变换（也称保距变换），例如三维空间中的刚体运动等。定义1 设是酉（欧氏）空间的变换，如果，均有则称是的酉（正交）变换。例1 设，其中且，则是的酉变换。证明 ，有所以是酉变换，其中是酉阵。在上例中称为豪斯何尔德镜象变换。定理1 酉（正交）变换是线性变换。证明 设是的酉（正交）变换，则，有 所以。而，有即，所以为线性变换。 定理2设是酉（欧氏）空间的线性变换，则下列命题等价。（1） 为酉变换。（2） 。（3） 若是的标准正交基，则也是的标准正交基。（4） 在的任一标准正交基下的矩阵是酉（正交）矩阵。证明 显然。 因为而由 即得 （*

13、）在（*）式中将换为（）即得 （*）（*）、（*）两式相加得 ，所以也是的标准正交基。 ，而所以 即也是标准正交基到标准正交基的过渡矩阵，由2.2定理3知为酉（正交）矩阵。 设是的标准正交基，为酉（正交）矩阵。，使得，则由于内积在标准正交基下的矩阵为单位阵，故有所以 推论1 设为阶酉（正交）矩阵，则为的酉（正交）变换。证明 。二、正交投影酉（欧氏）空间可以分解为两个互为正交补空间的和且分解唯一，即设且，则有，与对应，与对应，。这样，就可以把解析几何中的向量投影概念推广到酉（欧氏）空间中。定义2 设酉（欧氏）空间，是的变换，若，有，则称为到的正交投影，记为。性质1 正交投影是线性变换。证明 设是

14、酉（欧氏）空间到的正交投影，。由定义2得，使得，而所以有，即又由于，有，故所以是线性变换。性质2设是酉（欧氏）空间到的正交投影，则。证明 设，则，使得，因为，所以。定理3设是酉空间到的正交投影，是的标准正交基，是的标准正交基，记，则。证明 记，则，所以即，有而所以由的任意性得又因为所以在定理3中看到的正交投影可以用矩阵表示，这个矩阵以后我们也称为正交投影，也记作，例如定理3中可以记。例2 是欧氏空间的正交投影。证明 ，所以是正交投影。定理4 阶矩阵为酉空间正交投影的充分必要条件是。证明 充分性 因为， ，则由于，有所以，即为的正交投影。（在上述证明中，由于为幂等阵，易证）必要性 设是到的正交投影，则,因为，有，故，由的任意性知。因为，所以，而由的任意性得 ，即所以 习 题 二1. 设是数域上线性空间的基，在中定义，其中，,，验证是否为酉空