第六章二次型

1、6.3 基本内容6.3.1 二次型及其矩阵形式(1) 定义 n变量的二次齐次函数 (其中R)，称为n个变量的二次型。注 若（）则称f为标准型。(1) 矩阵形式 其中，这里，即A为实对称矩阵。注1 实对阵矩阵A成为二次型f的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。注2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。注3标准型的矩阵是对角阵。6.3.2 与二次型的标准型有关的概念(1) 满秩线形变换设可逆，则称x=Py为由到的满秩线形变换。注 若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。(2) 合同矩阵设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C，使 则

2、A合同与B，C为合同变换阵。注1 若C为正交阵，满足，A与B既合同，又相似。注2 合同矩阵秩相等。注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。(3) 对任一个二次型，总可以通过满秩线形变换x=Py化为 成为f的标准型。其中r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。注1 f的标准型矩阵D=与f的矩阵A合同。注2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。注3 当时的标准型成为f的规范型。其形式为，二次型的规范形是唯一的。(4) 惯性律对一个二次型，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方项前正系数个数p和负系数个数r-p都是唯一确定的，称p为二次

3、型的正惯性指数，r-p为负惯性指数（其中r为A的秩），而p-（r-p）称为符号差。注 两个n个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。6.3.3 化二次型为标准型的方法(1) 配方法 对二次型 从左边先找出一个系数不为零的平方项，把所有包含的项集中在一起，配成完全平方的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项，同样把所有包含的项集中到一起，配成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注 若二次型，但，则可先做满秩变换 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2) 正交变换法 对二次型，由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总

4、可找到正交阵Q，使=diag（所以由正交变换x=Qy，可得 注 用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。 6.3.4 正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意n维非零向量x，若恒有，则称f为正定二次型，f的矩阵A称为正定矩阵，记作A0。 注1 正定矩阵必是对称阵 注2 若对任意，有，且存在，使，则称f或A为半正定，记作A0，类似地可以定义f或A为负定或半负定。 6.3.5 正定矩阵的判别方法 设A为n阶实对称阵。(1) 若A的正惯性指数等于n，则A正定。(2) 若A的特征值全是正的，则A正定。(3) 若A的各阶前主子式均大于零

5、，则A正定。(4) 若A合同于单位阵，即（C为可逆阵），则A正定。(5) 用正定的定义，即，则A正定。 注1 上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。 注2 n阶矩阵A=的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 共有n个。 注3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若，则A负定。 6.3.6 正定矩阵的有关结论 (1) A正定，则 注 这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。 (2) A正定，则（m为正整数）均为正定矩阵。 (3) A，B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。6.4 典型例题分析1）用正交变换化二次

6、型为标准型问题（1）对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使（为对角阵）。（2）对二次型，求正交矩阵Q，使（为对角阵），则当时，有为标准型。方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为：（1）求出A的所有特征值；（2）对重特征值，将的基础解系正交化；（3）将n个正交的特征向量标准化得；则即为所求，例1 设（1）将A对角化。（2）求一个正交变换，使二次型为标准型。解（1）求出A的特征值：特征值为，。对，解方程组即得线性无关的特征向量为，将它们正交化得对，解方程组，即得到一个线性无关的特征向量由于必与正交，故将单位化，得，令，则Q为正交阵，且有，即其中。（2）的矩阵恰为A，故由（1）的计算可得正交变换，则 注1 实对

7、称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的，所以本题中属于的特征向量与的特征向量已正交，只需将其标准化即可。注2 特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）的取法是不唯一的，所以正交矩阵Q不唯一。注3 在构成正交矩阵Q时，标准正交向量的顺序是可变的，只要在对角阵中的位置与在Q中的位置相同即可。注4 用正交变换将二次型化为标准型，标准型的平方项系数恰为二次型矩阵的特征值，但用一般可逆变换时，这个结果不成立。2）用配方方法化二次型为标准型 例2 用配方法化下列二次型 （1） （2）为标准形，并求出所用得非退化线性变换。 解 (1) 令 ，则，即 ，使 (2) 令，即，则 令，即，即，于是，使 3)与二次

8、型的标准形有关的问题例3 已知二次型的秩为2，求参数c，并指出表示何种曲面。解故对应的矩阵为由已知得r（A）=2，所以故c=3。下面求A的特征值。由，得A的特征值为0，4，9，则必有正交变换将二次型化为标准形，故，即为表示椭圆柱面。例4 对二次型分别作下列三个可逆线性变换，求新二次型(1),(2) ,(3) 解 (1)解法一 将线性关系直接代入解法二 f的矩阵为，设线性变换矩阵为P，则 (2) 故。 (3) 故。注1 可以对一个二次型作不同的可逆线性变换，但如(3)那样并不是任意一个不可逆变换都可使二次型化为标准形。注2 二次型经可逆变换化为标准形，相当于二次型矩阵经合同变换化为对角阵。注3

9、二次型的标准形不是唯一的，如(1)与(2)的结果都是f的标准形，但标准形中具有的非零系数及正系数的平方项的项数是分别相同的，这需要特别注意。例5 设二次型通过正交变换化为标准形。(1)求常数a,b；(2)若，证明f的值不超过6；(3)求f的规范形及正，负惯性指数。解 (1) 二次型及其对应的标准形的矩阵分别为因为A与B相似，所以A，B有相同的特征值，可得即，所以。由，所以。故 (2)若，则必有，从而 (3)作线性变换，则得f的规范形为其正惯性指数为2，负惯性指数为1，符号差为。例6 若实对称矩阵A的秩为，符号差为，证明：与奇偶性相同，且。证 设A的正惯性指数为，则符号差，即因为为偶数，故与同奇

10、偶。又，所以于是有，即4)正定矩阵的判别与证明例7 判别下列二次型是否正定。(1);(2)(3)解 (1)因为，故不是正定二次型。 (2) 对应的矩阵为A的各阶顺序主子式只有同时成立时，正定，否则不正定。解上述不等式组，得到，即当时，正定。 (3) 对应的矩阵为经计算，A的任意k阶顺序主子式，所以正定。例8 设，其中为实数。求对角阵，使与相似，并问为何值时，为正定阵。解 因为是实对称阵，所以即也为实对称矩阵，从而一定相似于对角阵。易求得的特征值为，从而的特征值为。取对角阵则与相似。实对称阵当且仅当特征值全为正数时为正定阵，所以，当且时，正定。例9 已知A为n阶实对称阵，且满足，证明A为正定矩阵

11、。证 设是A的特征值，因为，所以有即，故或或即A的特征值都大于零，故A正定。例10 （1）设A为n阶正定阵，为n阶半正定阵，试证AB为正定阵。 （2）设A，B分别为m和n阶正定阵，试证为正定阵。证 （1），因为A正定，B半正定，所以有从而得证 AB正定。（2）证法一 （利用顺序主子式）设A、B的各阶前主子式为，则的各阶顺序主子式为因为A、B皆正定，故由。于是，友显然C为实对称阵，故C正定。证法二 （利用特征值）设，则C的特征多项式为。可见A的特征值，B的特征值均为C的特征值，所以C的全部特征值为，。由A，B的正定性知，故C的所有特征知皆正，又C为实对称阵，所以C正定。证法三 （用定义）设，若，

12、则有或，于是且C为实对称阵，故C正定。注1 要证明某个矩阵正定，首先要说明该矩阵是是对称阵。注2 本例（2）中列举方法是证明矩阵正定的几种基本方法。注3 若直接证明一个矩阵是正定矩阵又困难时，可以转化为证明对应的二次型时正定二次型，此时往往可用定义，某些情况下这时较为简单的方法，本例（1）就是。例11 设n阶实矩阵A满足，试证为正定矩阵。证 设，则故B是实对称阵。对任一非零向量，有由，即，可得可逆，故。所以有故B即正定。注 本题也可用特征值可逆，证法如下：设是A的一个特征知，则必满足，于是，可知2不是A的特征值，故有，所以可逆。例12 证明：n阶矩阵A为正定矩阵的充要条件是存在n各线性无关的列

13、向量，使。证 必要型若A正定，则存在n阶可逆阵P，使，设P的n个列向量为，则由P的可逆性知线性无关，且充分性记，则由线性无关知P可逆，故对任一，有。从而所以A正定。例13设A为m阶实对称正定矩阵，B为实矩阵，证明：为正定矩阵的充要条件是。证 必要性证法一 因为正定，所以对任意，有据A的正定性可知，所以齐次线性方程组只有零解，故。证法二 因为正定。故，又故。证法三 因为正定，故，于是齐次线性方程组只有零解，又齐次线性方程组的解都是的解，从而只有零解，故。充分性由于，故为实对称阵。若，则齐次线性方程组只有零解，所以对任意非零n维向量，有，则有A的正定性知由定义知正定。5）利用二次型的知识解决其他问

14、题例14 设A是n阶正定阵，证明：。证 设是A的特征值，则由A正定知。证法一 因为的特征值为。由，知，所以。证法二 由A正定知A必对称，故存在正交阵Q，使得因此，例15 设A、B均为n阶实对称阵，且A的特征值均大a ，B的特征值均大于b，试证AB的特征值全大于。证 设A的特征值是，则的特征值为，由得。又，故对称，所以为正定矩阵。同理可证明为正定矩阵。由正定矩阵的和仍正定，得为正定矩阵，设的特征值为。则的特征值为，故，即。例16 设是一实二次型，是A的特征值，且。证明：对任一实n维向量，有。证 对实二次型，总存在正交变换，使由题设知又因Q为正交阵，故有。所以例17设A为n阶实对称阵，试证：如果A是正定阵又是正交矩阵，则。证 证法一因为A为n阶实对称阵，