固体物理参考答案(前七章)

1、固体物理习题参考答案（部分）第一章 晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na+，Cl- 金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢 ， 晶胞基矢 2. 解：h:k;l;m=1:1:-2:1 所以（1 1 1）同样可得：（1 1 0）； ：（1 0 0）；：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a，Z=1, 体心立方：面心立方：六角密集：2r=a, ,金刚石：4. 解： 5. 解：对于（110）面： 所包含的原子个数为2，所以面密度为 对于（111）面： 所包含的原子个数为2，所以面密度为8.证明：ABCD是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=

2、AB=a。第二层球的球心F正对着E点，同时和球心在A,B,DDE 三个球相切。 故 且有 第二章 晶体中的衍射1. 证明：选体心立方点阵的初基矢量：其中a是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积 根据计算倒易点阵矢量 于是有： 显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞的边长 同理，对面心立方点阵写出初基矢量初基晶胞体积 同上计算可得倒易点阵矢量显然正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，立方晶胞的边长2. 证明：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴 上的截距分别是，。该平面法线方

3、向的单位矢量是， 这里d是原点到该平面的垂直距离，即面间距。 由得到 故 3.解：六角密集结构的原胞基矢 初级晶胞体积为 Vc=倒易点阵初基基矢为5. 解：几何结构因子： 讨论：1当mh,mk,ml均为偶时, 2当mh,mk,ml均为奇时, 3其他情况F为0，I也为0。6. 解：金刚石结构晶胞中含8个原子，坐标为（0，0，0） （，） （，0） （，0，）（0，） （，） （，） （，）所以几何结构因子为： 8. 解：根据 面心立方倒格基矢为 倒格矢为 则 第三章 晶体的结合1.证明：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子链，选定一个负离子为参考离子，这样在求和中对正离子取正号，对负离子

4、取负号。用r表示相邻离子间的距离，于是 前面的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，马德隆常数为 利用下面的展开式 计算这个级数之和。令x=1，则有 于是一维离子链的马德隆常数为 2. 解： 根据 a=2r 于是有 所以可得 3. 解： 根据 可得 4. 解：当时，是氯化铯结构; 时，配位数小于8，形成氯化钠结构；时，配位数小于6，则形成闪锌矿结构。RbCl: 氯化铯结构 AgBr: 氯化钠结构 BeS： 闪锌矿结构 5. 解： 因为Xe元素形成面心立方晶体所以 由N个惰性气体原子组成的分子晶体的总内能可表示成 所以 晶体晶格常数 因为 由此得所以 在弹性形变情况下，体积的相对变化率因此，由于

5、是有因为所以所以 同样可得 补充题2. 一维离子链，其上等间距载有正负2N个离子，设离子间的排斥势能是出现在最近邻离子间且为 ，b,n是常数，R是最近邻距离，设离子电荷为q(1) 写出离子间的总作用势能？(2) 证平衡原子间距满足(3) 晶体压缩使晶体被压缩过程中外力做功（只考虑二次项）表达式。(4) 压缩使 所需要的外力？ 解：（1） 因为 所以 （2） 根据平衡时 即 所以平衡时带入U中可得： （3） (4) 第四章 晶体振动和晶体的热学性质1. 解：第m个原子对第n个原子的力为： 第n个原子受到的总力为： 设试解具有的波动形式 第n个原子的运动方程可写为： 代入试解后得 所以可解得 2.

6、 解：原子2n的运动方程为： 原子2n+1的运动方程为： 设两方程的试解为： 代人运动方程得： 有解条件，系数行列式为0 解得： 2. 解：单位波矢区间对应有 个模式,dq区间内有个振动模式.单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度,根据这一定义可得模式密度为由一维色散关系: 得 将上式代入前式得 5. 解：模式密度：（推导参考教材P78, 4.7.20） 每个谐振子的零点振动能为，各声频支的零点振动能：补充题：1. 设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为m,间距为a,原子互作用可写成由简谐近似求：（1）色散关系 (2)模式密度 （3）晶格热容（列出积分式）解： （1） 第n个原子的受到的总合

7、力 设 代入运动方程，得 由此得色散关系 （2） 单位波矢区对应有个模式，dq区间内有 个振动。所以模式密度为：又因为 所以 （3） 因为 则 2. 对一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。解：按照德拜模型，格波的色散关系为。有色散曲线的对称性得，区间对应两个同样大小的波矢区间dq。区间对应个振动模式，单位波矢区间对应有个振动模式。范围则包含 个振动模式。单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据这一定义可得模式密度为 再利用，式中N为原子总数，a为晶格常数，得根据固体物理教程（3.119）式得其热容量 作变量变换 ,得 ，其中 .在高位时，x是小量，上式中被积函数 。

8、因此，晶格的高温热容量 .在甚低温时，中的被积函数按二项式定理展成级数 。则积分 。由此得到低温时晶格的热容量 3对二维简单格子，按德拜模型，求出晶格热容，并讨论高低温极限。解：德拜模型考虑的格波是弹性波，波速为v的格波的色散关系是.在二维波矢空间内，格波的等频线是一个个圆周。在q（q+dq）区间内波速为v的格波数目 式中S是二维晶格的总面积。由此可得波速为v的格波的模式密度 .考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以格波总的模式密度 ，式中 ,其中是纵波速度，是横波速度。格波的振动能 晶格的热容量 积分上限由下式 ,求出.由此得到 ，式中N为原子个数.作变量变换 ,晶格热容量 ，其

9、中 .当高温较高时，.可见德拜模型的高温热容与经典理论是一致的。当温度甚低时，. 积分，则有 ,式中 .由此可见，在甚低温下，二维晶格的热容量与温度T的平方成正比。4. 设某离子晶体中相邻两离子的相互作用势能 ，b为待定常数，平衡间距，求线膨胀系数.解：线膨胀系数可近似表示为 .式中 ， .由平衡条件 .得 于是 ，.将以上结果及下列数据： 代入的表示式，得 5. 证明晶体自由能的经典极限为 .解：晶体自由能为 在经典极限时，因而有 ， .将此两式代入F的表示式，便得 .6. 按照爱因斯坦模型，求出单原子晶体的熵，并求出高低温极限情况下的表达式。解：晶体自由能为 利用熵S与自由能F的关系 ,可

10、得 .设单原子晶体有N个原子，按照爱因斯坦模型，有 ,于是 .再引入爱因斯坦特征温度，即 ，并作变量变换 ,则进一步得到 在高温时，可得 在甚低温时， ， ，可得 .从高低温极限可以看出，温度越低晶格系统的熵越小，当温度趋于0K时，晶格系统的熵趋于0.这些结论与经典理论一致。7. 试用德拜模型，求T=0K时，晶格的零点振动能。解：频率为的零点振动能为，因此晶格总的零点振动能为。根据德拜模型，对三维晶体有 ，因此 再利用 ,又可得 8. 设固体的熔点对应原子的振幅等于原子间距a的10%的振动，推证，对于一维简单晶格，接近熔点时原子的振动频率 , 其中M是原子质量。解：当质量为M的原子以频率及等于

11、原子间距a的10%的振幅振动时其振动能为 。在熔点时，原子的能量可按能量均分定理，即一个一维原子的平均能量为，于是有 .由此得 .9. 设三维晶格一支光学波在q=0附近，色散关系为，证明该长光学波的模式密度 .解法一：由固体物理教程（3.117）式可知，第支格波的模式密度 ，其中是第支格波的等频面.因为已知光学波在q=0附近的等频面是一球面， ，所以 .解法二： 考虑q空间中的无穷小间隔dq，与此对应的频率间隔为d，设D（），D（q）分别表示单位频率间隔内和单位波矢间隔内的振动方式数，由这两种间隔内所含的振动方式数相等得 由固体物理教程（3.36）式知 ，及在q=0附近 由以上诸式得第五章 晶

12、体中的缺陷2. 解：根据 铜： 硅： 3. 解： 如果每秒跳一次需要108秒。 若每次总向前一步，同样这么多次跳跃，粒子能走 补充题1. 试推导夫仑克尔缺陷的统计数目： n, N，分别为夫仑克尔缺陷数目，晶体中原子的数目，间隙原子数目。 解： 夫仑克尔缺陷中空位和间隙原子成对出现,因此间隙原子也是n,这n个间隙原子排列在N个间隙位置的可能方式为： 这样,从N 个格点上取出 n个原子并把它们排列在 个间隙位置上总的方式数目为： 由此引起的熵的增加为： 利用斯特令公式上式化为： 系统总的自由能变化为： 由热平衡时自由能极小条件 得：考虑到 ,故得 补充题：试推导肖脱基缺陷的统计数目解：设晶体由N个

13、原子组成,在晶体中产生n(nN)个空位的方式数目由此引起的熵的增加为 系统总的自由能的变化为 利用斯特令公式上式化为：由热平衡时自由能极小条件得： 考虑到, 最后得萧脱基缺陷数目第六章 1. 导出一维和二维自由电子气的能态密度。解： 一维： k空间每个状态的代表点占有的体积为: K 空间单位体积中含有代表点的数目等于： 个 得到能量 E 到 E+dE 之间的状态数（含自旋态）为: 二维： 在k空间每个状态的代表点占有的面积为:K 空间单位面积中含有代表点的数目等于：其中的状态数目（含自旋态）为：利用关系式得到能量 E 到 E+dE 之间的状态数（含自旋态）为2. 若二维电子气密度为 ，证明它的化学势为 解： 电子气密度 令 则 既可得 5. 银是一价金属，在T=295K时，银的电阻率，在T=20K时，电阻率。求在低温和室温时电子的自由程。银的原子量为107.87，密度为10.5g/cm3。解：单位体积内银的自由电子数为 T=0K时，费米能量为 T=20K时 费米能为同理，T=295K时， 由 得 ， 则 ，T=20K时，自由程为T=295K时，自由程为第七章 周期场中的电子态1. 一维周期场中电子的波函数应满足布洛赫定理。若晶格常数是a,电子的波函数为（1） （2） （