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文档简介

1、.第二课时 函数 一、 经典例题剖析考点一:函数的性质与图象例1设a0,求函数(x(0,))的单调区间分析:欲求函数的单调区间,则须解不等式(递增)及(递减)。解:当a0,x0时f (x)0x2(2a4)xa20,f (x)0x2(2a4)xa20()当a 1时,对所有x 0,有x2(2a4)xa20,即f (x)0,此时f(x)在(0,)内单调递增()当a1时,对x1,有x2(2a4)xa20,即f (x)0,此时f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递增又知函数f(x)在x1处连续,因此,函数f(x)在(0,)内单调递增()当0a1时,令f (x)0,即x2(2a4)xa20,解

2、得,或因此,函数f(x)在区间内单调递增,在区间内也单调递增令f (x)0,即x2(2a4)xa2 0,解得 因此,函数f(x)在区间内单调递减点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 例2 已知,函数。设,记曲线在点处的切线为。()求的方程;()设与轴交点为。证明: ; 若,则()分析:欲求切线l的方程,则须求出它的斜率,根据切线斜率的几何意义便不难发现,问题归结为求曲线在点的一阶导数值。解:求的导数:,由此得切线的方程:。()分析:要求的变化范围,则须找到使产生变化的原因,显然,变化的根本原因可归结为的变化,因此,找到与的等量关系式,就成; 欲比较与

3、的大小关系,判断它们的差的符号即可。 证:依题意,切线方程中令y0,.由.。点评:本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法,考查不等式的基本性质,以及分析和解决问题的能力。例3、 函数y1的图象是( )解析一:该题考查对f(x)图象以及对坐标平移公式的理解,将函数y的图形变形到y,即向右平移一个单位,再变形到y即将前面图形沿x轴翻转,再变形到y1,从而得到答案B.解析二:可利用特殊值法,取x0,此时y1,取x2,此时y0.因此选B.答案:B点评:1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归

4、为所确定的标准模型。考点二:二次函数例设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式. 证明:由题意可知., , 当时,.又, ,综上可知,所给问题获证. 点评:本题主要利用函数与方程根的关系,写出二次函数的零点式。例5 已知二次函数,设方程的两个实数根为和. (1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,求的取值范围.分析:条件实际上给出了的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解:设,则的二根为和.(1)由及,可得 ,即,即 两式相加得,所以,;(2)由, 可得 .又

5、,所以同号. ,等价于或,即 或解之得 或.点评:在处理一元二次方程根的问题时,考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。考点三:抽象函数(一) 函数性质法(二 )特殊化方法1、在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成x等2、在求函数值时,可用特殊值代入3、研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题的解答提供思路和方法.例6、设f(x)是定义在(0,)上的增函数,且对任意的x,y(0,),都有f(xy)f(x)f(y)。(1)求证:当x(1,)时,f(x)0;且f()f(x)f(y).(2)若f(2)1,解不等式f(x2

6、)f(2x)2.分析:由f(xy)f(x)(y),不难想到f(x)应为对数函数形式,所以f(1)0,由题意条件,f(x)为增函数,据此不难求解。解:(1)令xy1,则由f(xy)f(x)f(y)得f(11)f(1)f(1).即f(1)2f(1),f(1)0,又由于函数f(x)在(0,)上为增函数,所以对任意x(1,),有f(x)f(1)0,故f(x)0.设x,y(0,),则有 (0,),于是f(x)f(y) f( ) f(y),即f()f(x)f(y).(2)由于f(2)1,所以ff(2)f(2)f(22)f(4),由f(x2)f(2x)2,f(x2)f(2x)f(4), f(x2)f(8x)

7、,又因为函数f(x)在(0,)上为增函数,所以x28x,因x(0,)所以 0x . 考点四:函数的综合应用例7设函数()求的最小值;()若对恒成立,求实数的取值范围解:(),当时,取最小值,即()令,由得,(不合题意,舍去)当变化时,的变化情况如下表:t10递增极大值1m递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立,即等价于,所以的取值范围为点评:本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力 例8甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米

8、时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数,并指出函数的定义域; 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值.解:(读题)由主要关系:运输总成本每小时运输成本时间,(建模)有y(abv)(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数关系式是:yS(bv),其中函数的定义域是v(0,c .整理函数有yS(bv)S(v),由函数yx (k0)的单调性而得:当c时,则v时,y取最小值;当c时,则vc时,y取最小值.综上所述,为使全

9、程成本y最小,当c时,行驶速度应为v;当c时,行驶速度应为vc.二、 强化训练(一) 选择题1.函数y2x1(x0)的反函数是( )A.ylog2,x(1,2)B.y1og2,x(1,2)C.ylog2,x(1,2D.y1og2,x(1,22.已知是上的减函数,那么的取值范围是(A) (B) (C)(D)3.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间上的任意,恒成立”的只有(A)(B) (C)(D)4.已知是周期为2的奇函数,当时,设则(A)(B)(C)(D)5.函数的定义域是A. B. C. D. 6、下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. B. C. D. 7、函数的反函数的图像

10、与轴交于点(如右图所示),则方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.18、设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是 (A)是奇函数 (B)是奇函数 (C) 是偶函数 (D) 是偶函数9、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,则A BC D10、设(A)0 (B)1 (C)2 (D)311、对a,bR,记maxa,b,函数f(x)max|x1|,|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)312、关于的方程,给出下列四个命题:存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数,使得方程恰有5个不同的实根;存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;其

11、中假命题的个数是A0 B1 C2 D3(二) 填空题13.函数对于任意实数满足条件,若则_。14.设则_15.已知函数,若为奇函数,则_。16. 设,函数有最小值,则不等式的解集为 。(三) 解答题17. 设函数.(1)在区间上画出函数的图像;(2)设集合. 试判断集合和之间的关系,并给出证明;(3)当时,求证:在区间上,的图像位于函数图像的上方. 18、已知函数f(x)x22ax2,x5,5(I)当a1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(II)求实数a的取值范围,使yf(x)在区间5,5上是单调函数.19. 已知定义域为的函数是奇函数。()求的值;()若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围

12、;20.设函数f(x)其中a为实数.()若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;()当f(x)的定义域为R时,求f(x)的单减区间.21. 已知定义在正实数集上的函数,其中设两曲线,有公共点,且在该点处的切线相同(I)用表示,并求的最大值;(II)求证:()22. 已知函数,是方程f(x)0的两个根,是f(x)的导数;设,(n1,2,) (1)求的值; (2)证明:对任意的正整数n,都有a;(3)记(n1,2,),求数列bn的前n项和Sn。解答:一、选择题1解:找到原函数的定义域和值域,x0,),y(1,2)又原函数的值域是反函数的定义域,反函数的定义域x(1,2),C、D不对而1x2,0x1

13、1,1又log20,即y0A正确2解:依题意,有0a1且3a10,解得0a,又当x7a1,当x1时,logax11 |x1x2|故选A4解:已知是周期为2的奇函数,当时,设,0,选D.5解:由,故选B.6解:B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.7解:的根是2,故选C8解:A中则,即函数为偶函数,B中,此时与的关系不能确定,即函数的奇偶性不确定,C中,即函数为奇函数,D中,即函数为偶函数,故选择答案D。9解:函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以是的反函数,即, ,选D.10解:f(f(2)f(1)2,选C11解:

14、当x1时,|x1|x1,|x2|2x,因为(x1)(2x)3x1;当1x时,|x1|x1,|x2|2x,因为(x1)(2x)2x10,x12x;当xx2;故据此求得最小值为。选C12解:关于x的方程可化为(1)或(1x1,所以不等式可化为x11,即x2.三、解答题17解:(1) (2)方程的解分别是和,由于在和上单调递减,在和上单调递增,因此. 由于. (3)解法一 当时,. , . 又, 当,即时,取, . , 则. 当,即时,取, . 由 、可知,当时,. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方. 解法二 当时,.由 得, 令 ,解得 或, 在区间上,当时,的图像与函数的图像只交于一点;

15、 当时,的图像与函数的图像没有交点. 如图可知,由于直线过点,当时,直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此,在区间上,的图像位于函数图像的上方. 18解:(I)当a1时,f(x)x22x2(x1)21,x5,5x1时,f(x)的最小值为1x5时,f(x)的最大值为37(II)函数f(x)(xa)22a2图象的对称轴为xaf(x)在区间5,5上是单调函数a5或a5故a的取值范围是a5或a5.19解:()因为是奇函数,所以0,即 又由f(1) f(1)知 ()解法一:由()知,易知在上为减函数。又因是奇函数,从而不等式: 等价于,因为减函数,由上式推得:即对一切有:,从而判别式解法二:由()知又由题设条件得:,即:,整理得上式对一切均成立,从而判别式20解:()的定义域为,恒成立,即当时的定义域为()

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