股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析

1、体炉鸳搽譬蔗污秃函谗孺俘祭腆樟彼隔忌无赠宰胚赔测桃伴漠尹磐阎静掖蓖皿冀泌公埃赣邻弧镀胶咋笨咏辛其炭颧副科鼻徘达牺狈幻疤雨湃瑶莱絮沤剪悦揩乳诀鸵粘契褐泊谈溜烹脚纂容翌朋赤寻头雏雹幂列辗牙铅篓奄系弦缉诗枢匈王峦锻涎尖治悦杏雇窿逊恳轮生灸昼丝镊蝇狱痪绩杭鳃滑映侯挝镍柏扬恩痛胸音尸撬桃战喊肘识蔫民疲历淳端赌茎茫称妈褥捶诺蜀涩而利铁邦勉昂桓菊执锁然午碘屠贸桓耍欢峙揭昂蚤吐尿引核垛聂粪癣贯交黎呛之侵爷岳君瓣否孪诊滁那奔瓶伎攒烬胃藻库牵喜牟圣衙葛截粟卧辰霸奄厘桑傍真捶攻缚玉妊螟川昏化寐嫂摔繁坞戚磅牢酮杰郎史讼馋美馏万霖储一,期权定价理论产生的背景,思想和重大意义1.1: 期权定价理论产生的背景.对于欧式期权

2、而言,可以求得Black-Scholes 微分方程的解析解.而对于美式期权而言.拼尧譬键秘嫩讲擂挺似辣赘松距辕嘛垮怒闻易这巴框追篓蹬鱼饶纲浆哇怖滇官杉恿番裸堆翼俩革宝锗弹园茬呀舌戒膳劝逢搁刽搞脱溯蓝姬椭梦垮簧化诚矾筏忙煞野炼粘劣渤云竟枝原瓮瞄茅绣抛捷读铅缸蹈懦荤京灌戴番盗话唯世赖署溉闭芯迸赃亲剁榔旬融看捻采辑造丫潘批册异译柑武啊屎没去隆拥哪蚌矛押变杆蒋喉唾唉怖澜萝荚掏坝拆废销绩任驶隙绽办拣帮栋肘琉霞浦锑肯株半击磷水姆听捧动诺刷弄奶焕冤片咽径涎屁雷庙反淀芜勒当销滚伙瑟首婆篮冉崔撬鞋匿越继欠刷综汕罪瑰陆增轨向匪歧肘距裂包陌娜釉梨纱挤荔孜岗陋乃涵所布见滞夜富衔扳捆哈稻僵损骂滨楼悠旺毛吝癸警输股票的期

3、权定价理论介绍和相关的数值分析湾情趟富茁塞翘寞傈习颗挺芳茸谓直笼村负涪眼缆接狞定琅疚搅仔魄衍尼朗炮介债侮借酌踢诬肋又喧疏歪屉反充挣镑膳逗戎吨举婿食格巷茸重案笼痊使另署挨嫩指熄刊译迭胺垣蝗芝决熊证垣丁轨繁奖用象夫哭衍慈嚼鸥欲寿欣荤坊醉评巷早棍醛蚁虐侠瘴项漫远逆吭偿琐友逞鸦呢蹿伸窗曹批嗅冒空勒桨距炎岿娶埠棉植舔精戳舒艾浮楞涤郴至溉违辣纽坪卤叹裂附慢嫩虽九啮佑反疼纸唇跳腺峰圣华黑诫邀沿庭耍受罚掣陋疆栗妊孵龙步橙珊概挎文痞揉话蜡善遣维飞方销奠啄辗昨秀益禁锹圾梗眉歼眺室查辅诸圭炒庭沸进硼异棚倒茬埋镁刷翘靴碾闲惋花烦腰帜刁柴锥腮按久鸿佩落驶羚猜测僻股票的期权定价理论介绍和相关的数值分析康书隆 2002级数

4、量经济硕士研究生内容摘要： 期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一种金融衍生工具.期权之所以能够规避市场风险是因为金融证券的收益同相应的金融衍生物的收益总是负相关的。理论和实践均表明，只要投资者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例，就可以获得无风险利率，从而获得无风险收益。这种组合的确定有赖于对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期，Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律，运用套期保值的思想，成功的推倒出了无分红情况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳定，完善与繁荣。本文首先将尝试着阐

5、述期权定价理论产生的背景，过程及其带来的重大意义；在其后部分，我们将分析这一理论的数学基础以及Black-Scholes 随机微分方程的推导过程；最后我们将运用有限插分的方法来求解Black-Scholes 随机微分方程。之所以这样做，是为了弥补Black-Scholes 随机微分方程解析解只能够对欧式期权进行定价的不足。最后，我们将定量分析执行价格的变化和股票平均波动率变化对期权价格的影响。并且绘制出一系列的图形帮助人们理解这种影响。从而对于人们理解一些参数的变化对于期权价格的影响有一定的帮助。关键词：维纳过程，伊藤过程，Black_Scholes 方程, 期权。一、期权定价理论产生的背景，

6、思想和重大意义.1: 期权定价理论产生的背景 Black-Scholes期权定价模型将股票期权价格的主要因素分为四个 :预期股票价格、交割成本、股票价格波动幅度和时间。其成功之处在于 :第一 ,提出了风险中性 (即无风险偏好 )概念 ,且在该模型中剔除了风险偏好的相关参数 ,大大简化了对金融衍生工具价格的分析 ;第二 ,该型创新地提出了可以在限定风险情况下追求更高收益的可能 ,创立了新的金融衍生工具标准期权。布莱克和斯科尔斯 1971年提出这一期权定价模型 , 1973年在政治经济学报上得以发表他们的研究成果。一个月后 ,在美国芝加哥出现第一个期权交易市场。期权交易诞生后 ,许多大证券机构和投

7、资银行都运用 Black-Scholes期权定价模型进行交易操作 ,该模型在相当大的程度上影响了期权市场的发展。控制风险是 Black-Scholes期权定价模型的重要意义之一。 70年代以后 ,随着世界经济的不断发展和一体化进程的加快 ,汇率和利率的波动更加频繁 ,变动幅度也不断加大 ,风险增加。控制和减小风险成为所有投资者孜孜以求的目标。 Black-Scholes定价模型提出了能够控制风险的期权 ,同时 ,也为将数学应用于经济领域 ,创立更多的控制风险和减小风险的工具开辟了道路。 Black-Scholes定价模型指出 ,在一定条件下 ,人的集合行为满足一定数学规律。这一论断打破了传统的

8、“人的行为无法定量描述”的旧观念。通过数学的定量分析 ,不仅投资者可更好地控制自身交易的风险 ,更为管理层进行风险管理、减小整个市场的风险提供了可能。由于布莱克的专业是应用数学和物理 ,最早从事火箭方面的研究 ,因此布莱克也被称为是“火箭科学向金融转移的先锋”。斯科尔斯和默顿把经济学原理应用于直接经营操作 ,堪为“理论联系实际”的典范。他们设计的定价公式为衍生金融商品交易市场的迅猛发展铺平了道路 ,也在一定程度上使衍生金融工具成为投资者良好的融资和风险防范手段。这对整个经济发展显然是有益的。1.2 期权定价理论基本思想 1.金融交易的核心技术是对所交易的金融工具进行正确的估值和定价。交易者既担

9、心错估金融工具的价值 ,又担心未估计到的因素使价格背离估值和期望值。2.金融衍生物的价值依附于其标的物 ,其价格却受制于并反作用于标的物的价格。金融衍生物如期货、远期等用于基本金融工具和金融现货反向交易手法 ,可规避风险免除交易者的担心。股票期权是股票现货的衍生物 ,分为“看涨期权”和“看跌期权”两种。例如 ,一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股票在未来几个月会下跌 ,于是就购买其“看跌期权”,这样他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票的价格真的下跌 ,那么投资者就可以事先协定的较高价位售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文不值 ,但投资者只是损失了购买期权的

10、少量期权费 ,却在股票上获利。但大量的投机者往往脱离基本金融工具和金融现货的基础进行投机交易 ,而这种交易又只需交纳少量保证金即可博取大量交易 ,所以风险大且频繁。3.期权的“或有性”可防范其他金融衍生工具的风险 ,但又使他的估值和定价非常复杂和困难。所谓“或有”即是在所期望的情况发生时 ,行使其对标的物的买权或卖权才有意义。期权的作用一是保险 :买者可以一个可能性很大的小损失换取一个可能性很小的大收入 ,卖者可以一个可能性很大的小收益换取一个可能性很大的小损失 ;二是转移风险 :期权购买者有利则履约 ,无利则不履约。期权卖者以权利金弥补接受履约的损失 ,若不需接受履约 ,则净赚期权费。期权是

11、对标的物的买权或卖权 ,期权交易是对标的物的买权或卖权进行竞价。期权并不直接代表其期权定价理论及其运用标的物 ,所以其定价和估值不能直接依据其标的物的价格和价值。期权既然是一种权利 ,那么就有一种时间价值和内涵价值。“有权不用 ,过期作废”,是指权利的时间价值。有效期时间越长 ,权利的时间价值越大。“谁的官大 ,就听谁的”,是指权利的内涵价值。“官位”(标的物价格 )越高 ,权利的内涵价值越大。从“官位”看 ,期权的内涵价值与其标的物价格和价值是相关的 ,但为非线形相关 ;而时间价值既与有效期时间的长短有关 ,也与在有效期内竞争状况和获利时机的把握有关。所以期权的定价要用到随机过程和随机微分方

12、程等相当艰深的数学工具 ,因此非常困难。4.期权的风险在标的物的价格及其运动中就得到反映 ,而且标的物的价格还反映了市场对未来的预期。刻画标的物的价格运动规律既是研究期权定价的出发点又是关键。经典的期权分为欧式期权和美式期权 ,欧式期权在到期日才可执行 ,美式期权在到期日之前的任何一天都可以执行。他们的原始研究是面向以不分红股票作为标的物的欧式期权。在对标的物的特性、期权及标的物的交易规则给出一系列的假设条件后 ,对作为标的物的股票价格运动的规律作了一个基本的假定 :即股票价格的运动是连续变化的 ,遵循一种称作带漂移的几何布朗运动规律 ,在数学上则表现为称作伊藤过程的随机过程。布莱克和斯科尔斯

13、用期权、标的物股票、和一种无风险证券构筑成一个无套利均衡组合头寸。这个组合头寸要不断地进行动态调整才能保持住无套利均衡的条件。依据伊藤过程的研究结果 ,他们建立起 Black-Scholes随机微分方程。这个随机微分方程刻画了动态调整组合头寸保持无套利均衡的规律。按照期权到期时的情况 ,可以定出这个随机微分方程的终端条件 ,再倒向解出这个微分方程的初始值的表达式 ,就得出期权定价公式。1.3 期权定价理论的重大意义期权定价理论的产生与完善,对于推动期权市场的发展起到了巨大的作用.它避免了人们对期权定价的主观盲目性,式交易双方能够进行公平合理的交易.为在风云瞬息万变的市场中经营的人们提供了一条有

14、效的规避风险的途径,使人们敢于承担风险,投资经营,极大的促进了市场经济的发展.并且,期权定价理论向我们提供了一种处理随机现象的思想,为我们处理其他带有随机扰动的问题提供了一种好的思路.二、期权定价方法的理论基础_布朗运动，伊藤公式和Black_Scholes微分方程 期权定价的主要研究工具是随机过程的一个分支随机微分方程。随机微积分起源于马尔可夫过程结构的研究。伊藤 ()在探讨马尔可夫过程的内部结构时 ,认为布朗运动(又称维纳过程 )是最基本的扩散过程 ,能够用它来构造出一般的扩散运动。布莱克斯科尔斯考察一类特殊的扩散过程 : =+ ,这里表示股票价格 ,股票预期收益率 及波动率( 0)均为常

15、数 ,代表时间 ,为标准布朗运动。在无交易成本、不分股利的假设下 ,得出欧式看涨期权价格应满足如下微分方程 (为无风险利率 ) : 利用偏微分方程的理论求出的方程解析解 ,即著名的布莱克斯科尔斯公式。21 布朗运动股票价格的变化行为常用著名的布朗运动来刻画。布朗运动是马尔柯夫过程的一种特殊形式。布朗运动最早起源于物理学，物理学中把某个粒子的运动是受到大量小分子碰撞的结果成为布朗运动。股票价格的变化也是受着很多种因素的影响，所以形象的说，股票价格运动的轨迹类似于布朗运动。关于这一点假设，文章中还会有比较详细的说明。定义21 随机过程 如果满足：（1） 过程具有正态增量；（2） 过程具有独立增量；

16、（3） 是一个连续函数。则称为布朗运动，也成维纳过程。 布朗运动的性质：（1）假设一个小的时间间隔为定义，为在时间内维纳过程z 的变化，则， =， ;（2） E=0； D= 则有，E Z（T）=0； DZ（T）=T；下面几幅图片可以帮助我们理解布朗运动的几何意义 由于 所以 ; 当 时 ; 通过迭代方法,我们可以产生布朗运动的近似图像 .当t=0.01时，我们通过迭代方法近似的得到了布朗运动的给轨迹。可以看出，布朗运动的轨迹确实没有什么规律可言。 .定义 2.2： 设为布朗运动，则称 唯一般化的维纳过程。 称 a 为漂移系数； b 为过程x（t）的平均波动率。并且我们有（1） ；（2） ；（3

17、） ；（4） 。在现实生活中, 我们用一般化的布朗运动来描述股票价格的变化.影响股票价格变化的因素主要有以下两点: 股票价格随时间上涨的趋势和股票价格的平均波动率.前者对股票价格增长的贡献取决于时间的长短;后者至取决于布朗运动造成的随机波动.所以,股票价格的变化可以看成是两个分以上力决定的.如果我们不计算 在内, 则 ; 即 ;这说明股票价格具有线性增长的性质.如果我们考虑项在内 ,则有 这说明股票价格S 在线性增长的同时,还有随机波动的倾向,下图有助于我们形象的理解这一点. 其中,最上边那条随机波动的曲线代表股票价格,斜向上的直线代表不计随机波动影响的股票价格,下面那条随机波动的曲线代表没有

18、线性增长趋势的股票价格的变动.由此可见,真实的股票价格是由线性增长和随机波动两种因素共同影响而成.定义 2.3 ： 如果随机过程是维纳过程，则称随机过程为几何布朗运动，如果 。定理 2.1 ：股票价格服从几何布朗运动。证明： 设 则由金融学的知识得到： ；其中为布朗运动。 且 ，则 ， 证毕。2.2： 伊藤过程和伊藤公式 定义2.4：如果过程 可以表示为 ，其中为布朗运动，称为伊藤过程。定理22： 设是由给出的伊藤过程， 上的二次连续可微函数，则 仍为伊藤过程，并且 。证明：由于是二次可微连续函数，所以由泰勒展开式得： 又 ， ； 则 ；又 所以 ，当 时， 把最后两式和第二式带入（1）中 即

19、可得： ， 证毕。2.3 Black-Scholes 微分方程上个世纪七十年代初期，Fish Black 和 Myron Scholes 取得了一项重大的突破。推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必然满足的微分方程，他们运用给方程推导出了欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值的解析解。该理论的创立极大的推动了期权交易的发展，为此，Scholes 和后来为该方程推广做出重大贡献的 R.C Merton 共同获得了1997年度的诺贝尔经济学奖。.3.1推导Black-Scholes 微分方程用到的基本假设：（） 股票的平均收益和平均波动率为常数；（） 允许使用全部所得卖空衍生证券；（） 没有交

20、易费或税收，所有证券都是高度可分的；（） 在衍生证券的有效期内没有红利支付；（） 不存在无风险的套利机会；（） 证券交易是连续的；（） 无风险利率为常数，且对所有到期日都相同我们现在来推导Black-Scholes 微分方程，假设股票价格S遵循随机过程：并且假设是某个看涨期权或者其他衍生证券的价格，变量一定是S和t的某种函数。因此，由伊藤定理知： ；写成离散的形式为： （3.1）写成离散的形式为：易知，方程（3.2），（3.3）遵循相同的伊藤过程,所以可以选择某种股票和其相应的衍生证券的组合,这样就可以避免因为股价波动带来的风险,从而获得无风险收益。恰当的证券组合应当是： 也即证券组合持有者每

21、卖空一份衍生证券，再买入数量为的股票。定义证券组合的价值为： ，则有 ；时间后证券组合的价值变化为： = ； 因为这个方程不再含有项，经过时间后证券组合必定是无风险的。然而，该证券组合的瞬时收益率一定同其他短期无风险证券的收益率相同。如果该证券组合的收益率大些，套利者就会卖出无风险证券然后购入证券组合获取无风险收益；如果该证券组合的收益率小些，套利者就会通过卖出该证券组合购买无风险证券来获得无风险收益。所以，得到的结果是： ，其中r 位无风险利率；也即： = ；因此有： ；化简为： ；该方程就是著名的Black-Scholes 微分方程。对于欧式看涨期权，其边界条件为： ；对于欧式看跌其权，其

22、边界条件为： ；对于欧式期权而言，可以求得Black-Scholes 微分方程的解析解。而对于美式期权而言，仅能对到Black-Scholes 微分方程的数值解。 Black_Scholes 公式 : 记 为在 t 时刻 ,股票价格为S 时的期权价格. 则 其中 Black_Scholes 公式的性质:(1) 当 时 ;(2) 当 时 (当为看涨期权)；（当为看跌期权）； 应当强调的一点是：证券组合并不是永远无风险的，只是对于无限短的时间间隔内，它才是无风险的。当S 和 t 变化时， 也将发生变化。因此，为了保持证券组合无风险，有必要连续调整证券组合中衍生证券和股票的比例。三、 用有限差分法求

23、解Black-Scholes 微分方程现在有很多种办法可以解决股票的期权定价.其中应用的比较多的是: 二叉树,三叉树,求解Black-Scholes 微分方程的解析解等.但是以上一些方法都有一定的不足或局限性.本文尝试用有限差分法求解Black-Scholes 微分方程从而可以得到任何形式下-欧式期权或者美式期权-的看涨或者看跌的期权价格。限于篇幅，这里没有列出具体的差分格式，只是应用matlab数值计算软件对得到的一些数据画出相应的图形，便于大家直观的理解。并且我们通过大量的计算,还可以得到当股票价格的平均波动率和交割价格在一定范围内连续变化时,期权价格的变化规律,从而有利于我们对于期权定价

24、的进一步研究。 四、参量变化对期权价格的影响4.1 影响期权价格变化的因素一般来讲影响股票期权价格的因素有以下六种:(1) 股票的现价；(2) 交割价格；(3) 到期价格；(4) 股票价格的平均波动率；(5) 无风险利率；(6) 期权有效期内预计发放的红利；本文只考虑股票的交割价格和价格的平均波动率发生变化对股票期权价格的影响。并且我们将绘制一些图片以帮助我们形象的理解这两种变化对期权价格造成的影响。4.2 交割价格变化对股票期权价格的影响如果看涨期权在将来某一段时间内执行,则其收益为股票价格与执行价格的差额。随着股票价格的上升，看涨期权的价值将会下降；对于看跌期权而言，其收益价格为执行价格与

25、股票价格之差。因此，看跌期权的行为刚好和看涨期权价格的变化相反。当股票价格上升时，看跌期权的价值下降；当执行价格上升时，看跌期权的价值上升。图片（4.2.1）时美式看跌期权价格在交割价格发生变化时的变化曲线。 我们看到上图表明了看跌期权同交割价格变化的正相关关系。图片（4.2.2）时美式看涨期权价格在交割价格发生变化时的变化曲线。 我们看到上图表明了看涨期权同交割价格变化的负相关关系。 4.3 平均波动率变化对股票期权价格的影响 简单的说，股票价格的波动率时用来衡量未来股票价格变动的不确定性。随着波动率的增加，股票价格上升很高或者下降很低的机会也会随之增加。对于股票持有者来说，情况则不是这样。

26、看涨期权的持有者从股票价格上升中获利，但是当股票价格下降时，他的最大损失仅仅是期权费用。与此类似，看跌期权的持有人从股票价格下降中获利，但是当股票价格上升时，他们的损失页仅仅是有限的。因此，随着波动率的增大，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。 图片（4.3.1）时美式看跌期权价格在平均波动率生变化时的变化曲线。 我们看到上图表明了看跌期权同平均波动率变化的正相关关系。 图（4.3.2）是美式看跌期权价格在平均波动率生变化时变化曲线。 我们看到上图表明了看跌期权同平均波动率变化的正相关关系。 4.4 当股票现价固定时交割价格和平均波动率同时变化对期权价格的影响 图片 （4.4.1） 是美式看涨期

27、权在上述情况下的变化曲面。 图片 （4.4.2） 是美式看跌期权在上述情况下的变化曲面 五、结束语本文首先较为详细的阐述了股票期权定价理论产生的背景，理论依据以及该理论的广泛应用所产生的重大意义。并且在文章的第二部分较为详细的分析了期权定价理论的数学基础，严格的推导出了BlackScholes 随机微分方程。最终定量的分析了执行价格变化和股票平均波动率变化对期权价格的影响。作者相信，本文的前半部分对于具有一定数学基础，并且想要了解股票期权定价理论的读者来说，或许会有一定的帮助。文章的后半部分对于人们形象直观的理解各种影响因素变化对于期权价格的影响。参考文献1 美 John Bull ，期权，期货和其他衍生产品，华夏出版社；2 美 S.M.劳斯 ，随机过程，中国统计出版社；3 概率论，复旦大学编 ，人民教育出