高考探索性问题回顾与展望

1、高考探索性问题回顾与展望湖北省襄阳市第三中学陈显宏441000回顾近四年高考试题不难发现，每年平均三套试题就有一套会出现探索性问题的解答题，有的一套试卷6道解答题甚至有2道属探索汇性问题，这些探索性解答题基本上是以高中数学的主干知识为背景，或以条件开放，或以结论开放，通过观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等得出相关的结论，探索的类型也是常见的比较型、存在型、研究型、讨论型、判断型等，尤其新课程引入了线性规划、平面向量、空间向量、概率统计、导数后，给探索性问题无论从题目背景，还是研究手段上都注入了新的血液，使得这类问题在高考试卷中日益活跃，充当把关题的重要角色而解决探索型问题，较少有现成的套路和

2、常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合运用，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求下面从探索的类型和背景出发对近年高考探索性问题的命题规律进行追踪寻迹，并由此展望2008年高考探索性问题的创新视角，供广大师生二轮复习参考1：多种背景的存在型在探索性问题中，存在型最为常见，其背景涉及面也很广泛，2007年四川卷第22题：设函数.()当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;()对任意的实数x,证明()是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由解析：（）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（）因;（）对，且有又因，故，从而有

3、成立，即存在，使得恒成立本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识yO.x.此类问题是高考的热点问题，如200年高考上海卷第21题：我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，如图1，点，是相应椭圆的焦点，和，分别是“果圆”与，轴的交点（1）若是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）当时，求的取值范围；（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由解析：（1） ，于是，所求“

4、果圆”方程为，（2）由题意，得 ，即，得 又 （3）设“果圆”的方程为，记平行弦的斜率为当时，直线与半椭圆的交点是，与半椭圆的交点是 的中点满足 得 ， 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上如果说函数类的探索性问题是为导数而生的话，那么立体几何类的探索性问题就是为空间向量而设计的，如2006年高考江西卷第20题：如图2，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一侧面是正三角形（1）求证：；（2）求二

5、面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使与面成角？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由ABD图2C解析：（1）略；（2）BMNarccos；（3）设E是所求的点，作EFCH于F，连FD则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与面BCD所成的角，则EDF30设EFx，易得AHHC1，则CFx，FD，tanEDF，解得x，则CEx1，故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角此题也可用空间向量求解，解答略DPBAE图3本题主要考查空间位置关系的论证和空间角的计算，可以利用传统的逻辑推理，也可以补成长方体再建立空间直角坐标系，借助法向量轻松探求E点的坐标，得E点的位置，体现向量工

6、具的优越性，这种趋势在2004年高考就已有所流露，如2004年高考湖南卷第19题：如图3，在底面是菱形的四棱锥PABC中，ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=，点E在PD上，且PE:ED=2:1（I）证明PA平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（）在棱PC上是否存在一点F，使BF/平面AEC？证明你的结论如果说立体几何类的探索性问题就是为空间向量而设计的，那么利用解析法研究几何问题的解析几何类探索性问题就是意料之中的事了，既使与平面向量结合也是情理之中，如2006湖南卷第21题：已知椭圆C1:，抛物线C2:，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点(

7、)当AB轴时，求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；()是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由解析：（）该焦点不在直线AB上；（）假设存在m、p的值使的焦点恰好在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为，由联立多元方程组得或，所以满足条件的m、p存在本题主要考查点与直线、直线与圆锥曲线的位置关系，以探索的形式考查运算、综合分析问题的能力，这类问题往往借助解析法把存在性问题转化为方程（组）根的讨论，有时要用到平面几何的一些定理和性质，可使问题速解再如2005年高考湖北卷第21题：设A、B是椭圆上的两

8、点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由 值得提及是湖北卷连续两年都出现这种题目，如2004年高考湖北卷第20题：直线的右支交于不同的两点A、B（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由以解析几何为背景的存在性问题，一般需通过位置关系或向量坐标运算建立方程与不等式的混合组，通过解的讨论，得出存在与否的结论这种题型往往体现方程思想与平面向量工具的灵活应用以

9、立体几何中的存在性问题往往可用传统的逻辑推理，也可以用空间向量的运算，取决于几何载体的特征，若方便建立空间直角坐标系，用向量法往往方便，这就需要掌握空间向量的定比分点公式及法向量的应用等广度的知识方法一般用向量的方法探索较易，这种倾向也应是命题者的初衷，是为新教材的推广使用推波助澜2：函数为背景的研究型函数内容蕴含着丰富的数学思想方法，由常见的基本初等函数可以生成很多有价值的复合函数，如近年活跃于高考试卷中的勾对函数，1997年全国卷出现相关的应用题后，2000年上海卷又出现，随后就频频出现，不断发展，如2006年高考上海卷第22题：已知函数有如下性质：如果常数0，那么该函数在0，上是减函数，

10、在，上是增函数（1）如果函数（0）的值域为6，求的值；（2）研究函数（常数0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数和（常数0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间，2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）解析：(1) b=log29；(2)在(，上是减函数， 在，0)上是增函数；(3)可以把函数推广为y=(常数a0)，其中n是正整数当n是奇数时，函数y=在(0，上是减函数，在，+) 上是增函数，在(，上是增函数， 在，0)上是减函数；当n是偶数时，函数y=在(0,上是减函数，在,+) 上是增函数，在(,

11、上是减函数，在，0)上是增函数，F(x)= +=，因此F(x) 在 ，1上是减函数，在1，2上是增函数，所以，当x=或x=2时， F(x)取得最大值()n+()n；当x=1时F(x)取得最小值2n+1本题主要通过导数研究函数单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法这类背景和形式的探索性问题在近几年的上海卷中频繁出现，不断演绎，形成一道亮丽的风景线，如2005年上海卷第21题：对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x)， f(x)g(x) ，当xDf且xDg规定：函数h(x)= f(x) ，当xDf且xDg g(x) ，当xDf且

12、xDg（1）若函数f(x)=，g(x)=x2，xR，写出函数h(x)的解析式;（2）求问题(1)中函数h(x)的值域；(3)若g(x)=f(x+)， 其中是常数，且0，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)及一个的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明再如2005年上海春季高考卷第21题：已知函数的定义域为，且 设点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为（1）求的值；（2）问：是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（3）设为坐标原点，求四边形面积的最小值3：数列为背景的判断型通常给出数列的一些项，要求推出普遍性的结论，解这类问题的策略是：从题设条件出发，通

13、过实验观察分析猜想，探索出一般规律，然后对归纳猜想的结论进行证明今两年虽没出现这类类似题目，但05北京卷，04年重庆卷都出现过，要引起注意，如：设是数列的前项和，数列的通项公式为（1）求数列的通项公式；（2）若，则称为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，试判断数列是什么数列，并说明理由解析：（1）；(2) 根据数列、通项公式的特点，通过试验、归纳的方法探求与的表达式，再判断数列是什么数列 ，都不是中的项， 是中的项，不是中的项，因此将数列中的项分成偶数项和奇数项两类，分别判断是否是中的项中的奇数项是中的项，中的偶数项不是中的项所以，是以为首项，以为公比

14、的等比数列4：概率统计为背景的决策型高中数学新教材概率统计引入概率、期望、方差，对于实际决策问题有着极大的意义，从而以概率统计为背景的风险决策性的探索问题频繁出现，如2006年北京卷第18题：某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小（说明理由）解析：（）应聘者用方案一考试通过的概率应聘者用方案

15、二考试通过的概率 （）因为，所以 故,即采用第一种方案,该应聘者考试通过的概率较大本题主要考查互斥事件的概率和相互独立事件的概率，比较概率大小主要通过作差比较的基本方法这类概率、统计类的风险决策型探索性问题符合时代脉搏，近几年处于不衰地位，大有蓬勃发展之势，如2004年高考湖北卷第21题（此题源自教材引例）：某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为03，一旦发生，将造成400万元的损失 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为09和085 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、

16、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值）决策方案的最佳选择是将概率最大（最小）或数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施，这类问题在高考模拟试卷中出现的频率更高，学生往往不是背景陌生，而是把实际问题转化为概率的事件类型会有偏差，导致决策失误在风险决策中除了应用概率外，期望与方差也有广泛的应用离散型随机变量期望反映的是随机变量取值的平均水平；方差反映的是随机变量取值和稳定与波动，集中与离散的程度如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的数学方差来选择决策方案，此时最佳方案应选择方差最小的那一种命题视角展望：随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注探索性问题从最近几年来高考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标”在今后的高考中，探索性问题考查的力度将会加大，呈逐年攀升的趋势其中客观题仍将表现为或结论或条件或两者皆具的完形填空题的形式，而解答题仍会以结论开放性的探索性为主流，其背景仍将围绕传统的数列、函数、解析几何、立体几何和新增的概率统计、线性