（典型题）2014高考数学二轮复习知识点总结椭圆、双曲线、抛物线

1、椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2

2、a(2ab0)1(a0，b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a， |y|b|x|ax0顶点(a,0)，(0，b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e (0e1)e1准线x渐近线yx考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆1和双曲线x21的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值等于_(2)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k_.答案(1)3(2)解析(1)焦点坐标为(0，2)

3、，由此得m24，故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|PF2|2，|PF1|PF2|2，两式平方相减得4|PF1|PF2|43，所以|PF1|PF2|3.(2)方法一抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)如图，过A、B分别作AMl于点M，BNl于点N.由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点连接OB，则|OB|AF|，|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)k.方法二如图，由图可知，BBBF，AAAF，又|AF|2|BF|，即B是AC的中点与联立可得A(4,4)，B(1,2)kAB.(1)对于圆锥曲线的定义不

4、仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合，提倡画出合理草图(1)(2012山东)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x答案(

5、1)D(2)C解析(1)椭圆的离心率为，a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，b25，a24b220.椭圆C的方程为1.(2)如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知，|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130，AFx60.连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则|NF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为

6、y23x，故选C.考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为_答案(1)B(2)解析(1)在ABF中，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF，|AF|21006412836，|AF|6，从而|AB|2|AF|2|BF|2，则AFBF.c|OF|AB|5

7、，利用椭圆的对称性，设F为右焦点，则|BF|AF|6，2a|BF|BF|14，a7.因此椭圆的离心率e.(2)设F1PF2，由得由余弦定理得cos e2.(0,180，cos 1,1)，1e21，10，b0)的左焦点F作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为_答案(1)(2)解析(1)设椭圆C的焦点在x轴上，如图，B(0，b)，F(c,0)，D(xD，yD)，则B(c，b)，F(xDc，yD)，B2F，又点D在椭圆C上，1，即e2.e.(2)设c，双曲线的右焦点为F.则|PF|PF|2a，|FF|2c.E为PF的中点，O为FF的中点，OEP

8、F，且|PF|2|OE|.OEPF，|OE|，PFPF，|PF|a，|PF|PF|2a3a.|PF|2|PF|2|FF|2，9a2a24c2，.双曲线的离心率为.考点三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，点F为椭圆的右焦点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，点M为椭圆的上顶点，且满足1.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，当直线l交椭圆于P、Q两点时，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)根据题意得，F(c,0)(c0)，A(a,0)，B(a,0)，M(0，b)，(c，b)，(ac,0)，acc21.又e，ac，c2c2

9、1，c21，a22，b21，椭圆C的方程为y21.(2)假设存在满足条件的直线l.kMF1，且MFl，kl1.设直线l的方程为yxm，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得3x24mx2m220，则有16m212(2m22)0，即m2B0时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2；(2)|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)SAOB；(4)为定值；(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.1 已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点

10、F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由ABx轴，可知ABE为等腰三角形，又ABE是锐角三角形，所以AEB为锐角，即AEF45，于是|AF|EF|，ac，于是c2a2a2ac，即e2e20，解得1e1，从而1eb0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内 B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外 D以上三种情形都有可能答案A解析x1x2，x1x2.xx(x1x2)22x1x2.e，ca，

11、b2a2c2a22a2.xx0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x答案C解析由题意知：F，抛物线的准线方程为x，则由抛物线的定义知，xM5，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为22，又因为圆过点(0,2)，所以yM4，又因为点M在C上，所以162p，解得p2或p8，所以抛物线C的方程为y24x或y216x，故选C.2 与椭圆1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是()Ay21 B.x21C.1 D.1答案A解析椭圆1的离心率为，且焦点为(0，2)，所以

12、所求双曲线的焦点为(0，2)且离心率为2，所以c2，2得a1，b2c2a23，故所求双曲线方程是y21.3 (2013江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|MN|等于()A2 B12 C1 D13答案C解析由抛物线定义知M到F的距离等于M到准线l的距离MH.即|FM|MN|MH|MN|FO|AF|1.4 过双曲线1(a0，b0)的右焦点F，作圆x2y2a2的切线FM交y轴于点P，切圆于点M,2，则双曲线的离心率是()A. B. C2 D.答案A解析由已知条件知，点M为直三角形OFP斜边PF的中点，故OFOM，即ca，

13、所以双曲线的离心率为.5 (2013山东)抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于()A. B. C. D.答案D解析抛物线C1的标准方程为x22py，其焦点F为，双曲线C2的右焦点F为(2,0)，渐近线方程为yx.由yx得xp，故M.由F、F、M三点共线得p.6 椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且12的最大值的取值范围是c2,3c2，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A， B，C(，1) D，1)答案B解析设P(x，y)，F1(c,0)，F2(c

14、,0)，则1(cx，y)，2(cx，y)，12x2y2c2.又x2y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2y2)maxa2，所以()maxb2，所以c2b2a2c23c2，即e2，所以e.故选B.二、填空题7 (2012江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_答案2解析建立关于m的方程求解c2mm24，e25，m24m40，m2.8 (2013福建)椭圆：1(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_答案1解析由直线方程为y(xc)，知MF1F260，又MF1F22

15、MF2F1，所以MF2F130，MF1MF2，所以|MF1|c，|MF2|c所以|MF1|MF2|cc2a.即e1.9 (2013辽宁)已知F为双曲线C：1的左焦点，P，Q为C上的点若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则PQF的周长为_答案44解析由双曲线C的方程，知a3，b4，c5，点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|QA|PA|4b16，由双曲线定义，|PF|PA|6，|QF|QA|6.|PF|QF|12|PA|QA|28，因此PQF的周长为|PF|QF|PQ|281644.10已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则

16、|PM|PN|的最小值为_答案7解析由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127.三、解答题11(2013课标全国)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1(ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值解(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则11，得0.因为1，设P(x0，y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以y0x0，即y1y2(x1x2)所以可以解得a22b

17、2，即a22(a2c2)，即a22c2，又因为c，所以a26，所以M的方程为1.(2)因为CDAB，直线AB方程为xy0，所以设直线CD方程为yxm，将xy0代入1得：3x24x0，即A(0，)，B，所以可得|AB|；将yxm代入1得：3x24mx2m260，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，则|CD|，又因为16m212(2m26)0，即3mb0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求的值；若不

18、存在，说明理由解(1)由P在椭圆1上，得1，又e，得a24c2，b23c2，代入得，c21，a24，b23.故椭圆方程为1.(2)设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得，(4k23)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2.k1k22k2k2k2k1.又将x4代入yk(x1)得M(4,3k)，k3k，k1k22k3.故存在常数2符合题意13已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点的抛物线x24 y的焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足2？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1 (k0)由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得32(6k3)0，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M