（典型题）2014高考数学二轮复习知识点总结不等式及线性规划

1、不等式及线性规划1 四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形0(0(1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)；当0aag(x)f(x)1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；当0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2 五个重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)(a0，b0)(4)ab()2(a，bR)(5) (a0，b0)3

2、二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值4 两个常用结论(1)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是考点一一元二次不等式的解法例1(2012江苏)已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为0，)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m6)，则实数c的值为_答案9解析由题意知f(x)x2axb2b.f(x)的值域为0，)，b0，即b.f(x)2.

3、又f(x)c.2c，即x0.若pq为真命题，则实数m的取值范围是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2(2)设命题p：x|02x11，命题q：x|x2(2k1)xk(k1)0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是_答案(1)C(2)解析(1)pq为真命题，等价于p，q均为真命题命题p为真时，m0；命题q为真时，m240，解得2m2.故pq为真时，2m0，y0，由x3y5xy得1.3x4y(3x4y)25(当且仅当x2y时取等号)，3x4y的最小值为5.(2)方法一4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，(2xy)221，解之得(2xy)2，即2xy.

4、等号当且仅当2xy0，即x，y时成立方法二令t2xy，则yt2x，代入4x2y2xy1，得6x23txt210，由于x是实数，故9t224(t21)0，解得t2，即t，即t的最大值也就是2xy的最大值为.方法三化已知4x2y2xy1为221，令2xycos ，ysin ，则ysin ，则2xy2xyycos sin sin().在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件(1

5、)已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为()A1 B. C2 D.答案B解析2x2(xa)2a22a42a，由题意可知42a7，得a，即实数a的最小值为，故选B.(2)(2013山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0.则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B.C2 D.答案C解析由题意知：zx23xy4y2，则31，当且仅当x2y时取等号，此时zxy2y2.所以x2yz2y2y2y22y24y2(y1)222.所以当y1时，x2yz取最大值2.考点三简单的线性规划问题例3(2013湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种

6、车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆则租金最少为()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元答案C解析设租A型车x辆，B型车y辆时租金为z元则z1 600x2 400yx、y满足画出可行域如图直线yx过点A(5,12)时纵截距最小，zmin51 6002 4001236 800，故租金最少为36 800元(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何

7、意义，利用数形结合找到目标函数的最优解(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数(1)(2013山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D(2)(2013北京)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A. B.C. D.答案(1)C(2)C解析(1)由得A(3，1)此时线OM的斜率最小，且为.(2)当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示

8、的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m0B0直线AxByC0上方直线AxByC0下方AxByC0直线AxByC0下方直线AxByC0上方主要看不等号与B的符号是否相向，若同向则在直线上方，若异向则在直线下方，简记为“同上异下”，这叫B的值判断法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决1 若实数x、y满足4x4y2x12y1，则t2x2y的取值范围是()A0t2 B0t4C20，且t0，因此有t2，故2l

9、g x(x0)Bsin x2(xk，kZ)Cx212|x|(xR)D.1(xR)答案C解析应用基本不等式：x，yR，(当且仅当xy时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件当x0时，x22xx，所以lglg x(x0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当xk，kZ时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x0时，有1，故选项D不正确2 设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A BC D答案D解析由不等式的基本性质可知对；幂函数yxc(cb1，所以对；由对数函数的单调性可得logb(ac)logb(

10、bc)，又由对数的换底公式可知logb(bc)loga(bc)，所以logb(ac)loga(bc)，故选项D正确3 设Ax|x22x30，Bx|x2axb0，若ABR，AB(3,4，则ab等于()A7 B1 C1 D7答案D解析依题意，A(，1)(3，)，又因为ABR，AB(3,4，则B1,4所以a(14)3，b144，于是ab7.故选D.4 (2012陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()Aav BvC.v Dv答案A解析由小王从甲地往返到乙地的时速分别为a和b，则全程的平均时速为v，又ab，av0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a

11、等于()A. B. C1 D2答案B解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a，故选B.6 已知变量x，y满足约束条件若目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值，则实数a的取值范围为()A(3,5) B.C(1,2) D.答案B解析如图所示，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线yax0，要使目标函数zyax仅在点(3,0)处取到最大值(即直线zyax仅当经过该平面区域内的点(3,0)时，在y轴上的截距达到最大)，结合图形可知a.二、填空题7 已知p：0，q：4x2xm0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是

12、_答案6，)解析由p得：00，a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10 (mn0)上，则的最小值为_答案4解析定点A(1,1)，又A在mxny10上，mn1.(mn)24.当且仅当mn时取等号9 已知实数x，y满足若zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为_答案1解析依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，如图所示要使zyax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线zyax必平行于直线yx10，于是有a1.10(2013浙江)设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.答案2解析作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0k时，直线y

13、kxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2(舍去)；当k时，直线ykxz经过点(0,2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当k0时，直线ykxz经过点M(4,4)时z最大，所以4k412，解得k2，符合题意综上可知，k2.三、解答题11求解关于x的不等式ax2(a1)x10.解(1)当a0时，原不等式变为x11(2)当a0时，原不等式可化为a(x1)0.若a0，又因为1或x0，则上式即为(x1)0.当1时，原不等式的解集为；当1，即a1时，原不等式的解集为；当1，即0a1时，原不等式的解集为.综上所述，当a1；当0a1时，原不等式的解集为.12某工厂利用辐射对食品进行灭菌

14、消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p(0x8)，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为100万元为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元设f(x)为建造宿舍与修路费用之和(1)求f(x)的表达式；(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值解(1)根据题意得100，所以k800，故f(x)56x,0x8.(2)因为f(x)2(3x5)5805，当且仅当2(3x5)即x5时f(x)min75.所以宿舍应建在离厂5 km处，可使总费用f(x)最小，最小为75万元13已知函数f(x)ax3bx2(2b)x1在xx1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0x11x20；(2)若za2b，求z的取值范围(1)证明求