一元二次方程韦达定理应用

1、一元二次方程韦达定理应用一选择题（共16小题）1若方程x2（m24）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A2B2C2D42若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A4B2C4D33设a，b是方程x2+x2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2016D20174一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，则这个方程根的情况是（）A有两个正根B有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D有一正根一负根且负根绝对值大5已知m、n是方程x2+3x2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A1B3C5D96已知关于x的

2、一元二次方程x2+mx8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A4，2B4，2C4，2D4，27一元二次方程x2+x1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）AB1CD8关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于4，则k的取值范围是（）Ak1Bk0C1k0D1k09已知方程x22（m21）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（）Am=1Bm=1Cm=1Dm=010已知a、b是一元二次方程x23x2=0的两根，那么+的值为（）ABCD11已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为（）A5B1C2D512已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x

3、1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=013设a、b是方程x2+x2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2012D201314关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根都负根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个15（非课改）已知，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等

4、的实数根，且满足+=1，则m的值是（）A3B1C3或1D3或116设a，b是方程x2+x2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2009B2010C2011D2012二填空题（共30小题）17已知：一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为 18一元二次方程x2+x2=0的两根之积是 19若、是一元二次方程x2+2x6=0的两根，则2+2= 20一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2= 21已知m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为 22某学生在解一元二次方程x22x=0

5、时，只得出一个根是2，则被他漏掉的另一个根是x= 23已知a，b是方程x2x3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为 24已知关于x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是 25如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是 26方程x23x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a24ab的值为 27已知a+b=3，ab=7，则代数式2a2+b2+3b的值为 28已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n3=0的两个实数根，且x1+x2=2，则x1x2= 29已知实数ab，且满足（a+1）2=3

6、3（a+1），3（b+1）=3（b+1）2则的值为 30已知m，n是方程x2+2x5=0的两个实数根，则m2mn+3m+n= 31阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=，x1x2=根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则的值为 32已知关于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2则正确结论的序号是 （填上你认为正确结论的所有序号）33若两个不等实数m、n满足条件：m22m1=0，n22n1=0，则m2+n

7、2的值是 34设x1，x2是方程x2x2013=0的两实数根，则= 35设x1，x2是方程2x23x3=0的两个实数根，则的值为 36若，是方程x23x+1=0的两个根，则2+3= 37已知x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，且2x1x2=7，则k= 38设x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1（x22+5x23）+a=2，则a= 39设和是方程x24x+3=0的二根，则+的值为 40已知实数a、b（ab）分别满足，试求的值 41设A是方程x2x2009=0的所有根的绝对值之和，则A2= 42已知，为方程x2+4x+2=0的二实根，则3+14+50= 43若非零实数a，

8、b（ab）满足a2a2007=0，b2b2007=0，则：= 44已知2是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则方程的另一个根是 45已知关于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，则正确结论的序号是 （在横线上填上所有正确结论的序号）46如果关于x的一元二次方程2x22x+3m1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是 三解答题（共4小题）47已知关于x的一元二次方程 x2+3xm=0有实数根（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求

9、m的值48已知一元二次方程2x26x1=0的两实数根为x1、x2，不解方程，求代数式的值49已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1x2x12x220成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由50填表解题：方程两根x1，x2x1+x2=x1x2=x2+2x+1=0x23x4=0x2+4x7=0上表你能猜想若x1，x2是方程ax2+bx+c=0（a不等0）的两根则x1+x2= ，x1x2= 利用你的猜想解下列问题：（1）若x1，x2是方程x22x3=0的两根求，x12+x22和（x1+2）（x2+

10、2）的值（2）已知2+是方程x24x+c=0的一个根，求方程的另一个根及c的值一元二次方程韦达定理应用参考答案与试题解析一选择题（共16小题）1（2017邕宁区校级模拟）若方程x2（m24）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（）A2B2C2D4【分析】设这两根是、，根据根与系数的关系及相反数的定义可知：+=m24=0，进而可以求出m的值【解答】解：方程x2（m24）x+m=0的两个根是互为相反数，设这两根是、，则+=m24=0，解得：m=2，但当m=2时，原方程为：x2+2=0，方程没有实数根，故m=2故选A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及其应用，注意最后所求的值一定要代入检

11、验2（2017西青区一模）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（）A4B2C4D3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出另一根【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得1+x1=3，解得：x1=4故选A【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=3（2017黔东南州二模）设a，b是方程x2+x2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2016D2017【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到

12、a2=a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=1，再利用整体代入的方法计算【解答】解：a是方程x2+x2017=0的根，a2+a2017=0，a2=a+2017，a2+2a+b=a+2017+2a+b=2017+a+b，a，b是方程x2+x2017=0的两个实数根，a+b=1，a2+2a+b=20171=2016故选C【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解4（2017和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a0，b0，c0，则这个

13、方程根的情况是（）A有两个正根B有两个负根C有一正根一负根且正根绝对值大D有一正根一负根且负根绝对值大【分析】根据根的判别式=b24ac的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况【解答】解：a0，b0，c0，=b24ac0，0，0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大故选：C【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根5（2017章丘市二模）已知m、n是方程x2+3x2=0的两个实数根，则m2+4m+

14、n+2mn的值为（）A1B3C5D9【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解即可得出m+n=3、mn=2、m2+3m=2，将其代入m2+4m+n+2mn中即可求出结论【解答】解：m、n是方程x2+3x2=0的两个实数根，m+n=3，mn=2，m2+3m=2，m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2322=5故选C【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握x1+x2=、x1x2=是解题的关键6（2016雅安）已知关于x的一元二次方程x2+mx8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A4，2B4，2C4，2D4，2【分析】根据题意，利用根与系数

15、的关系式列出关系式，确定出另一根及m的值即可【解答】解：由根与系数的关系式得：2x2=8，2+x2=m=2，解得：x2=4，m=2，则另一实数根及m的值分别为4，2，故选D【点评】此题考查了根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键7（2014春临安市校级期末）一元二次方程x2+x1=0的两根分别为x1，x2，则+=（）AB1CD【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=1，然后把+进行通分，再利用整体代入的方法进行计算【解答】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2=1，所以+=1故选B【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的

16、关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=8（2013秋沙湾区期末）关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于4，则k的取值范围是（）Ak1Bk0C1k0D1k0【分析】根据根的判别式求出k1，根据根与系数的关系求出（2k+4）4，求出k0，即可求出答案【解答】解：设x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根是a b，由根与系数的关系得：a+b=（2k+4），关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于4（2k+4）4，k0，b24ac=2（k+2）241k2=8k+80，k1，即k的取值范围是1k0故选D【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的

17、关系，注意：应用根与系数的关系式的前提条件是b24ac0，a09（2011金堂县二模）已知方程x22（m21）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m的值是（）Am=1Bm=1Cm=1Dm=0【分析】由于方程x22（m21）x+3m=0的两个根是互为相反数，设这两根是、，根据根与系数的关系、相反数的定义可知：+=2（m21）=0，由此得到关于m的方程，进而可以求出m的值【解答】解：方程x22（m21）x+3m=0的两个根是互为相反数，设这两根是、，根据根与系数的关系、相反数的定义可知+=2（m21）=0，进而求得m=1，但当m=1时，原方程为：x2+3=0，方程没有实数根，m=1故选B【点评】本

18、题考查了一元二次方程根与系数的关系及其应用，最后所求的值一定要代入判别式检验10（2016宁津县二模）已知a、b是一元二次方程x23x2=0的两根，那么+的值为（）ABCD【分析】根据，由一元二次方程的根与系数之间的关系求得两根之积与两根之和，代入数值计算即可【解答】解：方程x23x2=0的两根为a，b，a+b=3，ab=2，=故选：D【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系的知识，注意若二次项系数不为1，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，掌握根与系数的关系是解此题的关键11（2016枣庄）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2

19、，则另一个根为（）A5B1C2D5【分析】根据关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决【解答】解：关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，设另一个根为m，2+m=，解得，m=1，故选B【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是明确两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数12（2015来宾）已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax27x+12=0Bx2+7x+12=0Cx2+7x12=0Dx27x12=0【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2

20、（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x27x+12=0，故选：A【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2（x1+x2）x+x1，x2=0是具体点关键13（2015江阳区二模）设a、b是方程x2+x2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2014B2015C2012D2013【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=1；然后根据a是方程x2+x2014=0的实数根，可得a2+a2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可【解答】解：a、b是方程x2+x2014=0的两

21、个实数根，a+b=1；又a2+a2014=0，a2+a=2014，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2014+（1）=2013即a2+2a+b的值为2013故选：D【点评】此题主要考查了根与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=（x1+x2），=x1x214（2015南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：这两个方程的根

22、都负根；（m1）2+（n1）22；12m2n1，其中正确结论的个数是（）A0个B1个C2个D3个【分析】根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；根据根的判别式，以及题意可以得出m22n0以及n22m0，进而得解；可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解【解答】解：两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1x2=2n0，y1y2=2m0，y1+y2=2n0，x1+x2=2m0，这两个方程的根都为负根，正确；由根判别式有：=b24ac=4m28n0，=b24ac=4n28m0，4m28n0，4n28m0，m22n0，n22m0，m22m+1+n22n+1=m22n+n22

23、m+22，（m1）2+（n1）22，正确；由根与系数关系可得2m2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）（y2+1）0，故2m2n1，同理可得：2n2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）1，得2n2m1，即2m2n1，故正确故选：D【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结15（2013呼和浩特）（非课改）已知，是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=1，则m的值是（）A3B1C3或1D3或1【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得0，

24、由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值【解答】解：根据条件知：+=（2m+3），=m2，=1，即m22m3=0，所以，得，解得m=3故选A【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=16（2013济南模拟）设a，b是方程x2+x2011=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A2009B201

25、0C2011D2012【分析】由于a，b是方程x2+x2011=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到a+b=1，并且a2+a2011=0，然后把a2+2a+b可以变为a2+a+a+b，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：a，b是方程x2+x2011=0的两个实数根，a+b=1，并且a2+a2011=0，a2+a=2011，a2+2a+b=a2+a+a+b=20111=2010故选B【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法二填空题（共30小题）17（2017东台市一模）已知：一元二次方程x26x+c=0有一个根为2，则另一根为4

26、【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t=6，然后解一次方程即可【解答】解：设方程另一根为t，根据题意得2+t=6，解得t=4故答案为4【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=18（2017启东市一模）一元二次方程x2+x2=0的两根之积是2【分析】根据根与系数的关系，即可求得答案【解答】解：设一元二次方程x2+x2=0的两根分别为，=2一元二次方程x2+x2=0的两根之积是2故答案为：2【点评】此题考查了根与系数的关系解题的关键是熟记公式19（2017庆云县一模）若、是一元二次方程x2+2x

27、6=0的两根，则2+2=16【分析】利用根与系数的关系可得出+和，且2+2=（+）22，代入计算即可【解答】解：、是一元二次方程x2+2x6=0的两根，+=2，=6，2+2=（+）22=（2）22（6）=4+12=16，故答案为：16【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，把2+2化成（+）22是解题的关键20（2017曲靖模拟）一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=2【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值【解答】解：根据题意得x1+x2=m=1，x1x2=2m，所以m=1

28、，所以x1x2=2故答案为2【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=21（2017黄石模拟）已知m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，若（m1）（n1）=6，则a的值为4【分析】由m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，得出m+n=3，mn=a，整理（m1）（n1）=6，整体代入求得a的数值即可【解答】解：m、n是关于x的一元二次方程x23x+a=0的两个解，m+n=3，mn=a，（m1）（n1）=6，mn（m+n）+1=6即a3+1=6解得a=4故答案为：4【点评】此题考查了一元二

29、次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=22（2016长沙模拟）某学生在解一元二次方程x22x=0时，只得出一个根是2，则被他漏掉的另一个根是x=0【分析】设方程x22x=0的两根根为x1、x2，由根与系数的关系可得出x1+x2=2，再结合x1=2即可求出x2的值【解答】解：设方程x22x=0的两根根为x1、x2，x1+x2=2，x1=2，x2=0故答案为：0【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出x1+x2=2本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键2

30、3（2015泗洪县校级模拟）已知a，b是方程x2x3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为7【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2a3=0，即a2=a+3，则a2+b+3化简为a+b+6，再根据根与系数的关系得到a+b=1，然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解：a是方程x2x3=0的根，a2a3=0，a2=a+3，a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6，a，b是方程x2x3=0的两个根，a+b=1，a2+b+3=1+6=7故答案为7【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=也考查了一元二次方程的解24

31、（2013秋密山市校级期中）已知关于x的方程x22ax+a22a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是1【分析】先根据根与系数的关系，根据x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到关于a的方程，求出a的值【解答】解：根据一元二次方程的根与系数的关系知：x1+x2=2a，x1x2=a22a+2x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2a）22（a22a+2）=2a2+4a4=2解a2+2a3=0，得a1=3，a2=1又方程有两实数根，0即（2a）24（a22a+2）0解得a1a=3舍去a=1【点评】应用了根与系数的关系得到方程两根的和与两根的积，根据两

32、根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可把求a的值的问题转化为方程求解的问题25（2012德清县自主招生）如果方程（x1）（x22x+）=0的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是3k4【分析】根据原方程可得出：x1=0，x22x+=0；根据根与系数的关系，可求出方程的x1+x2和x1x2的表达式，然后根据三角形三边关系定理求出k的取值范围【解答】解：由题意，得：x1=0，x22x+=0；设x22x+=0的两根分别是m、n（mn）；则m+n=2，mn=；mn=；根据三角形三边关系定理，得：mn1m+n，即12；，解得3k4【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系

33、以及三角形三边关系定理26（2012厦门模拟）方程x23x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a24ab的值为4【分析】根据已知方程x23x+1=0中的两根分别为a、b，得出a+b=3，ab=1，a23a+1=0，求出a23a=1，代入a24ab=a23aab求出即可【解答】解：方程x23x+1=0中的两根分别为a、b，a+b=3，ab=1，a23a+1=0，a23a=1，a24ab=a23aab，=1（a+b），=13，=4，故答案为：4【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的应用，本题题型较好，具有一定的代表性，用了整体代入（a+b和a23a分别当作一个整体）的思想27已知a

34、+b=3，ab=7，则代数式2a2+b2+3b的值为39【分析】由a+b=3，ab=7可得a，b是方程X23X7=0的根，再利用代数式的变形代入所求代数式即可求值【解答】解：a+b=3 ab=7，a，b是方程X23X7=0的根a23a7=0，a2=3a+7； b23b7=0，b2=3b+7；2a2+b2+3b=6a+14+3b+7+3b=6（a+b）+21=18+21=39，故答案为：39【点评】本题考查利用根与系数的关系构造一元二次方程，解题的关系是把所求代数式进行转化，属于基础题28（2016冷水江市三模）已知x1，x2是关于x的方程x2+nx+n3=0的两个实数根，且x1+x2=2，则x

35、1x2=1【分析】利用根与系数的关系求出n的值，再利用利用根与系数的关系求出两根之积即可【解答】解：x1，x2是关于x的方程x2+nx+n3=0的两个实数根，且x1+x2=2，n=2，即n=2，x1x2=n3=23=1故答案为：1【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用根与系数的关系求出n的值29（2015黄冈中学自主招生）已知实数ab，且满足（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2则的值为23【分析】根据已知条件“（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2”求出a+1、b+1是关于x的方程x2+3x3=0的两个根，然后再根据根与系数的关系求得a

36、+b=5，ab=1；最后将其代入化简后的二次根式并求值即可【解答】解：（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2（a+1）2+3（a+1）3=0，（b+1）2+3（b+1）3=0，显然，a+1、b+1是关于x的方程x2+3x3=0的两个根，x1+x2=3，即a+1+b+1=3，a+b=5；x1x2=3，即（a+1）（b+1）=ab+（a+b）+1=3，ab=1，a=，b=；，=b|b|+a|a|，=（b+a）22ab，=25+2，=23；故答案是：23【点评】本题考查了根与系数的关系、二次根式的化简求值解答此题时，如果先根据已知条件求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值，

37、那计算过程是相当的繁琐根据已知条件“（a+1）2=33（a+1），3（b+1）=3（b+1）2”可以知，“（a+1）2+3（a+1）3=0，（b+1）2+3（b+1）3=0”，仔细观察这两个等式可知：a+1、b+1是关于x的方程x2+3x3=0的两个根然后再根据一元二次方程的根与系数的关系求得a与b的数量关系，并将其代入所求的代数式求值这样，计算会变得简单多了30（2014呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x5=0的两个实数根，则m2mn+3m+n=8【分析】根据m+n=2，mn=5，直接求出m、n即可解题【解答】解：m、n是方程x2+2x5=0的两个实数根，mn=5，m+n=2，m2+2m5

38、=0m2=52mm2mn+3m+n=（52m）（5）+3m+n=10+m+n=102=8故答案为：8【点评】此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键31（2015港南区二模）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系式x1+x2=，x1x2=根据该材料填空，已知x1，x2是方程x2+3x+1=0的两实数根，则的值为7【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，根据=，代入数值计算即可【解答】解：x1，x2是方程x2+3x+1=0的两个实数根，x1+x2=3，x1x2=1=7故答案

39、为：7【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法32（2013自贡）已知关于x的方程x2（a+b）x+ab1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：x1x2；x1x2ab；x12+x22a2+b2则正确结论的序号是（填上你认为正确结论的所有序号）【分析】（1）可以利用方程的判别式就可以判定是否正确；（2）根据两根之积就可以判定是否正确；（3）利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值，然后也可以判定是否正确【解答】解：方程x2（a+b）x+ab1=0中，=（a+b）24（ab1）=（ab）2+40，x1x2故正确；x1x

40、2=ab1ab，故正确；x1+x2=a+b，即（x1+x2）2=（a+b）2，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（a+b）22ab+2=a2+b2+2a2+b2，即x12+x22a2+b2故错误；综上所述，正确的结论序号是：故答案是：【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式的关系，及一元二次方程根与系数的关系，需同学们熟练掌握33（2013黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m22m1=0，n22n1=0，则m2+n2的值是6【分析】根据题意知，m、n是关于x的方程x22x1=0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值【解答】解：由题意知，m、n是关于x的方程x

41、22x1=0的两个根，则m+n=2，mn=1所以，m2+n2=（m+n）22mn=222（1）=6故答案是：6【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法34（2013荆门）设x1，x2是方程x2x2013=0的两实数根，则=2014【分析】由原方程可以得到x2=x+2013，x=x22013；然后根据一元二次方程解的定义知，x12=x1+2013，x1=x122013由根与系数的关系知x1+x2=1，所以将其代入变形后的所求代数式求值【解答】解：x2x2013=0，x2=x+2013，x=x22013，又x1，x2是方程x2x2013=

42、0的两实数根，x1+x2=1，=x1+2013x2+x22013，=x1（x1+2013）+2013x2+x22013，=（x1+2013）+2013x1+2013x2+x22013，=x1+x2+2013（x1+x2）+20132013，=1+2013，=2014，故答案是：2014【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义对所求代数式的变形是解答此题的难点35（2013攀枝花）设x1，x2是方程2x23x3=0的两个实数根，则的值为【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，变形后将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：x1，

43、x2是方程2x23x3=0的两个实数根，x1+x2=，x1x2=，则原式=故答案为：【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键36（2012成都模拟）若，是方程x23x+1=0的两个根，则2+3=0【分析】根据一元二次方程的解的定义可以求得23=1 、由根与系数的关系知=1 ；然后将代入所求的代数式求值即可【解答】解：，是方程x23x+1=0的两个根，23+1=0，即23=1，=1；2+3=1+1=0；故答案是：0【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义、根与系数的关系解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义37（2011莆田模拟）已知x1，x2是方程x2+4

44、x+k=0的两根，且2x1x2=7，则k=5【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=4，而2x1x2=7，然后解由所组成的方程组得x1=1，x2=5，最后利用x1x2=k求得k的值【解答】解：x1，x2是方程x2+4x+k=0的两根，x1+x2=4，而2x1x2=7，解由所组成的方程组得x1=1，x2=5，x1x2=k，k=5故答案为：5【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=，x1x2=38（2010南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1（x22+5x23）+a=2，则a=8【分析】先根据根与系数

45、的关系，求出x1+x2，x1x2的值，然后化简所求代数式，把x1+x2，x1x2的值整体代入求值即可【解答】解：根据题意可得x1+x2=4，x1x2=3，又2x1（x22+5x23）+a=2，2x1x22+10x1x26x1+a=2，6x2+10x1x26x1+a=2，6（x1+x2）+10x1x2+a=2，6（4）+10（3）+a=2，a=8故答案为：8【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的两个根x1、x2具有这样的关系：x1+x2=，x1x2=39（2010长沙校级自主招生）设和是方程x24x+3=0的二根，则+的值为4【分析】根据根与系数的关系得出+=，代入求出即可【解答】解：

46、和是方程x24x+3=0的二根，+=4，故答案为：4【点评】本题主要考查对根与系数的关系的理解和掌握，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键40（2010宁阳县模拟）已知实数a、b（ab）分别满足，试求的值【分析】由题意实数a、b分别满足，可知a，b是方程x23x+=0的两根，可得a+b=3，ab=，然后再代入求解【解答】解：实数a、b分别满足，a，b是方程x23x+=0的两根，a+b=3，ab=，=；故答案为【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，关键是要根据题意找到这个方程，此题是一道很好的题41（2009河南模拟）设A是方程x2x2009=0的所有根的绝对值之和，则A2

47、=10045【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，求得A可表示成两根之差的绝对值，然后代入两根之积与两根之和求得A2的值【解答】解：对于方程x2x2009=0，设其两根是m，n必有m+n=，mn=2009mn=20090，m，n异号所以A=|m|+|n|=|mn|则A2=（mn）2=（m+n）24mn=10045故本题答案为：10045【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=42（2008鄂州）已知，为方程x2+4x+2=0的二实根，则3+14+50=2【分析】由于，为方程x2+4x+2=0的二实根，根据根与系数的关系和方程的解的意义知，+=4，

48、2+4+2=0，3=422=4（42）2=14+8，代入3+14+50中，即可求解【解答】解：、是x2+4x+2=0的二实根+=42+4+2=02=423=422=4（42）2=14+83+14+50=14+8+14+50=14（+）+58=14（4）+58=56+58=2故本题答案为：2【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=43（2007泸州）若非零实数a，b（ab）满足a2a2007=0，b2b2007=0，则：=【分析】根据已知将两式相加减，得出a+b=1，ab=2007，根据=，就可以求出代数式的值【解答】解：若非零实数a，b（ab）满足a

49、2a+2007=0，b2b+2007=0，得（ab）（a+b1）=0，ab，a+b=1，+（a+b）22ab（a+b）4014=0，a+b=1，ab=2007，=故填空答案为【点评】首先根据两个方程的共同特点，可以把它们相加减，得出ab=2007，a+b=1进而求出是解题关键44（2006肇庆）已知2是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则方程的另一个根是【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2代入计算即可【解答】解：设方程的另一根为x1，又x=2，由根与系数关系，得x1+2=4，解得x1=2+【点评】解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解45（2004厦门）已知关于x的方程x2（a+b）x+ab2=0x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：（1）x1x2；（2）x1x2ab；（3 ）x12+x22a2+b2，则正确结论的序号是（1）（3