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1、一元一次方程的概念与解法【知识要点】1一元一次方程的有关概念(1)一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程.(2)一元一次方程的标准形式是: 2等式的基本性质(1)等式的两边都加上或减去 或 ,所得的结果仍是等式.(2)等式的两边都乘以 或都除以 ,所得的结果仍是等式.3解一元一次方程的基本步骤:变形步骤具 体 方 法变 形 根 据注 意 事 项去分母 方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质2 1不能漏乘不含分母的项; 2分数线起到括号作用,去掉分母后,如果分子是多项式,则要加括号去括号 先去小括号,再去中括号,最后去大括号乘法分配律、

2、去括号法则 1分配律应满足分配到每一项 2注意符号,特别是去掉括号移 项 把含有未知数的项移到方程的一边,不含有未知数的项移到另一边等式性质1 1移项要变号; 2一般把含有未知数的项移到方程左边,其余项移到右边合并同类 项 把方程中的同类项分别合并,化成“”的形式()合并同类项法则 合并同类项时,把同类项的系数相加,字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1” 方程两边同除以未知数的系数,得等式性质2 分子、分母不能颠倒【典型例题】例1下列方程是一元一次方程的有哪些? x+2y=9 x23x=1 2x=1 3x5 3+7=10 x2+x=1例2. 用适当的数或整式填空,使得结果仍是等式,并说明是

3、根据等式的哪条性质,通过怎样变形得到的. (1)如果 (2)如果; (3)如果 (4)如果例3解下列简易方程 1 24.7-3x=11 3 4例4解方程 1 2 3 4 5 6例6取何值时,代数式 与 的值相等.例7已知方程的解与方程的解相同,求m的值.例8. 已知是关于x的方程 的解,求的值.例9当例10. 若对于任意的两个有理数m, n都有mn=,解方程3x4=2.系统讲解一元一次方程的应用【知识梳理】一、知识结构二、知识要点归纳1列方程解决实际问题的一般步骤 (1)找找准等量关系,找出能够表示题意的等量关系. (2)设设未知数,弄清题意和找准等量系后,用字母表示题目中的一个未知数. (3

4、)列列出方程,用含未知数的代数式表示出题目中的各种数量,依据找准的等量关系,列出方程. (4) 解解方程.解出所列的方程,求出未知数的值. (5) 答_作出应答,检验方程的解是否符合实际,作出回答且注明单位.水速度船速水速2.分析应用题中等量关系的一般方法(1)译式法:将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式,然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系.(2)线示法:用同一直线的线段表示应用题中的数量关系,然后根据线段的长度的内在联系,找出等量关系.(3)列表法:将已知条件和所求的未知量纳入表格,从而找出各种量之间的关系.(4)图示法:利用图表示题中的数量关系,它可以使量之间的关系更

5、为直观,更方便找出其中的等量关系.三、考查解析一元一次方程应用问题,关键是考查同学们用一元一次方程的模型解决实际问题的能力,大多数属于当基本题或中档题,学习中应抓住其核心问题建模,从等量关系入手,而不是只让学生套题型,套步骤去解应用题.【典型例题】劳动力分配问题例1.某车间有100个工人,每人平均每天可以加工螺栓18个或螺母24个,要使每天加工的螺栓与螺母配套(一个螺栓要配两个螺母)应如何分配加工螺栓、螺母的工人?分析:等量关系为螺栓数:螺母数12.设加工螺栓人数为,则加工螺栓的总数为18个,加工螺母总数为24(100)个.解:设加工螺栓的人数为人,依题意有解得(人).加工螺母的人数为1001

6、004060(人)答:应分配40人去加工螺栓.点评:此题重点是培养学生寻找等量关系的意识和能力.等体积问例2.一个圆柱形水桶,底面半径为11cm,高25cm,将满桶的水倒入底面长30cm,宽20cm的长方体容器,问此长方体容器的高度至少要多少才不溢出水(取3.14,结果精确到0.1cm)?分析:从相等关系入手,即圆柱形容器积长方体器容积.解:设长方体容器的高为cm,依题意,有30202511,解方程,得15.9cm,答:长方体容器的高至少需要15.9cm.点评:“等积变换”是中学数学的常用方法,要让学生理解和把握这方法,并能在实际问题中灵活应用.盈亏问题例3.某服装个体户同时卖出两套服装,每件

7、都以135元出售,按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏本25%.(1)在这次买卖中,这位个体户是赔是赚还是正好保本?(2)若将题中的135元改成为任何正数元,情况如何?分析:关键把握等量关系:进价(1盈利率)售价,进价(1亏本率)售价.解:(1)设第一件进价为元,则,解得,设第一件进价为元,则,解得,而.所以赔18元.(2)仿前一小题方法可得:及,解得,,而,所以此时仍然是亏本.点评:解决该题的关键是把握住此类问题中的几个等量关系,同时理解好一些常用“词”:如:打八折,进价,售价,盈利10%,亏本20%等.拓广:在例3中,将题中的135元改为任何正数元,同时又将题中的25%改为m%0100

8、情况如何?工程量问题例4.甲、乙两水管往水池中注水,甲管单独打开用20小时可注满一池水,乙管单独打开用40小时可注满一池水.现在甲管单独打开8小时后,乙管才开始工作,问两管一起打开后需多少小时可注满水池?分析:利用等量关系,甲管工作量乙管工作量1,来解题,为了理清工作量的关系,可列表如下:(设两管一起开后小时可注满全池)甲管乙管工作总量工作效率1工作时间8x工作量解:设两管一起打开后小时可注满全池,依题意,得.解得(小时),答:两管一起打开后8小时可注满水池.点评:“列表法”在分析等量关系中,有其特点,但重点还应是在培养学生寻找等量关系的意识和能力上,提高“建模”能力.行程问题例5.由甲地到乙

9、地前的路是高速公路,后的路是普通公路,高速公路和普通公路交界处是丙地.A车在高速公路上的行驶速度是100千米/时,在普通公路的行驶速度是60千米/时.B车在高速公路上的行驶速度是110千米/时,在普通公路上的行驶速度是70千米/时.A、B两车分别从甲、乙两地同时出发相向行驶,在距离丙地44千米处相遇,求甲、乙两地之间的距离是多少?分析:本题在相遇过程中A、B两车同时出发相向而行至相遇如图351所示,相等关系是A车行驶时间B车行驶时间.距丙地44千米处,有两种可能,(1)相遇处在高速公路上距丙地44千米,(2)相遇处在普通公路上,解题时要考虑到这两种情况,再根据实际取舍.解:设甲、乙两地相距x千

10、米,A车从甲地到丙地,需要(小时),B车从乙地到丙地,需要(小时),A、B两车只能在高速公路上距丙地44千米处相遇.列方程得解得.答:甲、乙两地之间的距离是441千米.点评:“线示法”分析等量关系比较方便.但要注意分类讨论各种情况,以免挂一漏万.利息问题例6.大宝、小宝共利用假期打工1000元,大宝把他的工钱按一年期教育储蓄存入银行,年利率为1.98%,免收利息税,小宝把他的工钱买了月利率为2.15%的债券,但要交纳20%的利息税,一年后两人得到的收益恰好相等,问两人的压岁钱各是多少?分析:抓住这一问题的等量关系.1.利息(免税的)存入钱数年利率,2.利息(不免税的)存入钱数年利率(1税率),

11、3.大宝的收益小宝的收益.解:设大宝的工钱为元,则小宝的工钱为(1000)元,由题意,得.解得(元),1000=490(元).答:大宝的工钱是510元,小宝的工钱是490元.【自我测试】一、基础测试1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,则轿车从开始追及超越卡车,需要花费的时间约是()A.1.6秒B.4.32秒C.5.76秒D.345.6秒2.有一旅客携带30公斤行李从某机场乘飞机返回绵阳,按民航规定,旅客最多可免费携带20公斤行李,超重部分每公斤按飞机票价格的1.5%购行李票,已知该旅客现已购行李票60元,则它的飞机票价为 (

12、)A.300元B.400元C.600元D.800元3.一年期定期储蓄年利率为2.25%,所得利息要交纳20%的利息税,已知某储户有一笔一年期定期储蓄到期纳税后得利息450元,问该储户存入多少本金?4.某商品的进货单价为280元,按25%的利润率确定售价.后因市场发生变化,决定按原定价格的八五折出售,问这时每售出一件这种商品,商店获利多少?5.用内径18毫米的圆柱形试管盛满水后,向一个底面是边长为22毫米的正方形,高是15毫米的空长方体容器内倒水,倒满容器后试管内水面下降约多少毫米?6.一艘船在甲、乙两地之间航行,顺水要3小时,逆水要3.5小时,已知船在静水中航行速度是每小时26千米,求水流速度

13、.7.两人在环形跑道上同向急走,一圈为400米,甲的速度为平均每分钟80米,乙的速度是甲的1.25倍,如果乙在甲的前面100米,多少分钟后两人相遇?8.某人原计划骑车以12km/h的速度由A地去B地.这样可在规定时间内到达B地.但他因事将原计划出发的时间推迟了20min,只好以15km/h的速度前进,结果比规定时间早4min到达B地,求A、B两地的距离?二、综合能力测试题1.某商店先在广州以每件15元的价格购进一种商品10件,后来又到深圳以每件12.5元的价购进同样商品40件,如果商店销售这些商品时,要获利12%的利润,那么这种商品的销售价应该是_.2.有一卷铁丝,第一次用去了它的一半少1m,第二次用去了剩下的一半多1m,结果还剩下10m,这卷铁丝原长多少?3.有大中小三个正方形水池,它们的内池分别为6m、3m、2m,把两堆碎石分别沉浸在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6cm和4cm,如果将这两堆碎石都沉浸在大水池的水里,大水池的水面升高了多少厘米?4.有一火车以每分钟600m的速度要过完第一、第二座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥多用5分钟,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50m,

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