暑假初一升初二数学提高班教材16讲

1、汇世纪教育（包含集团旗下高端个性化教育品牌学远教育）创办于2004年，专业从事中小学生课外文化辅导教育，企业以“促进区域教育公平，共享优质教育资源”为使命，致力于将优质教育资源、先进教学模式、专业教学服务提供到中小县城，帮助三四线城市的中小学生获得更好的教育和发展机会。经过多年的发展，在众多一线教育专家加盟及教育研究院成立的基础上，目前已经建立起了从小学到高中的基础教育全体系文化辅导资源库。现提供多种类型的教学和咨询服务，包括精准1对1 、品学小课堂，精品小班和天天向上班，所授课程涵盖小学、初中、高中的文化课程。为广大学子提供全方位的课程产品和优质贴心的服务。汇世纪教育目前已成为湖南省美誉度颇

2、高的教育机构之一，先后被评为“优秀课外辅导教育机构”，“十佳课外辅导机构”，“诚信办学机构”。荣誉与责任并存，创新与发展共进，汇世纪教育将立足长远，始终坚持国家的教育改革方针，为缩小我国县级城市与一二线城市的教育资源严重不均衡的现状，为改善地区性教育水平差距不断耕耘。初一升初二,你准备好了吗?做好衔接，快人一步!假如用一句话概括初中：那就是初一是希望，是习惯养成的关键期；初二是分化期，是同学们差距出现的时候；初三是拼搏，是同学们实现人生理想的第一次真正的奋斗。初二是初中的一个重要时段，这一阶段你对知识的掌握程度，直接影响着你的中考成绩，学习上并没有初一那样绝对的“轻松”，面对初二的最大问题就是

3、分化，简单概括为好的更好，差的更差。 那么为什么有的同学进入新的学年后，成绩突飞猛进，原本的差生摇身一变上了全班前几名，这到底是为什么呢?那些新学期的优等生是如何炼成的呢?其实优等生的秘密就在暑假里!新学年衔接辅导让很多差生或中等生在暑假里突飞猛进，进入陌生却早已熟悉的新学期后，他们自然早已快人一步，学习倍轻松!在初二，数学、语文、英语、物理要作为重点来安排学习，除了上课认真听讲，课后70%的精力要花在这些主课上。初二时，每门主科都要做到出现问题立刻解决掉，因为到了初三，未解决的知识漏洞不但会影响新知识的学习，更重要的是没时间来补回前面出现的问题（初三的新知识集中在上学期学完，下学期进入复习，

4、学习任务很繁重）。初二后半学期，地理、生物要结业，听好课，掌握必要的知识即可。第一讲二元一次方程组（1）5第二讲二元一次方程组（2）10第三讲整式的乘法15第四讲乘法公式20第五讲提公因式法24第六讲公式法及其十字相乘法27第七讲整式的乘法和因式分解复习31第八讲平行线的性质和判定35第九讲垂线和两条平行线间的距离39第十讲分式的认识和它的基本性质43第十一讲分式的乘、除法及乘方47第十二讲整数的指数幂52第十三讲分式的加、减法57第十四讲分式方程62第十五讲分式方程的应用67第十六讲分式（复习）72第一讲 二元一次方程组(1) 1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方

5、程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by+c=0且a,b不等于02、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。例1下列方程：; 其中

6、是二元一次方程的有 例2判断下列各对数值，哪一对是二元一次方程组的解（1） （2）例3用代入消元法解下列方程组：例4用加减消元解方程组： 例5已知二元一次方程组 的解是,则a+b的值为_。例6如果的解都是正数，那么a的取值范围是（ ）（A）an，a0），（ab）n=_ _（n为正整数）总结1单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即注：这里、和都表示单项式3多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加，如：例1化简（a-b

7、）3（b-a）2（b-a）3。 例2计算 ：（a+b-1）（a-b+1）。 例3 已知一个多项式与单项式xy的积为xyxyy（xy），试求这个多项式.例4 已知多项式能被整除，且商式是，求代数式的值。一、填空题：1-x3y2z的系数是_，次数是_，x2-xy+1是_次_项式。2若x2m-1y2m与-x5yn+7是同类项，则（m-n）-1的值为_3若a-=3，则a2+的值为_。二、选择题4下列运算正确的是()A B C D5下列关系式中，正确的是()A BC D.6已知4n-m=4，则（m-4n）2-3（m-4n）-10的值是（ ） A-6 B6 C18 D-387如图（1），在边长为a的正方形

8、中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一个长方形如图（2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）Aa2-b2=（a+b）（a-b） B（a+b）2=a2+2ab+b2C（a-b）2=a2-2ab+b2 D（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2三简答题8计算：（1）； （2）运用乘法公式计算：19922008 （3）若3x2-mxy+6y2是一个完全平方式，求m的值9先化简再求值：，其中，10已知A=5x2-mx+n，B= -3y2+2x-1，若A+B中不含有一次项和常数项，求m2-2mn+n2的值。11有一列数：第一个数为x1=1，第二个数

9、为x2=3，第三个数开始依次记为x3，x4，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两个数和的一半（如x2=） （1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程； （2）根据（1）的结果，推测x8=_ （3）探索这一列数的规律，猜想第K个数Xk=_（K是大于2的整数） 1下列计算正确的是（ ）AB. C. D. 2化简（ ）AB. C. D. 3的计算结果是（ ）AB. CD. 4.先化简,再求值，其中第四讲 乘法公式 1完全平方公式：；即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式2完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右

10、边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍3公式的推广：； ；4.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。这个公式叫做乘法的平方差公式5.公式的结构特征左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。一、.完全平方公式的应用例1计算：（1） （2） （3）例2已知，求和的值例3 用简单方法计算 （1） （2）例4 已知，求和的值例5 已知，求、的值二.利用平方差公式计算1、位置变化：（1）（2）2、符号变化：（3）（4）3、系数变化：（5）（6）4

11、、指数变化：（7）（8）5、增项变化（1）（2）（3） （4）6增因式变化（1）（2） 1下列等式不成立的是（ ） A、 B、 C、 D、 2下列各式中计算结果是的是（ ）A、 B、 C、 D、 3计算：的结果等于（ ）A、 B、 C、 D、 4若，则因式（ ）A、 B、 C、 D、5等于（ ） ABCD6在；中，运算正确的是（ ） A.B.C.D.7若，那么代数式M应是（ ）ABCD1（ ）=2 已知，求的值和的值3 计算（1）； （2） （3） 第五讲 因式分解 提公因式法1. 因式分解的概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式

12、分解因式。2. 提取公因式确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公约数，再取各项相同字母的最低次幂，合起来就是这个多项式的公因式。如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。总结 公因式的系数： 字母： 相同字母的指数：例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x2)=x2+x6 B. axay+1=a(xy)+1 C. x2=(x+)(x) D. 3x2+3x=3x(x+1)例2 写出下列多项式中的公因式：（1）

13、（2） （3） （4） （5） （6）例3利用提公因式法分解因式：（1） （2） 例4 把a24a多项式分解因式，结果正确的是（）Aa（a4）B（a+2）（a2）Ca（a+2）（a2）D（a2）24例5把多项式（m+1）（m1）+（m1）提取公因式（m1）后，余下的部分是（）Am+1B2mC2Dm+2例6已知（19x31）（13x17）（13x17）（11x23）可因式分解成（ax+b）（8x+c），其中a，b，c均为整数，则a+b+c=（）A12B32C38D72一、判断题1一个多项式若能因式分解,则这个多项式被其任一因式除所得余式为0 （ ）2 因式分解:x4y5+x2y2xy=xy(x3

14、y4xy) （ ）3 分解因式:(ab)(m2)(ba)(n+3)=(ab)(mn5) （ ）二、选择题 1下列变形中,属于因式分解的是 _ （ ）A(a+b)(ab)=a2b2 Bx2y2+4y4=(x+y)(xy)+4(y1)Ca3b3=(ab)(a+ab+b) Da210a+10=a(a10)+10 2计算(2)11+(2)10的结果是 _ （ ）A(2)21 B210 C210 D2 3a2x+aya3xy在分解因式时，应提取的公因式是 _ （ ）A(2)21 B210 C210 D24 49x3yz3+14x2y2z221xy2z2在分解因式时应提取的公因式是 _ （ ）A7x3yz

15、3 B7x2y2z2 C7xy2z2 D7xyz25 多项式0.5x(ab)0.25y(ba)中,可提取公因式 _ （ ）A0.5x+0.25y B0.5x+0.25yCa+b D0.25(ab)6 (a)m+a(a)m1的值是 _ （ ）A1 B1 C0 D(1)x+1 7 下列各恒等变形中,是因式分解的是 _ （ ）Aa22ab+b2=(ab)2 B(a+b)2=a2+2ab+b2Ca2b+ab2+c=ab(a+b)+c Da22ab+b2c=(ab)2c8 多项式3x2n9xn分解因式的结果是 _ （ ）A3(x2n+3xn) B3(x2n3xn)C3xn(xn+3) D3xn(x2+3

16、)9 (2)2n+1+2(2)2n其结果是 _ （ ）A22n+1 B22n+1 C0 D(2)2n+2 10 3m(xy)2(yx)2分解因式为 _ （ ）A(xy)(3m+2x2y) B(xy)(3m2x+2y)C(yx)(2y2x+3m) D(yx)(2x2y+3m)三、填空题1 分解因式:4m3+16m26m =_2 5m(a+b)ab=(a+b) _1分解因式：ab2+a=_xy3x=_a2b2ab2=_2已知：a+b=3，ab=2，求：a2b+ab2第六讲 公式法及其十字相乘法 运用公式法平方差：完全平方：十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的

17、积，并且等于一次项系数中，那么它就可以分解成（2）二次项系数不为1的二次三项式中，如果能把二次项系数分解成两个因数的积，把常数项分解成两个因数的积，并且等于一次项系数，那么它就可以分解成： 。分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用公式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的，即=，这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法例1.分解因式：（1） （2） （3）（4） （5） （6）例2.已知、是ABC的三边，且满足，求证：ABC为等边三角形。例3因式分解的应用：1、可以被60与70之间的两个整数整

18、除，求这两个数。2、若的值。例4.探索与创新：【问题一】（1）计算：（2）计算：【问题二】如果二次三项式（为整数）在整数范围内可以分解因式，那么 可以取那些值？一 填空题：1、； 。2、分解因式： ； ； 。3、计算：19982002 ， 。4、若，那么 。5、满足，分解因式 。二、选择题：1、把多项式因式分解的结果是（ ）A、 B、 C、 D、2、如果二次三项式可分解为，则的值为（ ）A、1 B、1 C、2 D、23、若是一个完全平方式，那么的值是（ ）A、24 B、12 C、12 D、24三、解答题：1、因式分解：（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9）一直接写出

19、下列因式分解的结果：（1） （2）（3） （4）（5） （6）二解答题：1、已知，求的值。2、已知是ABC的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。第七讲 整式的乘法和因式分解复习1因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解与整式的乘法是互为_运算。2因式分解的方法：（1）提取公因式法（首先考虑的方法）、应用公式法、分组分解法、十字相乘法（2）公式：a2-b2=_，a22ab+b2=_。 3因式分解的一般步骤先看有没有公因式，若有立即提出；然后看看是几项式，若是二项式则用平方差；若是三项式用完全平方公式。4因式分解时要分解到不能再分解为止，还要注意题目要求什么范围内分解。5因式

20、分解是式的变形的基本功，用处很大，必须熟练掌握，分解时要又快又准。 本节主要考查因式分解的熟练掌握程度，特别是几个基本公式；属基础题，常以填空题，选择题的形式出现。典例精析例1分解因式（1） m2（m-n）2-4（n-m）2（2）2a（x-y）3+2a3（y-x）例2分解因式（1）-x3+2x2-x； （2）-xn+3+xn+1。一、填空题：1分解因式：16x2 -9y2 = 。分解因式：a3 +2a2 +a = 。2一个矩形的面积为a3-2ab+a，宽为a，则矩形的长为 。3计算= 。二、选择题4下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是( ).A a(x +y) = ax + ay B .x

21、2 -4x + 4 = x(x-4) +4C 10x2 -5x =5x(2x -1) D .x2 -16 +3x = (x +4)(x -4) +3x5下列各式中，能用提公因式法分解因式的是( ). A x2 -y B. x2 +2x C x2 +y2 Dx2 -xy +y26利用因式分解简便计算57 99 + 44 99 -99正确的是( ).A99 (57 +44 ) =99 101 = 9999 B99 (57 +44 -1) =99 100 =9900C9 (57 +44 +1) =99102 =10098 D99(57 +44 -99) =992 =1987有三种卡片，其中边长为的正

22、方形卡片张，边长分别为，的矩形卡片张，边长为的正方形卡片张用这张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为_A3a+2b B 2a+3b C3a+b D三、解答题8分解因式（1）2m(a-b)-3n(b-a) （2）x 3-9x . (3) （a+b）26（a+b）+9 （4）.a 2+a+ (5) 3（xy）36（yx）2 （6）（8）x 4 2x 2+1 （8）（9）（10）已知1x+ x2x3x4=0，求1x+ x2x3x19999已知是ABC的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状。1、下列从左到右的变形,属于分解因式的是( ) A. (x+3)(x2)=x2+x6 B. axay+1=

23、a(xy)+1 C. x2=(x+)(x) D. 3x2+3x=3x(x+1)2 、若多项式x2+ax+b可分解为(x+1)(x2),试求a、b的值。3把多项式2(x2)2(2x)3分解因式的结果是（ ） A.(x2)2(4x) B. x(x2)2 C.x(x2)2 D.(x2)2(2x)4. 分解下列因式1. 2.3. 4. 第8讲 平行线的性质和判定 平行线的性质和判定 1两直线平行，同位角相等 2两直线平行，内错角相等 3两直线平行，同旁内角互补 4垂直于两平行线之一的直线，必垂直于另一直线两直线平行的判定方法 1平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行 2平行线的判定定理1：内错角相等

24、、两直线平行 3平行线的判定定理2：同旁内角互补、两直线平行 4平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行 5垂直于同一直线的两条直线平行例1 如图，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分，若，求。123ABCDEFG1234ACBMNE例2 已知：如图直线MN的同侧有三个点A、B、C，且，求证：A、B、C三点在同一直线上。例3 如图所示，ABC=ADC，BF、DE是ABC、ADC的角平分线，1=2，求证：DCAB。ABCDEF123例4 如图，若1=4，1+2=180，则AB、CD、EF的位置关系如何？ 例5 已知：如图，求证：CDEBA例6 如图，已知，B=140，D=150，E=7

25、0，求证：ABCD。ABCDEF1已知，如图1，1=ABC=ADC，3=5，2=4，ABC+BCD=180。(1)1=ABC(已知)AD ( ) (2)3=5(已知)AB ( )(3)2=4(已知) ( )(4)1=ADC(已知) ( )图2ABCD1243(5)ABC+BCD=180（已知） ( ) 2如图2所示，已知1=2，3=4，由1=2，可判定_；由3=4，可判定_.ABCDEF1234567图33如图3所示，填空： 1=2，（已知）_（ ） 2=3，（已知）_（ ） 4=7，（已知）_（ ） 由可得_（ ）4如图，已知ACDE，1=2。求证：ABCD。ABCDE12ABCDE125已

26、知，如图，ABCD，1=B，2=D。求证：BEDE。21ABEFCD6如图，若 。ABCDEFGE121如图所示，若，求度数。2如图所示，已知ABEF，求证：BCF=B+F。ABCDEF123给下列证明过程填写理由ABE13CDF24 已知：如图4所示，ABBC于B，CDBC于C，1=2，求证：BECF 证明：ABBC于B，CDBC于C,（ ） 1+3=90，2+4=90（ ） 1与3互余，2与4互余（ ） 又1=2，（ ）图3 _=_（ ） BECF（ ）第9讲 垂线和两条平行线间的距离 1. 垂直当两条直线相交所成的角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直.如图，AB与CD相交于O，当

27、交角90时，称AB与CD垂直，记作ABCD与O. 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2.垂直的性质：经过一点（已知直线上或直线外），有且只有一条直线与已知直线垂直.PA4 A3 A2 A1 ol3.垂线段的概念：从直线外一点到这条直线所引的直线中点与垂足之间的线段叫做垂线段。4.垂线段的性质：直线外一点到这条直线的所有连线中，垂线段最短。如图：5. 点到直线距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.6. 两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。例1.如图，CDAB，CD=DB，DB=3，求C到

28、AB的距离；ADC=，BDC=例2如图，直线AB与CD不平行，点M在AB上，MNCD于N则下列4个判断中，正确的判断有_.(1)线段NM的长度是直线AB，CD之间的距离；(2)线段NM的长度是点M到直线CD的距离；(3)线段MN的长度是点N到直线AB的距离；(4)线段MN是点M与点N之间的距离例3 如图，在面积为12cm2的长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，则AD与BC之间的距离为 ( )A3cm B4cm C6cm D不能确定例4 如图，ADBC，AD=BC，E是 AD上任意一点，已知SEBC =5求：四边形ABCD的面积例5 如图，已知直线l1l2，点A，B在直线l1上，点C，

29、D在直线l2上，则ACD与BCD的面积相等吗?请说明理由一、选择题1过线段MN的中点，画直线lMN，若MN=5cm，则点M到直线l的距离为 ( )A5cm B25cm C10cm D不能确定2在同一平面内，与已知直线的距离等于4cm的直线有( )A1条 B两条 C无数条 D不能确定3将一条线段沿某一方向平移，记平移的距离为m，线段和它的像的距离为n，则( )Am = n Bm n Cm n Dm n4如图，已知l1l2，ABCD，CEl2于点E，FGl2于点G，下列说法中不正确的是 ( )AABD=CDE BCE=FGCA，B两点间的距离就是线段AB的长度Dl1与l2之间的距离就是线段CD的长

30、度二、填空题5已知l1l2l3，l1与l2之间的距离为3cm，l2与l3之间的距离为4cm，则l1与l3之间的距离为_cm6已知ABC的面积为l5cm2，AC=5cm，直线DE经过点B且平行于AC，则DE与AC之间的距离为_7两条平行的铁轨间的枕木的长度都相等，依据的数学原理是_.三、解答题8如图，已知直线a和线段b，求作一条直线l，使la，且与直线a的距离等于b9如图，已知ABCD，ADBC，AC=15cm，AD=12cm，BEAC于点EBE=10cm求：AD，BC之间的距离10如图，已知平行四边形ABCD的周长为25cm，对边的距离分别为DE=2cm，DF=3cm求：这个平行四边形的面积1 把直线l沿某一方向平移3cm，得平移后的像为b，则直线a与b之间的距离为 ( )A等于3cm B小于3cm C大于3cm D等于或小于3cm2如图，线段AB=2cm，把线段AB向右平移3cm，得到线段DC，连结B，C和A，D则四边形ABCD的面积为 （ ）A4cm2B9cm2C6cm2D无法确定 3如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于DFGAB与CD相交于E，下列叙述不正确的是 ( )A点C到AB的距离是线段