高考数学大一轮复习 2.5指数与指数函数 理 苏教版

1、2.5指数与指数函数,数学 苏（理,第二章 函数概念与基本初等函数,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是 (a0，m，nN*，且n1)；0的正分数指数幂等于 ；0的负分数指数幂,没有意义,0,2)有理数指数幂的运算性质：aras ，(ar)s ，(ab)r ，其中a0，b0，r，sQ,ars,ars,arbr,2指数函数的图象与性质,R,0，,0,1,y1,0y1,0y1,y1,增函数,减函数,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)

2、( )44.() (2) .() (3)函数yax是R上的增函数() (4)函数y (a1)的值域是(0，)(,5)函数y2x1是指数函数() (6)函数y( )1x的值域是(0，)(,解析,令t2x，0 x2，1t4,题型一指数幂的运算,思维点拨,解析,思维升华,题型一指数幂的运算,可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算,思维点拨,解析,思维升华,题型一指数幂的运算,解原式,思维点拨,解析,思维升华,题型一指数幂的运算,1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序,思维点拨,解析,思维升华,题

3、型一指数幂的运算,2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,可先将根式化成分数指数幂，再利用幂的运算性质进行计算,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,思维点拨,解析,思维升华,1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序,思维点拨,解析,思维升华,2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数,

4、思维点拨,解析,思维升华,2x2y,2) =_,题型二指数函数的图象和性质,例2 (1)函数f(x) axb的图象如图所示， 其中a，b为常数， 则下列结论正确的是_ a1，b1，b0； 00；0a1，b0,答案,思维升华,解析,题型二指数函数的图象和性质,例2 (1)函数f(x) axb的图象如图所示， 其中a，b为常数， 则下列结论正确的是_ a1，b1，b0； 00；0a1，b0,由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1. 函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0,答案,思维升华,解析,题型二指数函数的图象和性质,例

5、2 (1)函数f(x) axb的图象如图所示， 其中a，b为常数， 则下列结论正确的是_ a1，b1，b0； 00；0a1，b0,由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1. 函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0,答案,思维升华,解析,对与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象,题型二指数函数的图象和性质,例2 (1)函数f(x) axb的图象如图所示， 其中a，b为常数， 则下列结论正确的是_ a1，b1，b0； 00；0a1，b0,答案,思维升华,解析,例2 (2)已

6、知函数f(x)2|2xm| (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_,答案,思维升华,解析,答案,思维升华,解析,例2 (2)已知函数f(x)2|2xm| (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_,而y2t为R上的增函数， 所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增,所以m的取值范围是 (，4,答案,思维升华,解析,例2 (2)已知函数f(x)2|2xm| (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_,而y2t为R上的增函数， 所以要使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增,所以m的取值范围是 (，4,答案,

7、思维升华,解析,例2 (2)已知函数f(x)2|2xm| (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_,，4,对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究,答案,思维升华,解析,例2 (2)已知函数f(x)2|2xm| (m为常数)，若f(x)在区间2，)上是增函数，则m的取值范围是_,，4,跟踪训练2(1)若函数y2x1m的图象不经过第一象限，则m的取值范围是_,y2x1m的图象过点(0,2m)， 令2m0得m2,，2,2)若函数f(x)ax1(a0且a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_,a212，即a,当0a1时，x0,2，y

8、a21,0,此时定义域与值域不一致，无解,综上，a,解析,思维升华,解函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方 的图象沿x轴 翻折到x轴上 方得到的， 函数图象如图所示,解析,思维升华,当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解； 当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解,解析,思维升华,当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解,解析,思维升华,对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数； 解决有

9、关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构,解析,思维升华,解析,思维升华,例3 (2)已知定义在R上的函数f(x)2x . 若f(x) ，求x的值； 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围,解 当x0时，f(x)0，无解,例3 (2)已知定义在R上的函数f(x)2x . 若f(x) ，求x的值； 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围,解析,思维升华,例3 (2)已知定义在R上的函数f(x)2x . 若f(x) ，求x的值； 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围,2x0，2x2，即x

10、1,解析,思维升华,例3 (2)已知定义在R上的函数f(x)2x . 若f(x) ，求x的值； 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围,即m(22t1)(24t1,22t10， m(22t1,t1,2， (22t1)17，5， 故m的取值范围是5，,解析,思维升华,例3 (2)已知定义在R上的函数f(x)2x . 若f(x) ，求x的值； 若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围,对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提，方程f(x)g(x)解的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数； 解决有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个

11、新的函数，搞清复合函数的结构,解析,思维升华,跟踪训练3(1)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_,所以ymax(a1)2214，解得a3(负值舍去,跟踪训练3(1)如果函数ya2x2ax1(a0，a1)在区间1,1上的最大值是14，则a的值为_,2)若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_,当0a1时，如图(1)，则02a1， 即0a,2)若关于x的方程|ax1|2a (a0且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_,综上，0a,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提

12、醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,1)误认为a1，只按一种情况求解，而忽略了0a1的情况，从而造成失误当底数不确定时应分类讨论 (2)搞错或忽视x22x的范围造成失误,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,解令tx22x(x1)21,1)若a1，函数f(x)at在1,0上为增函数,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,2)若0a1，函数f(x)at在1,0上为减函数,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨

13、提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a1和0a1两种情况讨论,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,易错警示系列4 忽略对底数的讨论致误,2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围,易 错 分 析,规 范 解 答,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1通过指数

14、函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较,2指数函数yax (a0，a1)的性质和a的取值有关，一定要分清a1与0a1,3对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成,失 误 与 防 范,1恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来,2复合函数的问题，一定要注意函数的定义域,3对可化为a2xbaxc0或a2xbaxc0 (0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,1.函数f(x)ax21(a0且a1)的图象必经过点_,2,2,解

15、析a01，f(2)2， 故f(x)的图象必过点(2,2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2.已知(0.71.3)m(1.30.7)m，则实数m的取值范围是_,解析由0.71.30,0，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,3.若函数f(x)a|2x4|(a0，a1)，满足f(1) ，则f(x)的单调递减区间是_,由于y|2x4|在(，2上单调递减，在2，)上单调递增,所以f(x)在(，2上单调递增，在2，)上单调递减,2，,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,5.已知实数a，b满足等式2 015a2 016b，下列五个关系式：0b

16、a；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有_个,解析设2 015a2 016bt，如图所示,由函数图象，可得 (1)若t1，则有ab0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2)若t1，则有ab0； (3)若0t1，则有ab0. 故可能成立，而不可能成立. 答案 2,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,6.若指数函数yax在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数a_,解析若0a1，则a1a1,若a1，则aa11，即a2a10,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,7.已知正数a满足a22a30，函数f(x)ax，若实数m

17、、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_,解析a22a30，a3或a1(舍). 函数f(x)3x在R上递增，由f(m)f(n)，得mn,mn,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,解析令axxa0即axxa，若0a1，显然yax与yxa的图象只有一个公共点,8.若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_,1，,若a1，yax与yxa的图象如图所示有两个公共点,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,9.已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a，b满足ab0. (1)若ab0，判断函数f(x)的单调性,解 当a0，b0时，任意x1，x2R，x1x2,f

18、(x1)f(x2)0，函数f(x)在R上是增函数,当a0，b0时，同理，函数f(x)在R上是减函数,则f(x1)f(x2)a( )b(,0a( )0,0b( )0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2)若abf(x)时x的取值范围,解 f(x1)f(x)a2x2b3x0,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,10.已知函数f(x)bax(其中a，b为常数且a0，a1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24). (1)试确定f(x,解 f(x)bax的图象过点A(1,6)，B(3,24,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,得a24，又a0且a1， a2，b3， f(x)32x,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,则g(x)在(，1上单调递减,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,1.设f(x)|3x1|，cf(a)f(b)，则下列关系式中一定成立的是_. 3c3b; 3b3a； 3c3a2; 3c3a2,解析画出函数f(x)的图象,易知c0. 又f(c)f(a,2,3,4,5,1,3c1|3a1|， 13c3a