导数经济分析中的应用

1、第六节 导数在经济分析中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微分)在经济分析中的一些简单应用,在经济学中我们关心的是当自变量取得一个很小的改变量时, 函数的变化率是多少, 以及如何用瞬时变化率近似描述平均变化率. 这种研究问题的方法, 称之为边际分析,一、边际概念,定义1 设 y=(x)为可导函数, 则称(x)的导函数 为 (x) 的边际函数. 在点 x0的值 称为(x)在 x0 处的边际函数值(或变化率、变化速度等,在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义). 故有,在经济分析中,常略去“近似”二字,就

2、得(x) 在 x0 处的 边际值,经济意义: 即当自变量 x 在 x0 的基础上再增加一个单位时, 函数 f(x) 的改变量,1. 边际成本,二、经济学中常见的边际函数,总成本函数 C = C(Q ) 的导数,例1 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本 C(元)与日产量 x (件)的 函数为,称为边际成本函数,求: (1) 日产量75件时的总成本和平均成本,2) 当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量,3) 当日产量为75件时的边际成本,解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本,2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量

3、,C(75)/75 = 106.08 (元/件,C(75) = 7956.25(元,3) 当日产量为75件时的边际成本,2. 边际收益,总收益函数 R= R(Q) 的导数,称为边际收益函数,例2 某企业产品的市场需求函数为,其中P为价格, Q为需求量. 求,P 0.1Q 80,1) 总收益函数; (2) 边际收益函数,3) 计算Q = 200和Q = 450时的边际收益, 并解释其经济意义,解 (1) 总收益函数为,R = R(Q) = P Q = 80Q 0.1Q 2,2) 边际收益函数为,3)计算Q = 200 和 Q = 450时的边际收益分别为,即当Q=200个单位时,边际收益为40,

4、 其经济意义是销售量 在200个单位的基础上多销售一个单位产品时, 收益将 增加40个单位; 而当Q=450单位时, 边际收益为10, 其 经济意义是销售量在450个单位的基础上多销售一个单位,当销售量为Q, 总利润为L=L(Q)时, 称 为销售量 为Q 时的边际利润, 它近似等于销售量为Q 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润,3. 边际利润,总利润函数 L= L(Q ) = R (Q ) C (Q ) 的导数,称为边际利润函数,产品时，收益将减少10个单位,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x,边际利润函数为,2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的,

5、边际利润分别是,三、弹性分析,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一个量对另一个量的相对变化率的一个量,1) 若 y = (x)在点 x0 处可导. 则它在 x0 处的点弹性为,3) 弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关,4) 弹性函数为,时，x 与y 的变化方向相同(相反),由弹性定义可知,例4 当a、b、k为常数时, 求下列函数的弹性函数及在点 x = 1处的点弹性, 并阐述其经济意义,解,的经济意义是: 函数(x)在 x = 1处,四、需求价格弹性,称为需求价格弹性,需求函数 Q = Q( P ), 其中Q为需求量, P

6、 为价格. 显然, 需求 函数为单调减少的函数. 因此, 需求函数的导数 均非正数. 我们将,注 任何需求函数对价格之弹性 , 均满足,解,在某价格处, 根据需求价格弹性的大小, 可分为三种情况,当 时, 需求量增加的幅度大于价格降低的幅度, 称需求弹性为高(富于)弹性. 如奢侈品,当 时, 需求量下降的幅度小于价格提高的幅度, 称需求弹性为低(缺乏)弹性. 如必需品,注：需求价格点弹性的大小不仅与商品的性质有关，还与某点的价格有关,3) 当 时, 需求量下降的幅度等于价格提高的幅度, 称需求为单位弹性,在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(p 0)或降价(p 0)对总收益的影响.下面利用需

7、求弹性的概念,可以得出价格变动如何影响总收益的结论,利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响,总收益 R 对 P 的导数是总收益关于价格的边际收益,总收益 R 表示为价格 P 的函数需求函数,在某价格处, 根据需要价格弹性的大小, 可分为三种情况,1) 若 (称为高弹性)时, 则R 与p 异号. 此时, 降价(p 0)将使收益减少,2) 若 (称为低弹性)时, 则R 与p 同号. 此时,降价(p 0)将使收益增加,3) 若 (称为单位弹性)时, 则 . 此时, 无论是降价还是提价均对收益没有明显的影响,当 p = 5 时, (高弹性), 此时降价使收益增加; 提价使收益减少,当 p = 4.35 时, (单位弹性), 此时, 降价、提价对收益没有明显的影响,由此对例5而言,下面利用需求弹性的概念, 还可以得出价格变动如何影响需