导数在经济中的应用

1、4.7 导数在经济中的应用,导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或微 分)在经济中的一些简单的应用,一.边际分析与弹性分析,边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研 究经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性 分析,1.边际函数,定义 经济学中,把函数(x)的导函数 称为(x)的边际 函数. 在点 的值 称为(x)在 处的边际值(或变化 率、变化速度等,在经济学中, 通常取x =1, 就认为x达到很小(再小无意义). 故有,实际问题中, 略去“近似”二字, 就得(x)在 处的 边际值 的,经济意义: 即当自变量 x

2、 在 的基础上再增加一个 单位时, 函数y的改变量,例33 某机械厂, 生产某种机器配件的最大生产能力为每 日100件, 假设日产品的总成本C(元)与日产量 x (件)的 函数为,求(1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量; (3)当日产量为75件时的边际成本,解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本C(75)=7956.25(元,2)当日产量由75件提高到90件时,总成本的平均改变量,C(75)/75=106.08(元/件,3)当日产量为75件时的边际成本,注:当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 为销售量 为x时的边际利

3、润,它近似等于销售量为x时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润,例34 某糕点加工厂生产A类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是 求边际利润函数和当日产量分别是200公斤,250公斤和 300公斤时的边际利润.并说明其经济意义,解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) C(x),边际利润函数为,2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是,其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则 总利润可增加1元.当日产量为 250公斤时,再增加1公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时,再增加1公斤, 则反而亏损1元,结论: 当企业的某一产品的生

4、产量超越了边际利润的 零点时,反而使企业无利可图,2.弹性,弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量 变化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述 一个量对另一个量的相对变化率的一个量,定义 若函数y =(x)在点 的某邻域内有定义, 且 , 则称 x 和 y 分别是 x 和 y 在点 处的绝 对增量, 并称,分别为自变量 x与(x)在点 处的相对增量,定义 设y =(x)当,由弹性定义可知(1)若 y = (x) 在点 处可导. 则它 在 处的弹性为,3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关,例35 当a、b、为常数时, 求下列函数的弹性函数及在 点 x = 1处的点弹性

5、, 并阐述其经济意义,1)的经济意义是: 在x = 1处,当b 0 时, x 增加(或减少)1%, (x)就增加(或减少) b,当b 0 时, x 增加(或减少)1%, (x)就减少(或增加) b,x)的经济意义是,例36 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的函数关系为,a是常数), 求,1)需求弹性函数(通常记作 ). (2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性,易知: 任何需求函数对价格之弹性 , 均满足,在商品经济中, 商品经营者关心的的是提价(p0) 或降价(p0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念, 可以得出价格变动如何影响销售收入的结论,1)若 (称为高弹性)时

6、, 则 R 与 p 异号. 此时, 降价(p 0)将使收益减少,2)若 (称为低弹性)时, 则 R 与 p 同号.此时, 降价(p 0)将使收益增加,从而有结论,3)若 (称为单位弹性)时, 则 . 此时, 无论 是降价还是提价均对收益没有明显的影响,由此对例36 而言: 当p = 4时, (低弹性), 此时降价使收益减少; 提价使收益增加,例37 某商品的需求量为2660单位,需求价格弹性为1.4. 若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变),问该商 品的需求量会降低多少,解 设该商品的需求量为Q,在价格上涨时的改变量为 Q=Q2660,课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等常用

7、经济函数 进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态及商品的价格变动等,当 p = 4.35 时, (单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响,当 p = 5 时, (高弹性), 此时降价使收益增加; 提价使收益减少,且,二.函数最值在经济中的应用,在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结为 求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值在经 济上的应用,1.平均成本最小,例38 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为,求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并 求出其最小平均成本和相应的边际成本,2.

8、最大利润,设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中x为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为,假设产量为 时, 利润达到最大, 则由极值的 必要条件和极值的第二充分条件, L(x)必定满足,可见, 当产量水平 使得边际收益等于边际 成本时, 可获得最大利润,L(x) = R(x) C(x,例39 .某商家销售某种商品的价格满足关系p = 70.2x (万元/吨), 且x为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为 C(x) = 3x + 1(万元,1)若每销售一吨商品, 政府要征税t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量,2) t 为何值时, 政府税收总额最大,

9、解 (1)当该商品的销售量为x时, 商品销售总收入为,设政府征的总税额为T, 则有T = t x, 且利润函数为,2)由(1)的结果知, 政府税收总额为,显然, 当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是,为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使,x = 5/2(4 t) 0,即 t 满足限制0 t 4. 显然 t = 2 并未超出 t 的限制范围,例40 某家银行,准备新设某种定期存款业务. 假设存 款量与利率成正比, 经预测贷款投资的收益率为16%, 那么存款利息定为多少时, 才能收到最大的贷款纯收益,3.最佳存款利息,解 设存款利率为x, 存款总额为M, 则由M与x成

10、 正比,得,M = k x ( k 是正常数,若贷款总额为M, 则银行的贷款收益为 0.16 M = 0.16 k x, 而这笔贷款M要付给存户的利息为 , 从而银行的投 资纯收益为,故当存款利率为8%时, 可创最高投资纯收益,解 设每年的库存费和定货的手续费为C,进货的批数为x, 则批量为 个, 且,4.最佳批量和批数,例41 某厂年需某种零件 8000个,需分期分批外购,然后 均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半).若每次定 货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元. 试求最 经济的定货批量和进货批数,因而当进货的批数为 20 批, 定货批量为 400 个时,每年的库存费和定货的手

11、续费最少最经济,企业在正常生产的经营活动中, 库存是必要的, 但库存太多使资金积压、商品陈旧变质造成浪费. 因此确定最适当的库存量是很重要的,欲求 的现在值 的问题称为贴现(率)问题. 则一年 结算m次, t 年末的贴现净额为,5.最优决策时间,准备知识: 设 为初始本金(称现值), r为年利率, 按连续 复利计算, t 年末的本利和记作 (称总收入).则当年结算 m次时, 就有,从而有连续复利公式,与此相反, 经济学中把已知未来值为 , 贴现率也为r,按连续复利计算, 得 t 年末的贴现净额为(也称为贴现公式,例42 某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定t=0)就 出售, 售价为 (元). 如果窖藏起来待日按陈酒价格 出售(假设不计储藏费), 那么未来总收入就是时间 t 的函 数 假设资金的贴现率为 r, 并