第9章金融衍生工具定价理论0程黎晔已完成ppt课件

1、第9章金融衍生工具定价理论 【考试要求】 9.1未定权益定价的一般原理 占优策略、套利机会与风险中性概率测度 市场的完全性与未定权益的定价 9.2二叉树模型 单期二叉树模型 单期二叉树模型下衍生品的定价公式 多期二叉树模型 CRR模型 9.3Black-Scholes模型 Black-Scholes微分方程的推导 基于鞅方法的Black-Scholes公式 “希腊字母”及其意义,要点详解】 9.1未定权益定价的一般原理 1占优策略、套利机会与风险中性概率测度 （1）一般的单期市场模型 模型仅涉及两个时刻：0时刻（即当前时刻，此时金融资产的价格是确定的）、1时刻（即未来某个时刻，对风险资产而言，

2、其价格是一个随机变量）。假定1时刻市场的状态空间为： 其中 代表未来市场可能出现的一种状态。在 上存在客观的概率测度P，满足 假设市场上存在N个基础风险资产，那么交易者在资产组合策略 下的成本 为： 其中 表示N个基础风险资产在0时刻的价格向量； ， 代表交易者持有资产i的数量,N个资产在1时刻的支付矩阵用D表示： 其中dij表示第i个证券在状态 下的支付额。从而在1时刻资产组合的市值 可以表示为： 其第j个分量表示1时刻出现状态 时资产组合的市值，用 表示,2）占优策略、套利机会 若存在另一个策略 ，使得 且对任意的 ， 成立，则称策略 是一个占优策略。 一个套利机会是指满足下列两个条件之一

3、的策略 ： 或 根据占优策略以及套利机会的定义可知：如果市场存在一个占优策略，那么市场一定存在套利机会。 命题9-1：如果市场是无套利的，则市场不存在占优策略。 此命题反过来的结论是不成立的，即市场不存在占优策略但却可能存在套利机会,3）市场无套利条件 称资产组合 为Arrow-Debreu证券，若在1时刻市场出现状态i时，组合 的支付额为1单位；当出现状态 j 时，组合 的支付额为0。 称 （ ）为状态价格向量，如果 满足： 或者 ，其中 。 一般而言，市场不一定存在Arrow-Debreu证券和状态价格向量；若两者都存在，则第i个Arrow-Debreu证券的成本为： 资产定价第一基本定理

4、：市场无套利市场存在状态价格向量,4）风险中性概率测度 令 ，可以将 视为无风险证券的价格。在单期市场模型中，若假定存在无风险资产，则其0时刻 的价格为 ，即 ，其中r为无风险收益率。 定义一个 上新的概率测度Q： 令 ，也即 对应了Q在每个样本点上的概率值。Q与已存在的客观概率测度P不同，它 是主观的。二者的关系是：Q等价于P,根据状态价格向量的定义可以得到等式： 若用表示测度Q下的期望，则有： 如果市场存在无风险收益率r，上式可写为： 至此可以看出：测度Q是风险中性投资者对市场状态空间给出的概率测度，称Q为风险中性概率测度，资产定价第一基本定理可写为： 市场无套利 市场存在风险中性概率测度

5、,2市场的完全性与未定权益的定价 称 上的随机变量为未定权益。以下假定市场存在无风险收益率r。称一个未定权益X是可复制的，如果存在一个由无风险资产和基础风险资产的组合，使得该组合l时刻的收益与X相同。由于无风险资产和基础风险资产都有期初价格，因此可复制的未定权益是可定价的。如果所有的未定权益都是可复制的，则称市场是完全的。 对单期市场模型，选取独立的n个未定权益 。市场完全意味着对任意的 都存在复制策略 ，成立： 这等价于 且矩阵D的秩等于n。从而有如下结论： 单期市场模型是完全的 且矩阵D 的秩等于n 如果不同的复制策略 的期初成本不等，不妨设 则 是一个套利组合，这与市场无套利的假设矛盾。

6、因此未定权益有唯一的期初价格。由于未定权益的全体就是 上随机变量构成的线性空间，因此对任意的风险中性概率测度Q和Q，都有,由于在无套利市场中无风险收益率r是唯一的，所以 。也即证明了如下的定理： 资产定价第二基本定理：完全的无套利市场存在唯一的风险中性概率测度。 资产第一和第二基本定理是资产定价理论的基础，它提供了一个市场的框架（完全、无套利）；在这一框架下，资产的期初价格是存在且唯一的。 假定市场是完全且无套利的，此时任意的未定权益X的价格为： 借助条件期望的概念和性质，可以将上式推广到多期和连续的情形，其表达式分别为： 这两个等式中贴现的未定权益的价格过程是一个Q鞅，因此Q也称为等价鞅测度

7、（“等价”的含义是Q与客观概率测度P等价,9.2二叉树模型 1单期二叉树模型 在单期二叉树模型中市场仅存在两个基础资产：无风险资产和基础风险资产。1时刻的 分别代表l时刻基础风险资产的价格上升和下降的比例，且 。假设无风险收益率r满足： 显然，当二叉树模型无套利时，上式一定成立。 （1）基础风险资产的价格过程 假定基础风险资产是股票，其0、1时刻的价格如图9-1所示,2）债券的价格过程 假定市场中无风险债券的收益率为r 。0时刻的面值为1的债券在1时刻的价格为er 。 假设市场上还有一个在0时刻签订的价格为C0、l时刻到期的未定权益（即衍生品），其价值依赖于股票价格的变化：在1时刻，股票价格上

8、升时其价格为Cu，股票价格下降时其价格为Cd 。 一旦确定了衍生品的含义，就可以知道其在1时刻的支付。例如：若未定权益为执行价格为K的看涨期权，则1时刻的支付为,2单期二叉树模型下衍生品的定价公式 考虑一个股票与债券的资产组合 ，即在0时刻持有 单位的股票和 单位的债券。构建衍生品的复制策略 ，即下面的方程组成立： 解得： 由无套利假设该组合在0时刻的成本即为衍生品在0时刻的价格： (9.1,二叉树模型的性质：首先，由式（9.1）可知二叉树模型是完全的。此外还可以证明在deru的条件下，它也是无套利的。根据资产定价第一基本定理，只需证明存在风险中性概率测度Q即可。将等式 改写为： 由式deru

9、可知， 和 都大于0，且二者之和为1；因此可以定义： 则式（9.1）又可写为： 因此Q为风险中性概率测度，从而市场是无套利的。这样我们证明了式deru等价于市场无套利。因此，deru也被称为无套利条件,例题9.1】假设市场存在一种无风险债券和一种股票。股票的初始价格为l，无风险利率为0。在下一个时段末，股票的价格变为2或者0.5。如果一个衍生品规定当股价上升时支付1，股价下降不进行支付。利用单期的二叉树模型计算该衍生品的价格。 解：根据题意可得债券价格、股票价格、衍生品价格的过程如图9-4所示。 其中X代表衍生品1时刻的支付。构建0时刻的复制策略 ，则 满足： 因此该衍生品的期初价格为,3多期

10、二叉树模型 在多期二叉树模型中，市场仍然只有两种基础资产：无风险资产和基础风险资产。两个资产可以在每个节点处（见图9-5）进行交易。除此之外，仍假设市场是理想化的。 （1）基础风险资产的价格过程。假定基础风险资产是股票。 假设市场有n+1个可交易的时间点0,1,，j，n股价从i时到i+1时点的变化过程服从单期二叉树模型，即股价过程可以用图9-5描述,从图9-5可以看出，i时刻有2i种可能的股价。从时刻i-1到时刻i的股价只有两种变化：从节点j开始，下降至节点2j或者上升至节点2j+1。 （2）无风险资产的价格过程 假设第i期的无风险利率为ri，同样时刻到期的衍生品的价格也有种情况，与股价过程有

11、所不同的是，每个ri在 i-1时刻就是已知的，而Si只有在i时刻才是已知的,3）多期二叉树模型下衍生品定价 在n期二叉树模型中，n时刻 。每个对应了价格树上的一条路径。当仅考虑0时刻和n时刻时，为保证市场的完全性，须假定市场至少有2n个基础风险资产；当n很大时这个假定过强。 同样这里衍生品的定价原理也是采用复制的方法。并用倒推的方法求解复制资产组合。根据基础资产在n时刻的2n个可能值写出衍生品的2n种可能值。利用单期模型的公式可以计算n-1时刻的2n-1个节点处衍生品的价格。以此类推直到0时刻，即得衍生品的期初价格。在整个过程中，每个节点处都没有资金的注入和撤出。 假设在i-1时的j节点处构建

12、一个资产组合 ，即持有 单位的股票和 单位的无风险资产，则 当股价上升时， 当股价下降时， 解得： 由此可以推出风险中性概率测度下股价上升的概率为： 则衍生品的价格在该节点的价格为,例题9.2】已知股票的价格过程满足下列二叉树模型，即图9-7。 已知每个时间区间上的连续复利率均为5，试计算执行价格为45的欧式看涨期权0时刻的价格。 解：根据题中的条件，可以写出衍生品的价格过程图9-8,首先考虑l时刻到2时刻的时间区间。先计算V（1）。在该节点上风险中性概率测度下股价上升的概率为： 显然V（2）=0。 其次考虑时刻0到时刻1的时间区间。在风险中性概率测度下，股价上升的概率为： 因此0时刻该标准欧

13、式买权的价格为,CRR模型 Cox-Ross-Rubinstein给出了一种特殊的二叉树模型：股价上升的比例和下降的比例不随时间的变化而变化，如图9-9所示。 此模型下，i时的股价为： 其中Ni是一随机变量，表示0时刻到i时刻股价上升的步数。这就意味着在n时刻股价有n+1种状态而不是之前的2n种。CRR模型假设了衍生品到期时的支付仅仅依赖于股价上升和下降的步数，而不依赖于股价上升或下降的顺序。设到期时衍生品的支付为cn,Cox，Ross，Rubinstein根据多期二叉树模型推导出了衍生品的一般定价公式，即 其中 cn（i）为衍生品n时刻的价格，且在前面的n期有i次上升。 由于达到cn（i）的

14、每条路径在风险中性概率测度下的概率均为qi（1-q）n-I,其数目为 ，所以将所有的cn（i）乘以 再相加即得EQ（cn），贴现即为c0,例题9.3】一个期权价格的二叉树模型如下图： 如果模型中上升、下降的比例不随时间的变化而变化，市场无风险连续复利为5%，则C0值为（）。2011年春季真题 A2.06B2.19C2.39D2.58E2.86 【答案】B 【解析】设标的资产价格上升的概率为q，于是由 得 。于是,9.3Black-Scholes模型 Black-Scholes是一个连续时间衍生品的定价模型。该模型建立在对市场的下列假设之上： 基础资产不支付红利，且其价格服从几何布朗运动，即基础

15、资产的价格满足随机微分方程： （9.2） 其中 为常数。以下均假设基础资产为股票。 市场是完全的，即所有未定权益都是可复制的。 市场是无套利的。 无风险利率r是一个常数，且任何期限的借贷利率都相等。 可以无限制的卖空。 市场无摩擦，即无税收成本、无交易成本。 基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易。 根据以上的假设可以推导出衍生品价格满足的偏微分方程Black-Scholes微分方程，结合边界条件就可以求出衍生品的价格,1BlackScholes微分方程的推导 （）Black-Scholes微分方程 假设衍生品的期限为T，f（t，St）表示衍生品t时刻的价格。假设函数具有连续的二阶偏导数，

16、因此f（t，St）满足 引理的条件，从而有： （9.3） 构建一个无风险组合 以消去dWt项。考虑下面一种构建方法，即持有：l单位的衍生品， 单位的股票。则t时刻组合 的价格为： 对该资产组合求微分整理得到： 从上式可以看出，组合价格的变化仅与时间有关，与市场的状态无关，因此是无风险组合。故 从而有： （9.4） 此等式即为BlackScholes微分方程,2）关于BlackScholes微分方程及其推导的几点说明 将 式差分，得到： 所以基于t 刻的信息集Ft 对上式两边求条件期望可得： 所以 的含义是股票的连续收益率。同理求st基于Ft的条件方差可得： 所以 的含义是收益率的（瞬时）标准差

17、。 分别度量了股票的收益和风险,方程并未涉及衍生品的具体类型，因而 式适用于所有的衍生品。 衍生品的类型一般决定了微分方程满足的边界条件。例如欧式看涨期权满足的边界条件为： 解BlackScholes微分方程就得到标准欧式期权的价格： 其中,组合 是动态的。由 的定义可以看出， 的价格是随时间变化的，组合中的系数 也是随时间变化的，这表明套期保值是一个动态的过程。 衍生品的价格过程与基础资产的价格过程紧密相关。在一定的假设条件下二者都可以用随机微分方程描述， 引理正是联系二者的桥梁。 一般而言，偏微分方程的求解是非常困难的，甚至会出现没有解析解的情况。因此，金融数学中更为常用的衍生品定价方法是

18、鞅定价法。 假设 式只涉及一个dWt项，这表明市场是由一个布朗运动驱动的，也就是说市场只有一个“风险源”。如果衍生品涉及多个风险，如随机利率的股票期权的定价中涉及到两个风险，需要用dW1t和dW2t，描述其对价格的影响。这样的模型称为双因素模型。衍生品价格满足的微分方程的推导中将用到二维的 引理，但推导的思路与单因素的情形相同,如果基础资产支付红利，其价格满足的随机微分方程变为： 类似的，可以推导出衍生品价格满足的微分方程： 其中q为股票的红利率。 方程 和 是基于对衍生品价格不同的理解得到的。前者是将它理解为一个与股票价格过程相关的随机过程，后者则是将它理解为一个股票价格和时间的二元函数,例

19、题9.4】一个一年期欧式看涨期权，其标的资产为一只公开交易的普通股票，已知： a股票现价为122元 b股票年收益率标准差为0.2 cln（股票现价/执行价现价）=0.2 利用Black-scholes期权定价公式计算该期权的价格（）。2011年春季真题 A18B20C22D24E26 【答案】D 【解析】利用Blackscholes期权定价公式可得： 由 得： 。于是,2基于鞅方法的BlackScholes公式 在BlackScholes模型的假设下，市场存在唯一的风险中性概率测度Q，且T时刻到期的衍生品在t时刻的价格可以表示为： 这里XT是在衍生品到期时的支付额。下面分5个步骤证明这一结论。

20、 （1）建立贴现的基础资产价格过程： 通过Girsanov定理找到风险中性概率测度Q，使得Dt是一个Q鞅。 通过求解 可得客观概率测度下： 所以 由Girsanov定理，我们可以找到概率测度Q使得： 其中是一个Q标准布朗运动，且 即表明Dt是一个Q鞅,2）定义过程： （3）定义过程Et： 由条件期望的塔性质可知Et是一个Q鞅。 （4）由鞅表示定理可知，存在一个Ft可料过程 （称 是Ft可料过程，如果 可测的，其中 使得： （5）设： 因此如果在t时刻持有 单位的基础资产和 单位的无风险资产（其价格为 ），则t时刻组合的价格为： 并且 所以该策略是自融资的，其资产组合在t时刻的价格等于衍生品t时

21、刻的价格，即： （9.4,步骤2中未采用Xt而采用了符号Vt，事实上Vt=Xt。这样做是想明确Vt是一个复制组合的价格，而不是衍生品本身，尽管二者的价格是相等的。 对欧式看涨期权式 可写为： 不失一般性，求解c0。因ST 在Q下服从对数正态分布 因此 在Q下服从正态分布 设事件 ，则 其中IA为A的示性函数。可以看出，鞅方法将前面求解Black Scholes微分方程的复杂过程变为较为简单的求随机变量的数学期望,3“希腊字母”及其意义 希腊字母是衍生品的常用避险参数的总称。这些避险参数度量了衍生品价格对各变量的敏感性。 （1）。对于任意衍生品，的定义为： 其中f为衍生品的价格。 命题9-1：对

22、于欧式看涨期权， 是对基础资产价格敏感性的度量,度量了基础资产价格波动对衍生品价格的影响。基础资产本身的=1。=0为中立状态，通过调整资产组合中各单一资产的权重，可能达到各单一资产按投资比例加权的值为0。中立状态是风险管理者消除基础资产价格风险的最佳状态。 （2） 。对于任意衍生品， 的定义为： 对于欧式看涨期权， 度量了基础资产价格的变化对的影响，即 度量了衍生品价格与基础资产价格之间的凹凸性。给出了如何重新回到中立状态的方法,3）v。对于任意衍生品，v的定义为： 对于欧式看涨期权， v度量了基础资产价格波动性的变化对衍生品价格的影响。v较小意味着资产组合的价格对基础资产价格波动率的变化不敏感，没有必要花费较大的成本获得波动率 的准确值；反之，若v较大，则有必要获得 较准确的信息。 通常情况下，波动率 是基于基础资产价格的历史数据估计出来的，这样得到的 称为历史的波动率。 另一种获得的 方法是基于某个定价公式，如BlackSch