专升本高等数学课件知识归纳大全

1、多做练习 方可熟能生巧 善于归纳 才能灵活应变,第一章函数,极限,连续,一.函数 (一)函数概念 1.函数定义 2.函数关系两要素: (1)对应关系f; (2)定义域D(f) 例,求,08）下列函数中，定义域为,的函数是（,B,C,D,A,模C,二)函数特性,1.单调性 2.奇偶性 3.周期性 4.有界性,例,偶函数,奇函数,周期函数,10,08） 是（ D,A,B,C）单调增函数,D,奇函数,偶函数,非单调函数,07） 均为奇函数， 则下列为偶函数的是 （,A,B,C,D,07,eg,三)反函数,1.反函数定义. 特点 2.举例,05,四）复合函数,1.定义 2.分解标准-分解到每一步都是基

2、本初等函 数的和,差,积,商为止. 3.复合函数定义域求法,注意：并非任何两个函数都可以复合,03,07,08,五)基本初等函数 常用的有六类14个,六）初等函数由基本初等函数（）经过有限次的和,差,积,商运算，（）有限次的复合运算，（）且可用一个公式表示的函数. 非初等函数举例,二.极限,一)极限定义,二)性质,单调有界数列必有极限. 夹逼定理 3,4.四则运算(有极限;有限个,三)求极限,1.两个重要极限,06,(03,(09,10,2.其他,举例,3.罗必塔法则,三.无穷小.无穷大,1.定义 2.性质,例题(性质,3.无穷小阶的比较(教材P27,设,例题(阶比较,(05,07）当,时，下

3、列函数中能成为,的等价无穷小的是（ D,B,C,D,A,09,当 时，下列四组函数中为等价 无穷小的是 （ B,A,B,C,D,4.等价无穷小代换定理(教材P27,定理,结论,例题(等价无穷小代换,四.连续与间断,一)连续 1. 2.连续三要素,3.左右连续,二)间断点分类,第一类（ 都存在的间断点） (1)可去间断点 (2)可去间断点 (3)跳跃间断点 第二类（ 至少一个不存在的间断点） (4)无穷间断点 (5)振荡间断点,07,模A,eg,三)闭区间上连续函数的性质,定理1 定理2 定理3(介值定理） （教材P3132) 定理4（根值定理,模B,eg,模C,第二章导数与微分,一.导数的概念

4、 1.定义 2.几何意义 3.左右导数 4.可导与连续的关系,10,二.求导数归纳,2.四则运算 3.反函数求导 例,1.基本导数公式,04,06,4.复合函数求导,10,10)计算题,5.隐函数求导 显函数- 隐函数,09,对数求导法,1,例,6.参数方程求导,1) (2) (3) (4,6)（09,5)（08,7.高阶导数,例,例(高阶导数,8.分断函数求导,例题(分断函数求导,讨论 在 的连续性； 讨论 在 的可导性； 求,9.从定义求导,定义,例题(从定义求导,05,10,则,2,模B,三.微分,一)概念 1.定义 2.几何意义 3.微分两个特性 4.微分形式的不变性 (二)计算 1.

5、公式 2.四则运算,第三章 中值定理.导数应用,一.中值定理 (一) Rolle Th 若,则至少,使,注意:(1)条件是充分条件; (2)条件不成立,结论未必成立,例不求 的导数, 验证 必有根,验证,对,的正确性,Rolle Th,不求 的导数, 说明 有几个实根,并指出 根所在区间,10,二)Lagrange Th,若,则至少,使,推论:若在 则在,例题(Lagrange Th,证明,例题(Lagrange Th,验证 在 对 Lagrange Th 的正确性; 验证 在 对Lagrange Th 的正确性; 证明:对 ,恒有,证明:当 恒有,三)Cauchy Th,若,则至少,使,二.

6、罗必塔法则,定理:若 则,罗必塔法则几种形式,例题(罗必塔法则,注意,1)只有 ,才可考虑用 Th (2)每次用 Th后,必须化简 不能断定 不存在, . 只能说明Th失效,4）还原例子,例题(罗必塔法则,03,三.单调性.极值.凹凸.拐点.作图,一)单调性 Def1 Th1,例题(单调性,10,讨论单调性,极值步骤,1.求 2.求驻点与不可导点 3.由两种点分D(f)为若干区间, 由 Th判别单调性,极值,例题(单调性证明不等式,二)极值,Def2. 定义在,在,例题(极值,求极值,求极值,求极值,极值判别法,在,可导,在 连续,Th2,极值判别法,Th3,极值存在的必要条件,Th4,极值点

7、可从驻点与不可导点找 1.可导函数的极值点 驻点 2.不可导点也可能取得极值,举例,驻点取得极值,驻点不取得极值,不可导点不取得极值,不可导点取得极值,三)最大值.最小值,1.一般情况 只有一个极大(小)值 而无极小(大)值 则,例题(最大值.最小值,例题(最大值.最小值,无盖圆柱形水池,体积定值V,底造价是侧面造价的2倍. 问:半径r=? 高度h=? 用费最省,四)凹凸.拐点,1.凹凸定义 2.凹凸判别 3.拐点判别 4.两种特殊情况,讨论曲线凹凸与拐点步骤,1.求 2.求使 与 不存在的点 3.由两种点分D(f)为若干区间, 由 Th判别曲线凹凸与拐点,10,eg,eg,五)渐近线.作图,

8、1.水平渐近线 2.垂直渐近线 3.作图步骤 (1)求D(f),Z(f) (2)奇偶性、周期性 (3)单调性、极值 (4)凹凸性、拐点,例,3.作图步骤 (5)渐近线 (6)特殊点 (7)描图,第四章 不定积分,4.1概念.性质 4.2换元积分法,4.3分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,4.1概念.性质 一.原函数 Def1 若,说明:1,2,则称,二.不定积分,不定积分的几何意义,Def2,三.基本积分公式P88,四.不定积分的性质,1. 2. 3. 4,例题,4.2换元积分法,换元积分法,特点,Th,一)凑微分举例,1.形如,凑微分举例,2,凑微分举例,3,凑微分举例,4,凑微分举

9、例,5,凑微分举例,6,二)特殊三角函数积分举例,换元积分法,Th,特点,类型,1.三角置换,类型,2.含,类型,3,类型3(续,4.3分部积分法,设,类型,一,二,三,分部2次,要移项,例题(分部积分法,例题(分部积分法,4.4几种特殊类型函数的积分,一.有理函数积分 1.有理真分式的分解,2.待定系数(1)比较法；（2）代入法,例,3,有理真分式的积分,例,二.三角函数有理式的积分,1.万能置换,则,例题(万能置换,2.凑微分,三.简单无理函数的积分,第五章 定积分,5.1定积分的概念 5.2定积分的性质 5.3微积分的基本公式,5.4定积分的换元积分法,5.5定积分的分部积分法,5.6广

10、义积分,5.1定积分的概念 一.引例 1.曲边梯形面积 2.变速直线运动的路程 二.定积分的Def 注(1)2个有关; (2) 3个无关; (3,注(4)充分条件,三.几何意义,5.2定积分的性质,5.2定积分的性质,例题(概念.性质) 1.比较大小. 2.估值,5.3微积分的基本公式,一.变上限积分 二.牛顿-莱布尼兹公式,5.4定积分的换元积分法,注意,1换元法实质： 换元同时换限 2遇到被积函数含有偶次根式， 注意取算术根,结论,5.5定积分的分部积分法,5.6广义积分,一.积分区间为无穷的广义积分 二.被积函数含无穷间断点的广义积分,第五章 定积分,5.7定积分的元素法 5.8平面图形

11、的面积 5.9体积 5.10平面曲线的弧长 5.11定积分的物理应用,定积分的几何应用 5.7 5.8 5.9 5.10,一)一个量Q可用定积分计算的条件 (1)Q是a,b上的定量 (2)Q对a,b具有可加性 (3)x,x+dx上部分量 可近似表为,简记为,二)元素法步骤,1)建立坐标系,确定积分变量 (2)求 上部分量 的近似值 (3)定限积分求总量,定积分的几何应用,一.平面图形的面积 二.体积 三.平面曲线的弧长,模A)29.求由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积,eg).求由曲线 与它的过原点的一条 切线及 轴所围成的平面图形的面积；

12、且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得 旋转体的体积,03).(1)求曲线 在点 的切线方程； （2）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形 的面积； （3）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得 旋转体的体积,eg).求正劈锥的体积,定积分的物理应用 5.11,一.变力作功,二.液体静压力,第七章.向量代数与空间解几,7.1 空间直角坐标系. 一.空间直角坐标系. 1.Def,八个挂限,点的坐标符号 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+) 5(+,+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-) 2.空间中点的坐标,二.空间两点间的距离,设点 则,7.2向量代

13、数,一.向量概念 与 同方向的单位向量,二.向量加法,平行四边形法则,三角形法则,三.数乘向量,7.2向量代数,四.向量在坐标轴上的投影 1.两向量夹角 2.向量在轴上的投影,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 点 向径 坐标表达式 分量表达式,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦,点 向量 坐标表达式 分量表达式,向量的模,7.2向量代数,五.向量分解.向量坐标.向量的模.方向余弦 向量的方向余弦,7.2向量代数,六.两向量的数量积 1.Def 性质,7.2向量代数,六.两向量的数量积 2.公式,7.2向量代数,六.两向量的数量积 3.两向量的夹

14、角,例题(数量积,1,例题(数量积,05) 单位向量 满足 则,3)(04,7.2向量代数,六.两向量的向量积 1. Def,性质,六.两向量的向量积,性质 (3) 基本单位向量性质,4,7.2向量代数,六.两向量的向量积 2.公式,7.2向量代数,六.两向量的向量积 3.结论,例题(向量积,1)求与 垂直的单位向量,2,例题(向量积,3) (07) 满足 则,答案.6,7.3曲面与方程,一.曲面与方程 1.Def 若(1)纯粹性 (2)完备性 则称 为曲面 S 的方程, 曲面 S 是方程 的图形,7.3曲面与方程,2.建立轨迹方程步骤 (1)设M(x,y,z)为轨迹上的任一点,依轨迹条件建立

15、等式 (2)以M点坐标代入等式得方程 (3)化简方程 (4)证明(略,7.3曲面与方程,3.曲面研究两个问题 (1)已知曲面作为点的几何轨迹， 求其方程 ； (2)已知曲面方程 ， 研究曲面性质,7.3曲面与方程,二.柱面 Def 动直线 平行 轴 动直线 沿定曲线 平行移动 (母线) (准线) 说明:三元方程 少一个字母,则表示柱面,柱面 准线 母线 母线/Z 轴 母线/X轴 母线/Y轴,柱面(例题,1)圆柱面 (2)抛物柱面 (3)椭圆柱面 (4)双曲柱面,7.3曲面与方程,三.旋转曲面,旋转曲面(例题,1,2,7.4平面与方程,一.点法式,7.4平面与方程,二.一般式 讨论,7.4平面与

16、方程,三.截距式 四.两平面夹角,7.4平面与方程,五.点到平面的距离,平面与方程(例题,1)说明平面特点 (2) (3) (4,平面与方程(例题,5)求两平面,夹角,6)求P到 距离,平面与方程(例题,7)求过 的平面,8)过三点,求,7.5 空间曲线,一般方程,注:空间曲线方程不唯一,7.5 空间曲线,例题 (1) (2) (3,与,7.6空间直线,一.一般式方程,7.6空间直线,二.点向式(对称式,7.6空间直线,三.参数式,7.6空间直线,四.两直线夹角,7.6空间直线,两直线的关系,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,五.直线与平面的夹角,7.6空间直线,直线与平面

17、的关系,例题(空间直线,1)求过 且过点 的平面方程 (2)求过 的直线 (3)求过点 且垂直 所在平面的直线方程,例题(空间直线,4)直线 化为点向式 (5)求两直线夹角,例题(空间直线,6)求过点 与 都平行的直线,7.7二次曲面,一.椭球面,截痕法,7.7二次曲面,二.双曲面 1.单叶双曲面 2.双叶双曲面,7.7二次曲面,三.抛物面 1.椭圆抛物面 2.双曲抛物面,例题(二次曲面,1)指出图形名称,例题(二次曲面,2)指出截痕表示什么曲线,第六章.微分方程,6.1微分方程的概念 引例:曲线上任一点 的切线斜率为 且曲线过点 ,求曲线方程. 基本概念: 常微分方程 偏微分方程 微分方程的

18、通解 微分方程的特解 微分方程的初始条件 微分方程的阶,6.1微分方程的概念,举例,例题(微分方程的概念,1)验证函数是否为微分方程的解,若是,则指出是通解或特解,例题(微分方程的概念,2)物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比,试以微分方程描述这物理现象.(设空气温度为,线性微分方程的含义,6.2可分离变量的微分方程,形式,方法-分离变量法,例题(分离变量法,6.3齐次微分方程,形式,方法,1,例题(齐次微分方程,1) (2,6.4一阶线性微分方程,一. 方法-分离变量法 通解,6.4一阶线性微分方程,二. 方法-常数变易法 通解,例题(一阶线性微分方程,1,2,3,例题(一阶线性微分方程,4,5,6,7)（07）下列方程为一阶线性非齐次微分方程的是 （,6.5特殊高阶微分方程,一,例,方法-降阶法,6.5特殊高阶微分方程,二