不等式恒成立问题

1、不等式中恒成立问题的解法一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有1）对恒成立; 2）对恒成立 例1：若不等式的解集是R，求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；（2）时，只需，所以，二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立2）恒成立例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。（1） 当即：时， 又所以不存在；（2） 当即：时，

2、 又 （3） 当 即：时， 又综上所得：三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）恒成立2）恒成立例3已知时，不等式恒成立，求的取值范围。解：令， 所以原不等式可化为：，要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例4对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式

3、是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。 当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。五、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例5：已知，求实数a的取值范围。解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等

4、于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。综合练习;例6 已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围. 解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在-1,1上的增函数,故 f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成

5、立，令，只要，课后作业:1.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得。所以实数的取值范围为。若不等式对任意R恒成立，则的取值范围是 【分析】先确定的取值范围，则只要不大于的最小值即可【解】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，即实数的取值范围是【答案】2.函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。解：若对任意，恒成立，即对，恒成立，考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。3.设，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：设

6、，则当时，恒成立Oxyx-1当时，显然成立；当时，如图，恒成立的充要条件为：解得。综上可得实数的取值范围为。4：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。解析：由，恒成立，即恒成立，5、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立， 解得：6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。解：由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和观察两函数图象，当时，若函数的图象显然在函数图象的下方，所以不成立；当时，由图可知，的图象必须过点或在这个点的上方，则， 综上得：7、已知，若恒成立，求a的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或，即a的取值范围为. 8、已知函数，若在区间上，的图象位于函数f(x)的上方，求k的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于恒成立对