五年级奥数.行程.多人多次相遇和追及问题(C级).学生版

1、6知识框架一、多人相遇追及问题多人相遇追及问题，即在同一直线上，3个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“ 路程二速度 时间”这一条基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行 程题相遇问题和追及问题的本质也是这三个量之间的关系转化由此还可以得到如下两条关系式：路程和=速度和 相遇时间；路程差二速度差追及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂，但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题即可 迎刃而解.二、多次相遇追及问题所有行程问题都是围绕“ 路程二速度 时间”这一条基本关系式展开的，多人相遇与追及问题虽然较 复杂，但只要抓住这个公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问题

2、即可迎刃而解.多次相遇与全程的关系1. 两地相向出发：第1次相遇，共走1个全程；第2次相遇，共走3个全程；第3次相遇，共走5个全程；第N次相遇，共走2N-1个全程；2N注意：除了第1次，剩下的次与次之间都是 2个全程。即甲第1次如果走了 N米，以后每次都走 米。2. 同地同向出发：第1次相遇，共走2个全程；第2次相遇，共走4个全程；第3次相遇，共走6个全程；第N次相遇，共走2N个全程;3、多人多次相遇追及的解题关键多次相遇追及的解题关键几个全程多人相遇追及的解题关键路程差三、解多次相遇问题的工具一一柳卡柳卡图，不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交

3、点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，“相遇的地点”，以 及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。/ / f例题精讲【例1】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是 4米/分、6米/分、5米/分。如果甲、乙从 A， 丙从B地同时出发相向而行，那么，在 分钟或分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。由于乙的速度比甲的速度快，本题有两种情况：丙痂甲、乙之间，此时甲、丙的距离为甲、乙距离的扌，而乙每分钟比甲多走2米，如果甲每分钟比原速度多走2x

4、1 = -米，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为：332203 -4 + 十于）=戈1 （分h3：2）丙在甲的左侧，此时甲、丙的距离与甲、乙的距离相等，由于乙誓分钟比甲多走2米， 如果甲瘁分钟比原速度少走戈来，那么此时丙与甲将恰好相遇，所以经过的时间为： 203- （4- 2+ 5）= 2 （分 h【巩固】A B两地相距336千米，有甲、乙、丙 3人，甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行，已知 甲每小时行36千米，乙每小时行 30千米，丙每小时行 24千米，问几个小时后，丙正好处于甲、 乙之间的中点？甲、丙相遇时，丙行的时间为336 + （36 + 24） = 5,6 （小时；甲乙之

5、间距离为（36 - 30） x 5.6 = 33.6千米），当丙处在甲、乙之间的中点时，甲、丙相遇后，甲、丙又行的距离之和一定等于33*6千罠咸去乙*丙又行的距离之和，丙又行的时间为33.6 + （36 + 30 + 24 + 24） = 时），0此】19当丙处在甲、乙之间的中点时，丙共行了 5币+空=5匕（小时）1 A1 ft【例2】一列长110米的火车以每小时 30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正 向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？工人速度是毎小时30-0.

6、11/ （15/3600） -1 6千米，学生速度是每小时（0.11/12/3600 ） -30-3 干来，14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6） *6/60/ （玄6+3） -0. 4 （小时）*24分钟14时 16分战4分=14时40分【巩固】 铁路货运调度站有 A B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成 一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着 B信号灯的方向。乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着 A的方向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过15秒，

7、甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用 了几秒钟？妁5秒【例3】甲、乙两人从相距 490米的A、B两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从A出发，在甲、乙二人之间来回跑步 （遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回）已知丙每分钟跑240米，甲每分钟走40米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时，甲、乙二人相距210米,那么乙每分钟走 米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距 米.ADECBIIIII甲*乙丙假设乙、丙在匸处相遇，然后丙返回，捋在D赴与甲相遇，此时乙则从走L处到E处.根摄題意 可知= 米.由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路

8、程的 6倍，也就是从A到7再到D的长度是AD的6倍，那么CD=(6AD- A + 2=2.SA1,AC = 3.5i4D , JtCD = -AC ,那么丙从7到| D所用的时间是从A C所用时间的夕，那么这.71段时间内乙*丙所走的路程之和(匸。加(7)是前一段吋阖內乙、丙所走的路程之和(AC Ai fiC , 即全程)的丄，所以CD + CE二490技上=3处帀匚门一匚E DE = 2 ,可CD = 280 , C 70 .77相同时间內丙跑的路程是乙走的路程的280 4-70 = 4,所以丙的速度是乙的速度的4借，那么乙 的速度为240 + 4 = 60 (/).即乙每分钟走60米.当这

9、一决丙与甲相遇后，三人的住置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离 改变了，变为原来的 =2 ,但三人的建度不变可知运动过程中的比例关系都不趾变，那么4907当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的-，为210x- = 90米*77【巩固】 如图，C,D为AB的三等分点；8点整时甲从 A出发匀速向B行走，8点12分乙从B出发匀速向 A行走，再过几分钟后丙也从B出发匀速向A行走；甲，乙在C点相遇时丙恰好走到 D点，甲，丙8:30相遇时乙恰好到 A.那么，丙出发时是 8点分.cl & 氢方法一：根据题意，乙从8点12分到8点30分共分钟卅走到了卫点，说明乙走丄牛全程用3时

10、6分钟，则生乙走到C点时为8时24分，此时甲从卫点走到C A,用了 24分钟“即甲从丄个3全程用时24分钟，而丙在8点24分在。点，从$点24分到X点3U分这6分钟内甲丙相遇甲I-1玮走了上匸D,丙走了二ED,则丙走胸需要时间：6 + -=8分钟，所以丙出发是在&点16分。444方法二：(1)如图可以看出，乙从到共用了 18分,每段b分，甲、乙相遇时刻为8:24,那 么甲从彳到厂用24分f: c=6: 24=1:4;(2)甲、丙在匚刀相尙而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程以，所以杠 咛=1:3; (3)丙走 助用64-3x4=8分，从丘出发的时刻为S: 16. 对于复杂的同一线段的问题，

11、可以把相同的点，转化成相同的线分折，使捋问題更加清晰。方法二：(1 ) 可以看出，乙从丘到/共用了 18分，每段6分，甲、乙相遇时刻为8:24,那么甲从彳到f用24分，卩杠陀=6: 24=1:4;(2)甲、丙在U 相向而行，共用6分钟，此时乙也走了相同的路程以 所以i: rft=l: 3; (3)丙走 肿用6+3x4=8分，从丘出发的时刻为8: 16. 对于复杂的同一线段的问题，可以把相同的点，转化成相同的线分析，使得问题更加清晰A330*甲一8:00盲分24分五分8.3:308;24B-丙【例4】一条路上有东、西两镇一天，甲、乙、丙三人同时出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行，当甲与

12、丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时，甲距他们30千米当甲到达西镇时，丙距东镇还有 20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇 千米.A FCEDBPJ*甲乙IIIIIIIA F 的CE DB-点】行槿问题【难度】自【题型】解答【析如圏，甲、乙两人从B地出发，丙从迪地出发，甲，丙相遇在匚牡，此时乙到达D处.，C .。相 距20千米；三人罐续前进，当丙和乙在E处相遇时，甲到达F处，E、F相距30千采* 当甲、丙相遇时.甲*丙两人合走了一卜全程，且此时甲比乙多走了 20千米；蚩丙和乙分别从C、。出发走到E处相遇叶，丙和乙合走了 20千米，丙和甲合走了 30千米，甲 比乙多走了 W千米.由于10:

13、20-1:2,可见丙和甲合走的 弭干米就是全程的一半，那么全程为60千米.当甲到达西镇时，丙距东镇还有20千米，所以甲、丙的速度之比为60:(60-20)=,那么两人相遇时丙走f 60 x 24干米t甲走了 6() x - 36 米，乙走f 36 2fl = 16干米#丙奉12+32+3乙的速度比为24:16 = 3:2 ,那么当丙到达东镇时，乙距西=20千米.【巩固】甲、乙、丙三人沿湖边一固定点出发，甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走甲第一次遇到乙后又走了 1分15秒遇到丙，再过 3分45秒第二次遇到乙已知甲、乙的速度比是3: 2，湖的周长是600米，求丙的速度.I1I1I甲第一次遇见乙

14、后1丄分钟遇到丙，再过3三分策乎次遇到乙，所以甲乙经过上十3上=5分钟的4444时间合走了一圈，甲，乙的速度和为600+5 = 120米/分，甲的速度为120 + + =72米/分.甲*k ”叮乙合走一圏需要分钟炳甲第一次遇见乙后1丄分钟遇到丙所以甲、丙合走一圈需5 + 1- = 6444分钟，甲、丙的速度和为600-i-6-= 96来/分，从而丙的速嵐为96 - 72 - 24分*A【例5】甲、乙、丙、丁 4人在河中先后从同一个地方同速同向游泳，现在甲距起点78米，乙距起点27米，丙距起点23米，丁距起点16米那么当甲、乙、丙、丁各自继续游泳 米时，甲距 起点的距离刚好为乙、丙、丁 3人距起

15、点的距离之和.现在乙、丙丁 3人距起点的距离总和是27 + 23 + 16 = 66 （米），甲目前比它们的距离之和要多 27+ 23 + 16-66 （米）.此后甲每向前游1米，乙、丙、丁 3人也都同时向前游了 1米，那么甲距 起点的距离与那3人的距离总和之差就要减少1米”要使这个差为0,甲应向时游了 12-2=6 （米）+【巩固】A B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A B两地同时相向出发，甲速度为每小时 40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙.若甲以每小时 20千米的速度，乙以每小时比原

16、速度快2千米的车速，两人同时分别从A, B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？甲以40千米/小时的速度行驶/小时45分钟，行feT 40xfi + L 70千米*那么剩下的I初105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的，所以乙的速度为35 + 1-2O千米/小时，如下图所示*阖为经过L小时45分钟，甲、乙相谨3所以甲 T40xl-=70狀70千米勢千米40甲120-乙风甲、乙再行駛3分钟，那么甲又荷駛了 4旦=2干米，乙又T20k =1千米.即在甲、60 60乙相遇3分钟点，乙行驶至距於地35+1-36千米的地方，甲行駛至雎捕地？0+2巧2千米的地亦， 此地距甘地1

17、05-72-33千米丫如下图所示.而如栗甲以20千米/小时的速度。乙的速度增加2千米/小时至掘千米/小时，那么相遇点F 距丘地为：105x22 = 55千来，如下图所示.20 + 22另一种惜况甲速度变为2山乙变为22甲乙A50155f那么.当丙与甲相遇在距知地33干米的地方时，乙在距冷地弘 千米的地方，而后丙行驶至F 地地55千米）时，乙也在厂地，即相遇.在这段时间内，乙对驶了 55-36=19千来，而丙行驶了 55-33-22千米所以丙的速度为20x 23千来八卜时，如下图所示.1919丙”7. 乙速度不变5055*ACB【荟案】23三千来/小时19【例6】甲、乙两人分别从 A、B两地同时

18、出发相向而行，乙的速度是甲的-，二人相遇后继续行进，甲100千米，那到B地、乙到A地后立即返回已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是么，A、B两地相距千米.由于甲、乙的速度比是2:3 ?所沁相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:3.第一次相遇 时，两人共走了一个山迟的长，所以可以把A占的诠看作5份，甲、乙分别走了 2份和3份；第 二次相遇时，甲*乙共走了三个AB ,乙走了 2x3 = 6份；第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB , 乙走了 2蛙5 i 0份.乙第二次和第三次相距10-6-4（份）所以一份距爲为：100 - 425 （千米）, 那么出两地距离为：5 x 25 = 125 （

19、千采）【巩固】 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发，相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相遇（追上也算作相遇），则甲、乙两地的距离 为千米.由于两人同时出发相向而行，所以第一次相遇一定是迎面相遇；由于本题中追上也算相遇*所以 两人第二次相遇可能为迎面相遇，也可能为同向追及.如果第二次相遇为迎面相遇，如下图所示，两人第一次在卫处相遇，第二次在B处相遇+由于 第一次相遇时两人合走1个全程，小王走了 3千米；从第一次相遇到第二次相遇，两人合走2个 全程，所以it期间小王走了2 = 6千来，由于A、兴之间的距离也是3千米，所以E与乙地的 距离为（

20、6 - 3）+ 2 = 1,5千米，甲、乙两地的距离6 4- 1,5 = 7.5千米；李乙_tr 11IIVAB|1甲李乙如果第二次相遇为同向追及，如上图两人第一次在A处相遇，相遇后小王继续向前走，小李 走到甲地后返回,在丧处追上小王*在这个过程中，小王走了&-3 = 3千米，小李走了 E + 3 千 米，两人的速度比为3:9 = 1:3所以第一次相遇时小李也走了 9千米，甲、乙两地的距离为 9 + 3 = 12干粗所以甲、乙两地的距离为了爲千米或12千米，【例7】A, B两地相距540千米。甲、乙两车往返行驶于A B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。设两辆车同时从 A地出发后

21、第一次和第二次相遇都在途中P地。那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？第一次相遇，甲乙总共走了 2个全程*第二认相遇，甲乙暑共走了 4个全程，乙比甲快相遇又 在卩点，所以可以根据总结和画图推出：从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个 P点，路程正好赴第一次的路程。所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了 2份乙走了 4份城 第二次相遇，乙正好走了 1份到B地，又返回走了 1份。这样很搦总蛇：2个全程里乙走了（540 十3） x 4=180 x 4=720千来，乙息共走了？20 x社2160千米“【巩固】 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马

22、上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村 2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地 点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？第二次相遇两人已共同走了甲.乙两村距离的3倍，因此张走了3. 5 x 3 = 10-5 （千米）”从图上可看出丫第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲*乙两村距离是 105-2 = 8. 5 （千米誓次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程第四次相遇时，两人已共同走了两村 距离（3 + 2 + 2）倍的行程.其中张走了3. 5 x 7 = 24. 5 （千米），24. 5=8,5+S, 5 + 7. 5 （千米）.就知道第四次相遇处，离乙村8. 5-7.

23、 5-1 （千米）答：第四次相遇地点离乙村1千米.【例8】A, B两地间有条公路，甲从 A地出发步行到 B地，乙骑摩托车从 B地出发不停顿地往返于 A, B 两地之间。他们同时出发，80分后两人第一次相遇，100分后乙第一次超过甲。问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？4次*提示：如下图所示，匚D点分制为乙第一次遇到和超过甲时地点甲从A到C用了 gQ分，到D用了 1叫分乙从C到A又到D用了 20分，可见乙“分走了甲需18Q分走的路，即己的速度疑甲的9倍*20分別分1*A比B的速【巩固】 电子玩具车 A与B在一条轨道的两端同时出发相向而行，在轨道上往返行驶。已知度快50%，根据推算，第2007200

24、7次相遇点与第20082008次相遇点相距58厘米，轨道长 厘米。A , B两车速度比为(1 + 50%):1 = 3:2 22或（尸3） * 26,由此平难列出方程。法一：设这列火车的速度是上米/秒，依题意列方程,得（尸1） x 12= （ 3 ） x26.解得 尸14.所以火车的车身枕为：翱T） x 22=286 （米），法二：直接设火车的车长是总 那么等童关系就在于火车的速度上.可待：r/26 + 3-x/22 + l it样直接也可以尸2 86米法三：既然是路程相同我们同祥可以利用速度和时间成反比来解决两农的追及时间比是：22： 26-11： 13,所叹可得：（T# -1 ）： （F车

25、-3） -13; 11,可得卩车-14./秒，所以火车的车长是 14-1 ） x 22-286 （A）【随练3】甲、乙二人进行游泳追逐赛，规定两人分别从游泳池50米泳道的两端同时开始游，直到一方追上另一方为止，追上者为胜。已知甲、乙的速度分别为1.0米/秒和0.8米/秒。问：（1 ）比赛开始后多长时间甲追上乙？（2）甲追上乙时两人共迎面相遇了几次？（1 ） 250秒；（2） 4次.提示：2）甲、乙分别游了 5个和14个单程，故迎面相遇4次.【随练4】甲、乙两车同时从同一点 A出发，沿周长 6千米的圆形跑道以相反的方向行驶甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶 55千米一旦两车迎面相遇，则乙车立

26、刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 A点有多少米？（每一次甲车追上乙车也看作一次相遇 ）第一次是一个相遇过程,相遇时间为：6-（65+*J） = 0.05小时，相遇毗点距离卫A： 55x0.05= 2.75 千粒然后乙车调头：成为追及过程，追及时间为：6 + （65-55） = 06小时，乙车在此过程中走 的路程为：5Sx（L6 = 33千米，即5團又3千米，那么这时距离A A3 - 2.75 = 0.25千米.此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计尊出相遇地点距离0.25 + 2.75 = 3干米，然后 乙车评头，成为追及过程，根据上面的

27、计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回 到了点点，井且行驶的方向与最开始相同所以，每4次相遇为一个周期，而3,所以第11冼相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3叫0米+D家庭作业1【作业1】公路上，汽车 A、B、C分别以80km / h , 70km/h , 50km/h的速度匀速行驶，若汽车 A从 甲站开往乙站的同时，汽车B、C从乙站开往甲站，并且在途中，汽车A在与汽车B相遇后的两小时又与汽车 C相遇，求甲、乙两站相距多少千米？汽车A在与汽车B相遇时，汽车也与汽车C1的距离为：（80 + 50）x2= 260千米，此时汽车E与汽 车匚的距焉也是26。千米，说明这三

28、辆车已经出发了筋（70-呵=13小时，那么甲、乙两站的 胆离为：（80 + 70）x13 = 1950 千米.【作业2】甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米，乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇， 在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？30分钟乙落后甲（5*4-42）丰2 = 0* 6（千米人有题意之乙和丙走il 0. 6千米用了 5分钟，因35分钟，所以绕湖一周的行程为：35于57, = 4*2（千米h【作业3】A B两地相距432千米，有甲、乙、丙三人，甲、乙从 A地，丙从B地同时出发相

29、向而行，已 知甲每小时行36千米，乙每小时行 30千米，丙每小时行 24千米，问几个小时之后，乙正好在 甲、丙两人的中点？方法一：丙、乙相遇时，甲、乙、丙均行走了 432 + （24斗= H （小时），逞时甲在乙前 （36-30）x8=4B （千米），若乙要正好处在甲、丙之间的中点，乙、丙必须共同增加这个距高乙、 丙速度之和为48 （千米）*甲、丙速度之和为0 + 24 = 54 （千米/小时h因为甲比乙每小时多行 （36-30）=6 （千米），乙、丙每申时只能净增54-6 = 4K （千米h所以从乙、丙相遇，到乙正好 崔甲*丙之间的中点，还需经过（36_308壬卩4-恵）=1 （小时），因此乙处在甲、丙之间的中虽 Bf,共经过$ +】=9 （小时）.方法二：因为甲.乙、丙3人的行走速度为等差数列. 30、24,所以，在任何时劃3人所行的 距离也为等差数列，即甲行的距离与乙行的距离之差等于乙行的距离与丙行的距离之差，所以， 当題中所说的乙正好处在甲、丙之间的中点时，甲比乙多行的距葛等于乙比丙多行的距壽：因此， 若有两个丙分蹲叭乩方两地与甲、乙同时出发相向而行，这两个丙相遇时，乙一定处于甲、丙 之间的中点，经过了 432丸24 + 24 = 9 （小时）*【作业4】甲、乙两车同时从 A B两地相对亦开出，两车第一次距A地32千